Google This is a digital copy of a book that was preserved for generations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project to make the world's books discoverable online. It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject to copyright or whose legal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge that's often difficult to discover. Marks, notations and other marginalia present in the original volume will appear in this file - a reminder of this book's long journey from the publisher to a library and finally to you. Usage guidelines Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we have taken steps to prevent abuse by commercial parties, including placing technical restrictions on automated querying. We also ask that you: Ἔ Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individual personal, non-commercial purposes. and we request that you use these files for Ὁ Refrain from automated querying Do not send automated queries of any sort to Google's system: If you are conducting research on machine translation, optical character recognition or other areas where access to a large amount of text is helpful, please contact us. We encourage the use of public domain materials for these purposes and may be able to help. Ἢ Maintain attribution The Google "watermark" you see on each file is essential for informing people about this project and helping them find additional materials through Google Book Search. Please do not remove it. * Keep it legal Whatever your use, remember that you are responsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other countries. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can't offer guidance on whether any specific use of any specific book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner anywhere in the world. Copyright infringement liability can be quite severe. About Google Book Search Google's mission is to organize the world's information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps readers discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full text of this book on the web a[nttp: //books . google. con/] E dà19o. ("3 HARVARD COLLEGE LIBRARY (*— ς "lli. o U AECELA o5 a δά αν PT, gu ade, d. xA VES LES bia d w. e 4 20 1cit Gat, ᾿ Ss, SM, ; «-- SERENI ANTINOENSIS OPUSCULA. EDIDIT ET LATINE INTERPRETATUS EST I. L. HEIBERG, DR. PHIL. PROFESSOR HAUNIKNSIS. di LIPSIAE IN AEDIBUS B. G. TEUBNERI MDOCCXCVI. ὁ 9.3.0. /93 emn HARVARL UNIVERSIT'/ LIBRARY v X 6X* 202, LIPSIAE: TYPIS8 B. 6. TEUBNERI. Rieti in ormany PRAEFATIO. I. Codices, quibus in hac editione usus sum, his siglis notaui: V — eod. Uaticanus graecus 206, bombyc. saec. XII —XIII; u. ed. Apollonii I p. IV. habet fol. 161—193 Serenum de sectione cylindr, fol 194—239 de seclione coni. correctus est et. manu 1 et raro manu aliquanto recentiore (m. 2); praeterea alia manus etiam recentior (m. 3) partem superiorem folii 237 et folia 288—239 süppleuit (p. 276, 14— 18, p. 218, 12— 15, p. 280, 9 — 302, 4); denique Matthaeus Deuarius (u. ed. Ápollon. II p. XVI) nonnulla cor- rexit, plura adscripsit in margine (m.rec.) contuli Romae 1894. v — cod. Uaticanus graecus 203, bombyoc. saec. XIII; u. ed. Apollon. I p. V. habet fol. 84—90 Serenum de sectione cylindri sine titulo (σερήνου postea add. in mg., in fine 6sQ1jvov ἀντισσέως φιλοσόφου περὶ κυλίνδρου τομῆς), fol. 90—98 de sectione coni sine titulo, omnia usque ad p. 300, 20 eadem manu ele- ganti ei adcurata scripta, qua Coniea Apollonii, p. 300, 20sqq. uero manu neglegenti eiusdem tem- poris, quae eadem fol. 1—55 scripsit (cfr. Apollon. II . p. XI) descriptus est e V (u. Apollon. II p. XV; &* IV PRAEFATIO. efr. in hoe uolumine p. 84, 10; 122, 18; 144, 16; 162, 2; 220, 8; 254, 4) ante correctiones manus 2 factas (p. 98, 22; 208, 26; 210, 18, 20, 24, 25; 212, 4, 10, 11, 16, 23; 258, 4); quare utilis est ad correctiones manus 1 distinguendas et ad pristi- nam scripturam locorum postea correctorum uel mutilatorum eruendam. contuli p. 276, 14—16; 218, 12—15; 218, 19— 302, 4 et locos plurimos inspexi Romae 1894. figuras quoque non raro in V muti- latas e Y suppleur. w — cod. Uatieanus graecus 20D, chartac., scriptus anno 1536 ab Iohanne Hydruntino, librorum grae- corum instauratore ad bibliothecam Uaticanam (u. ed. Apollonu II p. XI); Sereni opuscula solito ordine habet p. 143—168 et p. 169—20T. descriptus est e V iam mutilato et est apographum illud?) a Deuario toties citatufh (u. ed. Apollon. II p. XV). hic illic locos nonnullos inspexi Romae 1894. e — cod. Constantinopolitanus palatii ueteris nr. 40, bombyc. saec. XIII—XIV (u. ed. Apollon. II p. XI). Serenum de sectione cylindri habet p. 517 —549, de sectione coni p. 549 —588; nunc quidem desinit p. 254, 21 madore consumptus; p. 238, 20 — 252, 2 alia manu eiusdem temporis scripta sunt, p. 236, 15 1) Ita factum est, ut in v ordo hic sit inde à uocabulo ἀγόμεναι p. 86, 12: p. 56, 8 ἐάν — p. 60, 8 πρός, p. 86, 12 εὐθεῖαι — p. 56, 6 κυλίνδρου, p. 60, 8 τῇ seqq. nam haec disturbatio in V orta est folio 176 ante folia 170—175 trans- posito; uerum ordinem notauit manus 2 (u. not. crit. ad p. 36, 12, p. 56, 6, p. 60, 3), et postea folia suo ordine reposita sunt, ut nunc habentur. cfr. ad p. 272, 12. 2) Loci in ed. Apollonii II p. XVI citati in hac editione sunt p. 46, 15; 218, 10; 9284, 13; 280, 7. PRAEFATIO. Y — 238, 15 errore repetita. scripturas meliores quam V raro habet et plerumque eiusmodi, quae cuiuis li- brario sese offerant (p. 6, 23; 8, 1; 10, 23, 25; 16, 23; DO, 11; 64, 28; 88, 11; 122, 5, 19; 128, 19; 146, 5; 158, 21; 168, 14; uerba in V iniuria bis scripta omisit p. 50, 25; 128, 10; 152, 9; 180, 13; 182, 10; 194, 11; 220, 8, 18; 226, 10. 228, 11; 230, 3; . 230, 17; 248, 12; paullo insigniores loci sunt p. 40, 283; 50, 29; 16, 16; 92, 17, 19; 120, 12; 188, 4; 150, 8; 210, 15; 214, 12; 220, 20, dubii p. 40, 22; 90, 28; 96, 12; 194, 1; 214, 20; 250, 10); et libra- rium in corrigendo deprehendimus p. 34, 3; 148, b, etiam falso p. 194, 19, cfr. p. 106, 14. nec desunt loci, qui significare uideantur, c ex ipso V de- seriptum esse (cfr. Apollon. II p. XXXI), uelut p. 82, 4; 84, 10; 98, 22; 114, 5; 124, 16; 160, 25; 196, 5; 210, 25; 216, 2; 236, 2 (easdem repetitiones falsas habet p. 38, 19; 244, D; cum v consentit in scriptura codicis V falso interpretanda p. 14, 16; 90, 11; 204, 5; 218, 4, cfr. praeterea p. 254, 14). sed obstant loci, quales sunt p. 4, 3; 166, 3; 208, 9; 250, 4, unde concludendum uideri possit, c ex arche- typo codicis V descriptum esse (cfr. p. 12, 21), quem litteris compendiisque uncialibus scriptum fuisse ostendunt errores communes p. 106, 26; 134, 106; 144, 2. sed quidquid id est, codex c nihil ad uerba Sereni emendandi confert; nam quas habet emen- dationes eb paucas et futiles, easdem praebet p. ipse contuli Hauniae 1889. p — codex Parisinus graecus 2342, chartac. saec. XIV (u. Apollon. II p. XII, Omont Inventaire II p. 243) VI PRAEFATIO. in monte Atho scriptus (Apollon. II p. LXIX). habet fol. 188—195' Serenum de sectione coni, fol. 195*— 200 de sectione cylindri in fine mutilatum (desinit p. 102, 18; consistit ex XXV quaternionibus numeris xy—Q in primo et ultimo folio signatis; e quaternione μή unum solum exstat folium). scriptus est a librario audaci et rerum et sermonis mathe- matiei peritissimo (cfr. Apollon. II p. LIV sq.), qui multos locos feliciter emendauit, uelut in minutiis p. 2, 18; 4, 23; 12, 6, 1; 14, 26; 16, 15; 20, 20; 28, 26; 30, 1; 42, 20; 44, 2; 58, 10; 66, 7; 10, ὃ. 12, 9; 80, 2; 82, 13, 14; 86, 5; 88, 13; 94, 20; 98, 6, 10, 18; 122, 14; 124, 16; 130, 8, 21; 136, 7; 142, 13, 20; 144, 15; 148, 1; 152, 18; 154, 15; 156, 1; 158, 20; 162, 21; 164, 14; 1606, 18; 168, 1; 170, 11; 114, 3, 10, 22; 176, 3, 7, 11; 178, 19; 182, 15, 16, 23; 184, 8; 190, 1; 192, 18; 194, 24; 198, 17; 200, 23; 202, 22; 204, 15; 2006, 2, 20; 224, 11, 21; 226, 14; 230, 27; 284, 1, 8; 2306, 1, 2, 11; 242, 25; 244, 5; 254, 3, 17; 256,11; 258,19; 264,6; 266,23; 268, 17; 270, 8, 1, 183; 2172, 11; 2178, 5; 280, 4 praeter errores iam in c correctos (excepto loco p. 10, 25); paullo maiora sunt p. 2, 11; 6, 9; 36, 16; 42, 16; 46, 12; 48, ὃ, 10, 14; 14, 22; 82, 1; 84, 18; 90, 11; 94, 7; 98, 22; 130,8; 138, 12; 146, 25; 166, 25; 196, 283; 198,19; 210, 13; 228, 183; 240,16; 244, 10 et fortasse p. 190, 18; 202, 1; 204,24. quam bene res mathematicas tenuerit librarius, ostendunt correctiones litterarum figurae p. 18, 6; 20,15; 22,1; 28, 21, 26; 30, 14; 32, 9; 34, 12; 38, 13; 42, 1; 46, 10, 15; 50, 19, 21; 68, 7; 80, 1; 98, 15, 17; PRAEFATIO. VII 126, 20; 134, 24; 188, 5b; 140, 25; 142, 16; 156, 11, 19; 160, 24; 170, 9; 176, 22; 118,2, 4; 190, 19; 200, 11; 204, 8, 17, 21; 208, 26; 210, 20, 24, 25; 212, 4, 11, 16, 23; 226, 13; 228, 15; 232, 9, 14, 11; 238, 5b, 24; 240, b, 1; 242, 22; 244, 1; 252, 12; 2170, 23; 278, 7, 11, 12. haec omnia non meliori memoriae, sed ingenio librarii deberi, adparet et ex interpolationibus aperlissimis, quas quaelibet pagina prae se fert (uelut, ut hoc sumam, pro nudo ἐπεί, de quo u. ed. Euclidis V p. LX, in p legitur ἐπεὶ οὖν p. 8, 15; 138, 20; 140, 26; 146, 12; 148,26; 160, 274; 172, 8; καὶ ἐπεί p.44, 16; 124, 3; 136, 15; 218, 12; ἐπεὶ γάρ p. 52, 10; 160, 5; 202, 15; 210, 22; 250, 1; 254, 24; 210, 19; pro ἡ 4 γωνία scripsit ἡ πρὸς τῷ 44 p.122,24; 198,13; pro τὸ ὑπὸ ΠΗ͂ semper τὸ ὑπὸ τῶν ΕΠ. ΠΗ et simila, u. ad p. 46, 3; sed mulio maiora molitus est, uelut p. 168, 22—23 et alibi sexcenties), et ex conatibus emendandi non perfectis uel aperte falsis (p. 4, 12; 12, 23; 14, 16, 26; 24, 25; 52, 18; 54, 1; 68, 3; 90, 27; 126, 4; 128, 1; 134, 16; 144, 2; 152, 2, ὃ; 158, 3; 188, 1; 194, 2, 26; 198, 17; 204, 22; 200, 21, 28; 220, 2, 20?; 280, 21; 244, 23; 214, 19); ceorrectorem deprehendimus p. 10,1; 36,25; 166,24. uestigia certa, unde concludi posset, p ex ipso V uel ex v pendere (u. Apollon. II p. LIV), in his opusculis non repperi; cum c in erroribus conspirat p. 26,1; 66,13; 142,10, cum c correcto p. 188, 16. — contuli ipse Parisis 1893. Codicum Vep scripturas omnes in adparatum recepi neglectis plerumque adcentibus et spiritibus, VIII PRAEFATIO. alios raro commemoraui (vw, de quibus u. supra; de Ambrosiano et Parisino 2367 infra dicetur) —codi- cem V secutus sum, ubicumque fieri poterat. sed cum p. 276, 14—18; 278, 12—15; 280, 9— 302, 4 manus recentior saeculi, ut uidetur, XV .suppleuerit in V, hac in parte codicem v sequendum esse duxi; V enim hic ad p ita adcedit, ut si non omnes (p. 280, 18, 18, 19; 282, 1, 4, 1, 8, 10, 11, 14, 24; 284, 1, 14, 16, 18, 19, 21, 22, 24; 2806, 1, 2, 12, 25; 288, 6; 290, 3, 5, 19; 292, 3, 19; 294, 1, 2, 11; 298, 27; 300, 4, D, 1, 11, 16, 20), αὖ tamen plurimas eius mutationes praebeat, quarum nonnullae tales sunt, quales in p pro certo interpolationi tribuendae sint a manu prima codicis V prorsus alienae (p. 278, 12 — p. 282, 18; 284, 1; 286, 17; 288, 15; 290, 12; 294, 2; 296, 11; 298, 27; 302, 4— p. 284, 2; 286, 11; 290, 10; 294, 14, 15); cfr. praeterea p. 216, 15; 282, 5; 284, 24; 286, 5, 12, 14, 15, 26; 288, 6, 8, 11, 20, 21, 23; 290, 6, 11; 292, 13, 14; 294, 11, 13, 21; 296, 3; 298, 6, 12, 20, 25; 300, 2, 10, 11, 18; 302, 1, coniecturae prauae p. 294, 21; 298, 13, errores communes p. 286, 13; 292, 16; 294, 16; 300, 21—22. non pauca meliora habent quam v (p. 282, 2, D, 23; 286, 4, 10, 2b; 288, 8, 10; 290, 5; 292, 1, 4, 6, 1, 11; 294, 9; 296, 14, 20; 298, 9, 14, 20; 300, 3). ceterum uterque sua habet uitia (de p ἃ. supra et p. 296, 4, de V cfr. p. 284, 7, 23; 298, 5 οὐ interpolationes ei propriae p. 290, 12; 292, 12, 13, 14; 302, 3 et praeterea p. 2906, 4). communes codicum Vvp errores sunt p. 292, 17; 296, 15, 22; 298, 21. w hic quoque inutilis est; nam e V descriptus est post supplementa manus teriiae addita, quorum scripturas summa fide, ut solet, refert. PRAEFATIO. IX Iam de ceteris codicibus uideamus. eod. ÀÁmbrosianus Α 101 sup. (u. Apollon. II p. XII) e p descriptus est (u. ib. p. XXI), sed antequam ultima folia perierunt; nam libellum de sectione cylindri in- tegrum habet (p. 116, 8 τῆς τοῦ om.) idem de cod. Upsalensi 50 ualet (Apollon. II p. XIV, XXI). e reliquis codicibus Àpollonianis, quos in ed. ApolloniilI p. XII sqq. enumeraui, Serenum continent Marcianus 518, Tauri- nensis D I 14, Sconalensis X—I— 7, Parisinus 2951, Uindobonensis suppl gr. 9, Monacenses 76 et 516, Nornmbergensis cent. V app. 6, Berolinensis Meer- mannianus 1545, Upsalensis 48, quorum stemma in ed. Apollon. II p. XVIsqq. hoc effeci Y P ———————————Ó— ÁO δ Marcianus 518 Parisinus 2357 X Berol Uindob. Scoriaal Monac. 76 Norimb. Taurin. -πππ'ππι’ὕὕ.ὕψὉ-λἹΨ΄-----------“ Monac. 576 — Upsal. 48. adcedunt Serenum uel solum continentes uel cum aliis maihematicis sine Apollonio hi: cod. Paris. gr. 2358, chartac. saec. XVI (Omont II p. 245); continet fol. 38— 5 Serenum de sectione eylindri, fol. 57*—94 de sectione coni; e v descriptus est (u. Apollon. II p. VI). tituh sunt σερήνου ἀντισ- 6éoc πλατωνικοῦ φιλοσόφου περὶ κυλίνδρου τομῆς βιβλίον αον et σερήνου ἀντισσέως περὶ κώνου τομῆς B; in fine τῶν σερήνου κωνικῶν τέλος: ultima propositio est £g' ut in v m. rec. cod. Paris. gr. 2368, chartac. saec. XV (Omont II p. 246 80); fol. 129—140* Serenum habet de sectione coni (non cylindri) usque ad p. 224, 12. 6 titulo Χ PRAEFATIO. σερήνου ἀντινδέως φιλοσόφου περὶ κυλίνδρου (del. alia, manus et κώνου supra scripsit atramento nigro) τομῆς adparet, eum a V pendere, euius subscriptio libelli de sectione cylindri (u. p. 166) pro titulo libri insequentis accepta est, sicul etiam in w factum esse uidemus.) eum neque e v neque e w recentiore descriptus esse possit, sine dubio ipsius V apographum est. prior pars codicis e Parisino 2472 sumpta est (Euclidis opp. VII p. XXII). Serenum sequitur post interuallum paruum haec nota: πῶς ἔχοντες δεδομένην εὐϑεῖαν ληψόμεϑα τὴν περιφέρειαν, ὑφ᾽ ἣν ὑποτείνει; λαμ- βάνομεν τὴν ἔγγιστα ἐλάττονα τῆς ὑποκειμένης εὐθεῖαν καὶ τὴν ἔγγιστα μείξονα καὶ ἐκτίϑεμεν ἰδίως τὴν τού- τῶν ὑπεροχήν᾽ εἶτα ἐκτίϑεμεν τὴν ὑπεροχὴν τῶν περι- φερεϊῶν (περιφερ- e corr.), ὑφ᾽ ἃς ὑποτείνουσιν, εἶτα τὴν ὑπεροχὴν τῆς ὑποκειμένης εὐθείας πρὸς τὴν ἔγγιστα ἐλάττονα αὐτῆς. καὶ πολλαπλασιάξομεν αὐτὴν ἐπὶ τὴν ὑπεροχὴν τῶν περιφερειῶν (περίφερ- supra scr.) καὶ τὸν γινόμενον ἀριϑμὸν μερίξομεν παρὰ τὴν ὑπεροχὴν τῆς μείξονος καὶ ἐλάττονος τῶν εὐθειῶν καὶ τὸν γινό- μενον ἀριϑμὸν προστίϑεμεν τῇ ἐλάττονι περιφερείᾳ. cod. Paris. gr. 2361, chartac. saec. XVI (Omont II p. 248). continet Serenum de sectione cylindn fol. 1—29*7, de sectione coni fol 297—069. fol 1 mg. sup. legitur ,1510 mantue Andree Coneri"; mg. inf. 1) In w tituli sunt σερήνου ἀντινσέως φιλοσόφου περὶ κυ- λίνδρον τομῆς in utroque libello, et mg. sup. legitur in priore βιβλίον ἃ, in altero βιβλίον B. in V fol. 193" desinit in ὁ περὶ τού- p. 116, 12, deinde fol. 1947 sequitur -rov λόγος cum sub- scriptione et ornamento finali; in eadem pagina incipit libellus de sectione coni sine titulo, unde causa erroris adparet. Deuarius correctiones suas (p. 116 not) e w petiuit, ut aolet. PRAEFATIO. XI figura inuenitur, quam adposuimus, conum repraesen- tans nigrum in sphaera lutea inscriptum; quae figura cum etiam in cod. Ottobon. lat. 1850 exstet, qui et ipse Andreae Coneri fuit (u. Abhandl. z. Gesch. d. Math. V p. 3), signum est ex libris quod uocatur illius uiri mathematici mihi ignoti ad no- ἢ men eius adludens. tituli sunt σερήνου ἀντισέως περὶ κυλίνδρου τομῆς eb δερήνου ἀντισέως περὶ cum lacuna. sine dubio ex ipso V descriptus esi; desinit enim in τὴν Θ βάσιν p. 302, 4, ut Vw soli, nec 8 w pendet, quoniam in priore libello λη΄ propositiones numerat, w autem 4s', in altero primas uó' solas numeris signat, cum w ad ξε΄ progrediatur. sed totus codex correctus est ab homine non imperito, sed audaciore. Alia subsidia praeter codices pauca adsunt, inter quae, ut solet, longe primum locum obtinet Com- mandinus (Comm., h. e. Sereni Antinsensis philo- sophi libri duo, unus de sectione cylindri, alter de sectione coni, a Federco Commandino Urbinate e Graeco conuersi ei commentariis illustrati, Bononiae 1566 fol, repetita Pistorü 1696), qui multos errores tacite sustulit; habuit codicem Mareianum (u. Apollon.II p.LXXXIII) partes utriusque operis interpretatus est Georgius Ualla De expet. et fug. rebus XIII, 4. inter- pretationem Marini Ghetaldi (Uenetiis 1607) non uidi. Nizzius (Serenus von Antissà über den Schnitt des Cylinders, Stralsund 1860, Ueber den Schnitt des Kegels, ibid. 1861), qui editionem parabat collatio- nesque codicum Monacensium et Norimbergensis habuit XII PRAEFATIO. (1860 p. 2), in interpretationibus germanicis rem criti- cam non curat. restat editio et princeps et ad hune diem sola Halleii (cum Apollonio Oxonii 1710 fol), qui in praefatione p. III haec habet de subsidiis suis: ,ob argumenti autem affinitatem Sereni libros duos de Sectione Cylindri et Coni publico donare haud gra- vatus sum jam primum Graece impressos, quos e Co- dicibus tribus Bibliothece EHRegie Parisiensis sui in usum describi curaverat vir doctissimus Henricus Aldrichius S. T. P.') /Edis Christi Decanus mihique, ub simul eum Apollonio lucem aspicerent, perhuma- niter impertiit. in his omnibus evulgandis industriam haud levem et diligentiam adhibui, mecum (quod fateri non piget) summopere adnitente D. Joanne Hudsono Bibliothece Bodlejane Prefecto manumque auxiliarem (prout in Euclide fecerat) non invito porrigente.* inter Parisienses tres erat et cod. 2367, cuius con- iecturae falsae saepius receptae sunt (uelut p. 22, 15; 24, 3; 82, 15), et p, cuius uestigia certa deprehendi- mus p. 40, 1, 5; 16, 15; 180, 1. paucas emendationes certas, quae Commandinum fugerant — eum quoque ab Halleio usurpatum esse, adparet ex p. 252, 22, ubi additamentum ab eo fol. 28" in notis propositum re- cepit; cum eodem p. 252, 16, 23 ἡ uiv ΕΖ τῇ AT" et δέ omisit —, ex Halleio recepi, nonnullas non prorsus improbabiles commemoraui; αὖ adparatum criti- eum omnibus scripturis uariantibus editionis Halleianae 1) Ad hunc uirum misit Sereni libellos ,nunc primum Graece et Latine ex suo exemplari manuscripto editos''. PRAEFATIO. XII debentur, ne hic quidem ἃ me impetrare potui. II. Iam 81 quaerimus, qua fide nobis tradita sint haec opuscula, de librariis non est quod magnopere quera- mur; errores communes codicum (qui quidem in cp non correcli sint) nec mulli sunt nec graues (p. 4, 10; 26, 14; 48, 25; 50, 29; 58, 12; 66, 183; 10, 22; 84, 19; 92, 6; 94, 17; 128, 26; 158, 29; 160, 6, 18; 188, 16; 200, 2, 22; 222, 25; 282, 17, 19; 286, 1; 238, 24; 200, 12; 260, 3; in litteris figurarum p. 22, 12; 54, 24; 56, 24; '16, 5; 88, 4; 126, 1; 140, 3; 160, 23; 166, 11; 170, 23; 180, 3; 208, 2; 212, 9; 214, 22; 2834, 1; 236, 4; 268, 28; 280, 1; uerba omissa p. 8, 16; 52, 13; 92, 12; 162, 10; 212, 28; 220, 3; 250, 19). inter- polatione uero, solita labe operum mathematicorum Graecorum, ne Serenus quidem caret. certa est in minoribus p. 206, 16; 212, 1 (de p. 272, 1 v. infra), aliquanto maior p. 298,8 (efr. scholium additum in V p. 202, 22); de figuris additis ἃ. notae p. 155, 179, 235, 243 (cfr. p. 21). praeterea uerba p. 44, 18 τὸ ἄρα — 19 60. suspecta sunt, quia post prop. XIII prorsus sunt inutilia. nec deest suspicio de demon- siratione altera p. 206, 18 sqq. interpolata cum ob genus uniuersum (u. Euclidis opp. V p. LXXIX) tum propter locutionem insolitam κοινῆς ἀρϑείδσης p. 258, 8; 260, 4; tota praeterea demonstrationis forma uerbosior est οὖ ad rationem elementarem propius adcedit quam pro more Sereni. difficilis quaestio est de propositionibus numeran- XIV PRAEFATIO. dis; cum enim in V nulh numeri propositionum sint a manu prima, codicum auctoritas hac in re nulla est. cum autem Serenus more mathematicorum recentiorum non raro numeros propositionum indicet, quibus uti- tur!) hinc in propositionibus numerandis proficiscen- dum est. iam in libello de sectione cylindri praeter propp. 1 (p. 14, 22) et 3 (p. 50, 9; 100, 24) prop. 14 citat p. 48, 1; itaque aut prop. 9 aut 11 Hallei diui- denda est; quarum prior eligenda est et propter p. 932, 11 ἐν τῷ πρὸ τούτου ϑεωρήματι et propter p. 48, 11 πρὸς τῷ 9' ϑεωρήματι (ad finem prop. 9). Serenus igitur conira rationem diiunxit propp. 9—10, quae re uera partes sunt eiusdem demonstrationis, sicut eliam in codicibus Apolloni factum est (u. Apollon. II p. LXVIII); itaque fortasse etiam prop. 16 in duas diuidenda est (p. 48, 16). de sequentibus nihil constat, nec raro locus est dubitandi (propp. 27— 28), etiam propter epilogos p. 58, 8; 96, 10. prop. 25 cita- tur p. 80, 7 διὰ τὸ προδειχϑέν, prop. 81 eodem modo p. 112, 18 διὰ τὸ πρὸ τούτου; cfr. de prop. 11 p. 38, 17. in libro de sectione coni praeter propp. 1 (τὸ πρῶ- vov λημμάτιον p. 128, 12) et 5 (p. 134, 20) citatio- nesque nobis inutiles per διὰ τὸ πρὸ τούτου p.142, 2 (prop. 10); 164, 23 (19); 198, 23 (32, cfr. p. 196, 17); 1) Etiam Apollonii I, 15 hoc numero citat p. 62, 26; 56, 5; sed p. 58, 7 Apollon. I, 20 pro 21, ut Eutocius in Archim. III p. 196, 24; 200, 11 et scholiasta eiusdem III p. 375, 3; itaque in Eutocii editione Conicorum adcessit una propositionum I, 16—19, et scholium illud Archimedis illa editione antiquius est. Apollon. I, 36 indicato libro, sed &ine numero propositionis, citatur p. 100, 9, sicut Euclidis Elem. XII, 11 p. 278, 20. praeterea citat definitiones Apollonii p. 6, 6 sqq. et Optica (Euclidis) p. 104, 18. DAVE AREA V Mn UMEMEEREEEEEEEEEEEEEEEMEMEMIEEEEEEIZXZZLLIGG mp PRAEFATIO. XV 202,17 (34) uel similia (τὸ πρὸ ἕνός p. 286, 5; 288, 12) citantur propp. 18—19 p. 270,2. itaque ex propp. 6—17 Halleii una diuidenda erat, quae uix alia esse potest ac prop. 6 (cfr. p. 232, 6 ἑξῆς δειχϑήσεται de prop. 40, p. 266, 1 δείξομεν de 56). hine simul arguitur inter- polatio p. 272, 7, ubi prop. 19 citatur pro 20; ibidem eliam τοῦ πρώτου βιβλίου p. 212, 8 absurdum .est; neque enim libellus de sectione coni in duo ab auctore diuisus erat. sed aliud fortasse uestigium eiusdem manus interpolatrieis in eo deprehendimus, quod in figuris codicis V propp. 58 ἄλλως, 55, 51, 58, 59, 60 a manu 1 additi sunt numeri £, 9, wo, vB, vy, 10; librarius igitur aliquis a prop. 4T librum alterum incepisse uidetur; quam mutationem admodum infelicem poste- riores rursus neglexerunt (haec fortasse causa est repe- titionis in c p. 236, 15). prop. 20 non esse dirimen- dam, quod credideris, e p. 268, 24 adparet, ubi prop. 21 citatur. ordinatio propp. sequentium usque ad 33 e p. 204, 2 constat; numerus Halleianus quattuor minor est; quare eius propp. 21, 25, 28 in binas diuisi. et hoc confirmatur citatis p. 218, 20; 220, 14 propositio- nibus 36 et 38. de reliquis nihil adfirmari potest, nisi quod e p. 250, 10 sequitur, propp. 50—51 non coniungendas, e p. 256, 3 et p. 262, 19, propp. 52 et 53 in binas non diiungendas esse. e p. 238, 14 fortasse concludendum, prop. 46 ut lemma proprio numero caruisse (cfr. p. 80, T). p. 210, 6 (in prop. 57) διὰ τὸ πρὸ τούτου ϑεώρημα error est οὐ fortasse delendum; significatur enim prop. 54, nec prop. 55 spuria esse potest propter p. 270, 25; eius lemma est prop. 56 ab initio fortasse sine numero. XVI PRAEFATIO. sequitur conspeetus numerorum propositionum Halleianorum meorumque. De sectione cylindri ed. Halleii def. 1 — 1 ed. meae 2—5—2 6—1 — 8—10 — 4 11—5 12—13 — 6 14—15 — 1—8 prop. 1—8 — 1—8 9 — 9—10 10—25 — 11—26 26—21 - 21 28—30 — 28 31—35 — 290—393. De sectione coni ed. Halleii prop. 1—5 — 1—5 ed. meae 6 — 6—7 1—20 — 8—21 91 — 22—93 22—94 — 94- 96 95 -- 91- 98 96---91 -- 29—830 98 — 31—32 29—36 — 33—40 81 — 41—42 38—39 — 48—44 40 — 45—46 41—63 «- 471—069. PRAEFATIO. XVII III. Sereno patriam restituit coniectura facillima (Biblio- theca mathematica 1894 p. 97) ᾿ἀντινοέως reponens pro corrupto ἀντινδέως in subscriptione codicis V p. 116, quod solum habemus testimonium genuinum (ἀντινέως p in titulo p. 120). oriundus igitur erat ex Antinoeia siue ÀÁntinoupoli urbe Àegypti ab Hadriano condita. qua re magnopere confirmatur suspicio Pauli Tannery de aetate Sereni, qui praeeunte Michaele Chasles (Geschichte der Geometrie p. 44) eum inter Pappum Theonemque posuit, h. e. saeculo IV (Bulletin des Sciences mathématiques οὐ astronomiques 1883). huic tempori optime conuenit et sermo iam ab usu ueterum mathematicorum deflectens (ἡ 4 γωνία p. 122, 24; 198, 183; ὁ 4 κύκλος p. 276, 10; 218, 12; cfr. p. 160, 8 et notae p. 155, 165) et res ab eo neque satis subtiliter (u. Halleius p. 68) nec semper recte (u. p. 157 not. 2) tractatae. omnino error, quem in priore opusculo (p. 2, 8sqq.) impugnat, tum demum oriri potuit, cum Archimedes (περὶ κχωνοειδ. 9) et Apollonius non iam satis intellegerentur (cfr. p. 52, 25). de Pithone geometra eius amico (p. 96,14, 22) Cyroque (p. 2, 2; 120, 2) nihil notum. duo opuscula Sereni sime dubio iam inde a sae- culo VII (u. Apollon. II p. LVI) propter rerum ad- finitatem cum Eutocii editione Conicorum Apollonii con- iungebantur et ita ad nos peruenerunt. cum Apollonio coniunctum eum legit Theodorus Metochita (Sathas, Μεσαιων. βιβλιοϑ. 1 p. ρε΄: ᾿“πολλωνίου τοῦ Περγαίου κωνικὰ .... καὶ Σερήνου κυλινδρικὰ μάλιστ᾽ ἐπονήϑη μοι), fortasse in ipso codice p (Apollon. II P LXX). Serenus Ántinoensis, ed. Heiberg. 10 1 0 20 2 οι XVIII PRAEFATIO. perüt commentarius Sereni in Conica Apollonii, quem ipse commemorat p. 52, 26. in codicibus qui- busdam Theonis Smyrnaei exstat fragmentum aut inde petitum aut ex alia lemmatum collectione (edidit Th. H. Martin post Theonem Parisis 1849 p. 340—42, efr. Hultseh Zeitschrift für Mathem. u. Physik XXIV hist. Ábth. p. 41), quod hic subiungimus e cod. Mar- eiano gr. 303 (M) additis seripturis codicis Paris. 1821 (P) apud Martinum Martinique ipsius (m); M ipse contuli Uenetiis 1893. Σερήνου τοῦ φιλοσόφου ἐκ τῶν λημμάτων. Ἐὰν κύκλου ἐπὶ τῆς διαμέτρου ληφϑῇ τι σημεῖον, ὃ μή ἐστι κέντρον τοῦ κύκλου, καὶ πρὸς αὐτῷ συστα- ϑῶσιν εὐθύγραμμοι γωνίαι | ἐπὶ và αὐτὰ μέρη ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεβηκυῖαι. ἡ ἐγγύτερον τοῦ κέντρου ἀεὶ ἐλάσσων τῆς ἀπώτερον τοῦ κέντρου. ἐὰν οὖν ταύτην τὴν πρότασιν ἐραρμόσωμεν ἐπὶ τῆς ἡλιακῆς ἐκκεντρότητος, | καὶ ὑποϑώμεϑα κέντρον τοῦ ξωδιακοῦ τὸ 4, ξῳδιακὸν δὲ τὸν IZHK, ἡλιακὸν δὲ ἔκκεντρον τὸν EAZO περὶ κέντρον τὸ B καὶ ἀπο- Fig. om. MP, falsam habet m. 12. διαμέτρου] στο corr. ex στ) M, ἐπιφανείας m, o7 P? 18. πρός) addidi, om. MPm. συσταϑῶσιν] συσταϑῶσι P. 14. εὐθύγραμμοι! m, εὐθύγραμμαι ΜΡ. 18. ἀπώτερον) ἀπω- τέρω m. 19. Huc Serenus. 22. ἐκκεντρότητος] m, ἐγκεντρότητος MP. 26. ἔκκεντρον] m, Éyk' M, ἔγκον P? | EAZO]scribendum EZ04. ἀπολάβωμεν) Hultsch, ἀπολάβομεν MP, ὑπολάβωμεν m. PRAEFATIO. XIX λάβωμεν ἴσας περιφερείας τοῦ ἐκκέντρου τὰς "£2, 2). 4΄, ἔσται ἡ ὑπὸ ΨΩ). γωνία ἐλάσσων τῆς ὑπὸ 4 Α΄ 4᾽ ὥστε καὶ ἡ ὙΦ περιφέρεια τῆς XO περιφερείας ἐλάσ- σων ἔσται. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καί, ἐὰν ἴσας ἀλλήλαις ϑῶμεν τὰς EA, EO, ἐλάσσων ἔσται ἡ I'M τῆς MN. ἔτε ὃὲ καὶ ἴσων οὐσῶν τῶν EZ T, TO ἐλάσσων ἔσται ἡ ΠΡ τῆς PH. καὶ καϑόλου περὶ μὲν τὴν EAXO περιφέρειαν κινούμενος ὁ ἥλιος, φαινόμενος δὲ ἐπὶ τῆς I'MN περιφερείας, ἀπὸ τῶν ἐλαχίστων ἐπὶ τὰ μέγιστα κινηϑήσεται, ἀπὸ δὲ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ 4 ἐρχόμενος δόξει ἀπὸ τοῦ 44 ἐπὶ τὸ K καὶ ἔσται ἀπὸ τῶν μεγίστων ἐπὶ τὰ ἐλάχιστα κινούμενος. l. ἐκκέντρου)] ἐκ’ M. 92.417 scripsi, vx MP, yo m (qui inter D et y distinguit, P— D, y — 4^. 3. 944] ày« M, wyx P, ὠὡαγ m. 3. T6] m, νῷ MP. ἑλάσσων] scripsi, καί MPm. 4. δια scripsi, δή MPm. 1) om. m. ἴσας: τὰ, bis ΜΡ. ἀλλήλαις] m, ἀλλήλοις ΜΡ. ἀσσων)] καί MP m. 6. ἐλάσσων) καί MPm. 7. ΕΞΙΟἹ m, εξ ξο ΜΡ. Ser. Hauniae mense Decembri MDCCCXCV. I. L. Heiberg. DE SECTIONE CYLINDRI. — Serenus Antinoensis, ed. Heiberg. 1 e 10 15 ΠΕΡῚ KTAINAPOT TOMBH. Πολλοὺς ὁρῶν, ὦ φίλε Κῦρε, τῶν περὶ γεωμετρίαν ἀναστρεφομένων οἰομένους τὴν τοῦ κυλίνδρου πλαγίαν τομὴν ἑτέραν εἶναι τῆς τοῦ κώνου τομῆς τῆς καλου- μένης ἐλλείψεως ἐδικαίωσα μὴ χρῆναι περιορᾶν ἀγνο- οὔντας αὐτούς τε καὶ τοὺς ὑπ’ αὐτῶν οὕτω φρονεῖν ἀναπεπεισμένους" καίτοι δόξειεν ἂν παντὶ ἄλογον εἶναι γεωμέτρας γε ὄντας περὶ γεωμετρικοῦ προβλήματος ἄνευ ἀποδείξεως ἀποφαίνεσθϑαί τι καὶ πιϑανολογεῖν ἀτεχνῶς ἀλλότριον γεωμετρίας πρᾶγμα ποιοῦντας. ὅμως δ᾽ οὖν, ἐπείπερ οὕτως ὑπειλήφασιν, ἡμεῖς δὲ οὐ συμφερόμεϑα, φέρε γεωμετρικῶς ἀποδείξωμεν, ὅτι μίαν καὶ τὴν αὐτὴν κατ᾽ εἶδος ἀνάγκη γίνεσϑαι ἐν ἀμφο- τέροις τοῖς σχήμασι τομήν, τῷ κώνῳ λέγω καὶ τῷ κυλίνδρῳ, τοιῶσδε μέντοι ἀλλ᾽ οὐχ ἁπλῶς τεμνομένοις. ὥσπερ δὲ οἵ τὰ κωνικὰ πραγματευσάμενοι τῶν παλαιῶν οὐκ ἠρκέσϑησαν τῇ κοινῇ ἐννοίᾳ τοῦ κώνου, ὅτι τριγώνου περιενεχϑέντος ὀρθογωνίου συνίσταιτο, περισσότερον δὲ καὶ καϑολικώτερον ἐφιλοτεχνήσαντο 20 μὴ μόνον ὀρϑούς, ἀλλὰ καὶ δκαληνοὺς ὑποστησάμενοι κώνους. οὕτω χρὴ καὶ ἡμᾶς. ἐπειδὴ πρόκειται περὶ κυλίνδρου τομῆς ἐπισκέψασθαι, μὴ τὸν ὀρϑὸν μόνον ἀφορίσαντας ἐπ᾽ αὐτοῦ ποιεῖσϑαι τὴν σκέψιν, ἀλλὰ καὶ 1. IIEPI] Σερήνου περί V vy. IIEPI — TOMHZ] ?m. c. 92. Πολλούς] ολλούς c. 6. τε] om. p. 11. ὅμως] p, DE SECTIONE CYLINDRI. Cum uiderem, Cyre amice, multos eorum, qui m geometria uersarentur, sectionem iransuersam cylindri a seclione coni, quae ellipsis uocatur, diuersam esse putare, censui non oportere eos in hoc errore esse sinere et ipsos et quibus persuasissent, ut ita sentirent. quamquam cuiuis absurdum uideri necesse est, geometras de geometrico problemate quidquam sine demonstratione pronuntiare similiaque ueri consectari,1d quoda geometria maxime abhorreat. sed quidquid id est, quoniam illi ita sentiunt, nos uero non adsentimur, age geometrice demonstremus necesse esse sectionem genere unam eandemque esse in utraque figura, cono dico cylindro- que, sed certo quodam modo, non quoquo modo sectis. sicub autem uelerum qui conica scripserunt, eommuni nolione coni non steterunt, conum oriri triangulo rectangulo circeumacto [Eucl XI def. 18], sed definihonem ampliorem et uniuersaliorem excogitauerunt conos non rectos modo, sed etiam obliquos supponentes [Apollon. con. I p. 6], ita nos quoque, quoniam propositum est, ut de cylindri sectione quaeramus, non rectum solum seligentes in eo quaerere ὁμοίως Vvc; T et in mg. M1 puto ὕμως m. rec. V. 18. ὀρϑο- γωνίου] p, ὀρϑογώνῳ V, ὀρϑογών c. 1* Cx 10 15 20 2 L^ 4 | ΠΕΡῚ ΚΥΔΙΝ APOT ΤΟΜΗΣ. τὸν δκαληνὸν. περιλαβόντας ἐπὶ πλέον ἐχτεῖναι τὴν ϑεωρίαν. ὅτι μὲν γὰρ οὐκ ἂν προσοῖτό τις ἑτοίμως μὴ οὐχὶ πάντα κύλινδρον ὀρϑὸν εἶναι τῆς ἐννοίας τοῦτο συνεφελκούσης, οὐκ ἀγνοῶ δήπουϑεν᾽ οὐ μὴν ἀλλ᾽ ἕνεκά γε τῆς ϑεωρίας ἄμεινον οἶμαι καϑολικωτέρῳ ὁρισμῷ περιλαβεῖν, ἐπεὶ καὶ τὴν τομὴν ὀῤϑοῦ μένον- τος αὐτοῦ μόνῃ τῇ τοῦ ὀρϑοῦ κώνου ἐλλείψει τὴν αὐτὴν εἶναι συμβήσεται, καϑολικώτερον δὲ ὑποτεϑέντος ὅλῃ τῇ ἐλλείψει καὶ αὐτὴν ἐξιδάξειν, ὃ δὴ καὶ δείξειν ó παρὼν λόγος ἐπαγγέλλεται. ἱτέον οὖν ἡμῖν ἐπὶ τὸ προκείμενον δρισαμένοις τάδε" ἐὰν μενόντων δύο κύκλων ἴσων τε καὶ παραλλή- λων αἷ διάμετροι παράλληλοι οὖσαι διὰ παντὸς αὐταί τε περιενεχϑεῖσαι ἐν τοῖς τῶν κύκλων ἐπιπέδοις mol μένον τὸ κέντρον καὶ συμπεριενεγκοῦσαι τὴν τὰ πέρατα αὐτῶν κατὰ τὸ αὐτὸ μέρος ἐπιζευγνύουσαν εὐϑεῖαν εἰς ταὐτὸ πάλιν ἀποκαταστῶσιν, 7 γραφεῖσα ὑπὸ τῆς περιενεχϑείδσης εὐθείας ἐπιφάνεια κυλινδρικὴ ἐπιφάνεια καλείσϑω, ἥτις καὶ ἐπ’ ἄπειρον αὔξεσϑαι δύναται τῆς γραφούσης αὐτὴν εὐθείας ἐπ᾽ ἄπειρον ἐκβαλλομένης. κύλινδρος ὃδὲ τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῶν παραλλήλων κύκλων καὶ τῆς μεταξὺ αὐτῶν ἀπειλημ- μένης κυλινδρικῆς ἐπιφανείας. βάσεις δὲ τοῦ κυλίν- δρον oí κύκλοι. ἄξων δὲ ἡ διὰ τῶν κέντρων αὐτῶν ἀγομένη εὐθεῖα. πλευρὰ δὲ τοῦ κυλίνδρου γραμμή τις, ἥτις εὐθεῖα οὖσα καὶ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας οὖσα τοῦ κυλίνδρου τῶν βάδεων ἀμφοτέρων ἅπτεται. ἣν καί 2. προσοῖτο)] ΥΡΟ, er supra scr. m. rec. V. 9. πάντα) -τὰ e corr. m. 1 V, παντί v supra scr. «, πάλιν C, TÓV p 8. καϑολικωτέρου p. — 10. ἱτέον] -τ- e corr. p. ἐπί] scripsi, DE SECTIONE CYLINDRI. 5 oportet, sed comprehendentes etiam obliquum dis- quisitionem latius extendere. nam neminem facile admissurum esse, non omnem cylindrum rectum esse, notione [Eucl XI def. 21] hoc secum adducente, equidem certe non ignoro; uerum enimuero disqui- silionis causa melius esse puto definitione uli uni- uersaliore, quoniam recto eo manente eueniet, ut eliam sectio ellipsi recti coni soli respondeat, uni- uersaliore uero supposita definitione, ut et ipsa omni ellipsi respondeat, quod quidem ipsum ut demonstretur, huic lhlbro est propositum. adgrediendum igitur, quod propositum est, his definitis: 1. si manentibus duobus circulis aequalibus parallelisque diametri semper parallelae et ipsae eircumactae in planis circulorum circum centrum manens ei circumagentes rectam terminos eorum ad easdem partes uersus coniungentem rursus ad idem punctum restituuntur, superficies descripta a recta cireumacta superficies cylindrica uocetur, quae in infinitum produci potest recta eam describente in inflnitum producta. 2. eylindrus autem figura comprehensa a circulis parallelis et superficie cylindrica inter eos intercepta, bases autem cylindri circuli ilh, axis autem recta per centra eorum ducta, latus autem cylindri linea quaedam recta, quae in superficie cylindri posita περί Vvcp, :* supra add. m. rec. V, cui signo nunc quidem in mg. nihil respondet. 19. μενόντων] scripsi, μὲν oov τῶν Vo, τῶν p. 18. αὐταί] αὗται V. 19. ἥτις] εἴ τις c. 21. Post σχῆμα del. τὸ περιε c. 28. βάσεις] p, βάσις Vc. θ ΠΕΡῚ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ. φαμεν περιενεχϑεῖσαν γράφειν τὴν κυλινδρικὴν ἐπι- φάνειαν. τῶν δὲ κυλίνδρων ὀρϑοὶ μὲν οἵ τὸν ἄξονα πρὸς ὀρϑὰς ἔχοντες ταῖς βάσεσι, δκαληνοὶ δὲ oí μὴ πρὸς 5 ὀρθὰς ἔχοντες ταῖς βάσεσι τὸν ἄξονα. ὁριστέον δὲ κατὰ ᾿Απολλώνιον καὶ τάδε" πάσης καμπύλης γραμμῆς ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ οὔσης διάμετρος καλείσϑω εὐθεῖά τις, ἥτις ἠγμένη ἀπὸ τῆς καμπύλης γραμμῆς πάδας τὰς ἀγομένας ἐν τῇ γραμμῇ 10 εὐθείας εὐθείᾳ τινὶ παραλλήλους δίχα διαιρεῖ, κορυφὴ δὲ τῆς γραμμῆς τὸ πέρας τῆς εὐθείας τὸ πρὺς τῇ γραμμῇ. τεταγμένως δὲ ἐπὶ τὴν διάμετρον κατῆχϑαι ἑκάστην τῶν παραλλήλων. συζξυγεῖς δὲ διάμετροι καλείσϑωσαν., αἵτινες ἀπὸ 16 τῆς γραμμῆς τεταγμένως ἀχϑεῖσαι ἐπὶ τὰς συξυγεῖς διαμέτρους ὁμοίως αὐτὰς τέμνουσι. τοιούτων δὲ γραμμῶν ὑφισταμένων καὶ ἐν ταῖς πλαγίαις τομαῖς τοῦ κυλίνδρου ἡ διχοτομία τῆς δια- μέτρου κέντρον τῆς τομῆς καλείσϑω, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ 20 κέντρου ἐπὶ τὴν γραμμὴν προσπίπτουσα ἐκ τοῦ κέντρου τῆς γραμμῆς. ἡ δὲ διὰ τοῦ κέντρου τῆς τομῆς παρὰ τεταγμένως κατηγμένην ἀχϑεῖσα περατουμένη ὑπὸ τῆς γραμμῆς δευτέρα διάμετρος καλείσϑω᾽ δειχϑήσεται γὰρ πάσας 25 τὰς ἀγομένας ἐν τῇ τομῇ παρὰ τὴν διάμετρον δίχα τέμνουσα. 4. σκαληνοί -- ὅ. βάσεσι] om. p. 7. Post γραμμῆς del. τὸ πέρας τῆς εὐθείας c. 9. πάσας -- 11. γραμμῆς] p, om. Vc. 10. κορυφήν comp. dubio p. 12. κατῆκται C. 16. δίχα τέμνουσι Halley. 19. ἡ δέ — 34. καλείσϑω] mg. m. 1 p (κεί- DE SECTIONE CYLINDRI. T utramque basim tangat, quam quidem superficiem cylindricam deseribere circumactam dicimus. 3. eylindrorum uero recti, qui axem ad bases perpendieularem habent, obliqui autem, qui axem ad bases perpendicularem non habent. uerum etiam haec secundum Apollonium definienda suni: 4. omnis lineae curuae, quae in uno plano posita est, diameirus uocetur recta quaedam, quae a linea eurua ducta omnes rectas in linea illa rectae alicui parallelas ductas in binas partes aequales secat, uertex autem lineae terminus huius rectae in linea, singulas autem rectas parallelas ad diametrum ordinate ductas esse [Apollon. con. I def. 4]. 5. coniugatae autem diametri uocentur, quae ἃ linea ad coniugatas diametros ordinate ductae eodem modo eas secant.!) 6. talibus uero lineis etiam in obliquis sectionibus cylndri ortis punctum medium diametri centrum seclionis uocetur, recta autem a centro ad lineam ducta radius sectionis [Apollon. con. I deff. alt. 1]. 1. recta. autem a centro sectionis rectae ordinate ductae parallela ducta, quae a linea terminatur, dia- metrus altera uocetur [Apollon. con. I deff. alt. 3]; demonstrabimus enim, eam omnes rectas in sectione diametro parallelas ductas in binas partesaequales secare. 1) Haec definitio nec cum Apollon. con. I def. 6 consentit nec per se satis perspicua est; sed emendationem probabilem non reperio nec adfirmare ausim, Serenum non ita scripsisse. μενον). 22. ἡ δὲ διά] διὰ δέ p. 28. κατηγμένην] pc, κατηνεγμένην Vv. 24. δευτέρα] β΄“ p. 10 15 20 8 ΠΕΡῚ KTAINAPOT ΤΟΜΗΣ. ἔτι κἀκεῖνο προδιωρίσϑω, ὅτι ὅμοιαι ἐλλείψεις εἰ- σίν, ὧν ἑκατέρας αἱ συξυγεῖς διάμετροι πρὸς ἀλλήλας τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον καὶ πρὸς ἴδας γωνίας τέμνου-- 6ww ἀλλήλας. α΄. Ἐὰν ὦσι δύο εὐϑεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων καὶ ἴσας ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, αἱ τὰ πέρατα αὐτῶν ἐπιξευγνύουσαι καὶ αὐταὶ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν. | ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ AB, ΒΓ παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων τὰς ΖΕ, EZ, καὶ ἴση ἔστω ἡ μὲν AB τῇ 4E, ἡ δὲ ΒΓ τῇ EZ, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ AI, 42. λέγω, ὅτι αἴ AI, AZ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν. ἐπεξεύχϑωσαν αἱ BE, ΓΖ, 44. ἐπεὶ ἡ 48 τῇ AE ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστι. καὶ ἡ BE ἄρα .... τῇ ΓΖ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστι. καὶ αἱ AI, “12 μ᾿ ἄρα ἴσαν τὲ καὶ παράλληλοί εἰσιν" ὃ προέκειτο δεῖξαι. β΄. ᾿Εὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηϑῇ διὰ τοῦ ἄξονος. ἡ τομὴ παραλληλόγραμμον ἔσται. 1. ὄμοιαι] pc, ὅμαιαι V v, mg. yo. Tt ὕμοιαν m. rec. V. 8. συξυγεῖς] vcp, euan. V, repet. mg. m. rec. — 5. α΄ p, om. Vc. 8. αὐταί] αὗται Vcp. 18. EZ — 14. εἰσιν] mg. p (κείμε-- v0»); in textu deinde del. EZ καί. 18. ΒΖ ZEp. 16. A4, BE, ΓΖ p. ἐἘπεί] ἐπεὶ οὖν p. 16. τε] vé ἐστι p. ἐστι! om. p. Post ἄρα exciderunt haec fere: τῇ 44 lom ve παράλληλός ἐστι. καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΤ' τῇ EZ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστι, καὶ ἡ ΒΕ ἄρα τῇ ΓΖ ἴση τε καὶ παράλληλός ἔστι. καὶ ἡ A4 ἄρα. 17. ΓΖ) Vc, A4 p. ἐστι) διὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ ἡ ΓΖ τῇ BE ἴση ἐστὶ καὶ παράλληλος" αἱ 441 ἄρα ΓΖ loot τέ εἶσι καὶ παράλληλοι p. 18. τε] εἰσίν p. εἰσιν --- δεῖξαι) om. p. 19. β p, m. rec. V, om. vc. DE SECTIONE CYLINDRI. 9 8. praeterea haec quoque definitio praemittenda, similes ellipses esse, quarum utriusque diametri con- iugatae inter se eandem rationem habeant et ad aequales angulos inter se secent. I. Si duae rectae inter se tangentes duabus rectis inter se tangentibus, quarum utraque utrique est aequalis, parallelae sunt, rectae terminos earum con- jungentes et ipsae aequales sunt et parallelae. A 4 FA Z sint duae rectae inter se tangentes 4B, ΒΓ duabus rectis inter se tangentibus Z4 E, EZ parallelae, et sit 4B — 4E, ΒΓ — EZ, ducanturque ATI, ZZ. dico, rectas 4ΓΓ, 472 aequales et parallelas esse. ducantur BE, ΓΖ. 4241. quoniam 4B rectae ΖΕ aequalis est eti parallela, erit etiam [Eucl. I, 33] BE rectae 421 aequalis et parallela. et quoniam ΒΓ rectae EZ aequalis est et parallela, erit etiam BE rectae ΓΖ aequalis et parallela. quare [Eucl. I, 30] A4 reciae ΓΖ aequalis est et parallela. ergo etiam [Eucl. I, 33] AI, 412 aequales et parallelae; quod erat. demonstrandum. II. Si cylindrus plano per axem secatur, sectio par- allelogrammum erit. 10 ΠΕΡῚ KTAINAPOT ΤΟΜΗ͂Σ. ἔστω κύλινδρος, οὗ βάδεις μὲν οἵ περὶ τὰ 4, B κέντρα κύκλοι, ἄξων δὲ ἡ 48 εὐϑεῖα, καὶ διὰ τῆς AB ἐχβεβλήσϑω ἐπίπεδον τέμνον τὸν κύλινδρον" ποιήσει δὴ ἐν μὲν τοῖς κύχλοις εὐθείας τὰς ΓΩ͂, EZ ὅ διαμέτρους οὔδας. ἐν δὲ τῇ ἐπιφανεία τοῦ κυλίνδρου τὰς ΕΗΓ, Z4 γραμμάς. λέγω, ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν EHI, 4Z γραμμῶν εὐϑεῖά ἐστιν. εἰ γὰρ δυνατόν, μὴ ἔστωδαν εὐϑεῖαι, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡἣ ΕΘΓ εὐϑεῖα. ἐπεὶ οὖν ἡ EHI γραμμὴ καὶ ἡ ΕΘΓ εὐϑεῖα 10 ἐν τῷ ΕΖ ἐπιπέδῳ εἰσὶ συνάπτουσαι κατὰ τὰ E, Γ σημεῖα, καί ἐστιν ἡ EHT' γραμμὴ ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφα-- νείας, ἡ EOI' ἄρα εὐθεῖα οὐκ ἔστιν ἐπὶ τῆς τοῦ κυ- λίνδρου ἐπιφανείας. ἐπεὶ οὖν οἵ 4, B κύκλοι ἴδοι τε καὶ παράλληλοί εἰσι καὶ τέμνονται ὑπὸ τοῦ Ez ἐπι- 15 πέδου, αἵ ἄρα κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν. εἰσὶ δὲ καὶ ἴσαι" διάμετροι γάρ εἰσιν ἴσων κύκλων" ἐὰν ἄρα μενόντων τῶν 4, B σημείων τὰς AI, BE διαμέτρους νοήσωμεν περιενεγχούδας τὴν ΕΘΓ᾽ εὐ- ϑεῖαν περὶ τοὺς Α, B κύκλους καὶ ἀποκαϑισταμένας, 20 ἡ ΕΘΓ εὐϑεῖα γράψει τὴν τοῦ κυλίνδρου ἐπιφάνειαν, καὶ ἔσται τὸ Θ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας. ἦν δὲ ἐκτός" ὅπερ ἀδύνατον. εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ EHI. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ Z4. καὶ ἐπιξευγνύουσιν ἴσας vs καὶ παραλλήλους τὰς EZ, ΓΖ4' τὸ EZ ἄρα παραλληλόγραμμόν ἐστιν" 2ὅ ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 1. βάσεις] corr. ex βάσις p, βάσις V vc. 2. τῆς] τοῦ c. 8. AB] AB εὐϑείας p. 6 EHI,ZA4]DTHE,A4Zpyp. 1. ἘΗΓῚ ΤΉΕν. 9. ΕΘΓ Τὴ ΓΘΕΡ. EHD]LDHE p. ΕΘΓ (al)] ΓΘῈ εὐϑεῖαι p. 10. E4] corr. ex ΕΘ m. 1 c. 11. EHI] ΓΗΕ p. 12. ΕΘΓῚ l'8E p. 18. EO T'] l'6 E p. 20. EO I"| '8 E p. 22. ΒΗΓ IHE, E e corr, p. 33. Z4] 42 p. ἐπιξευγνύουσισ V, DE SECTIONE CYLINDRI. 11 sib cylindrus, cuius bases sint cireuli circum -4, B cenira descripti, axis autem recta 4B, οὖ per AB planum ducatur cylindrum secans; ef- ficiet igitur 1n circulis rectas ΓΖ, EZ, quae diametri sunt, in super- fide autem cylindri lineas EHI, ZZ. dico, utramque lineam EHI, 4Z rectam esse. nam si fieri potest, ne sint rectae, ducaturque recia EO T. quoniam igitur linea EHT' et recta EG T in plano EZ positae sunt in punctis E, I' concurrentes, et linea EHTI' in superficie cylindri posita est, recta EOI in superficie cylindri posita non est. quoniam igitur circuli 4, B et aequales et paralleli sunt se- canturque a plano ΕΖ], communes eorum sectiones parallelae sunt [Eucl. XI, 16]. uerum etiam aequales sunt; sunt enim aequalium circulorum diametri ita- que si manentibus punctis 4, B diametros 4I', BE finxerimus rectam E 9 I per circulos 4, B circeumagentes et rursus restitutas, recta EG T' superficiem cylindri deseribet [def. 1], et punctum 6 1n superficie erit. at exira positum erat; quod fieri non potest. itaque EHI recta est. similiter autem etiam Z.zZf. et rectas EZ, I'/ aequales et parallelas iungunt. ergo EZ parallelogrammum est [Eucl. I, 33]; quod erat demonstrandum. ἐπιξευγνυούσης v. 24. EZ, I'4] I4, EZ p. EZ] ΓΖ". 25. ὅπερ ἔδει] om. p. δεῖξαι) vc, ξαι V, om. p. Seq. ἑξῆς τὸ σχῆμα V v (fig. in mg. est). 5 10 15 20 12 ΠΕΡῚ KTAINAPOT ΤΟΜΗΣ. γ΄. . Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηϑῇ παραλλήλῳ τῷ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμῳ, ἡ τομὴ παραλληλό- γραμμον ἔσται ἴσας γωνίας ἔχον τῷ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμῳ. ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσεις μὲν οἱ περὶ τὰ 4, B κέντρα κύκλοι, ἄξων δὲ ἡ 48 εὐϑεῖα, τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ ΓΩ͂, καὶ τετμήσϑω ὃ κύλινδρος ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ τῷ διὰ τῶν E, Z,H, Θ παραλλήλῳ ὄντι τῷ I1 παραλληλογράμμῳ καὶ ποιοῦντι τομὰς ἐν μὲν ταῖς βάσεσι τὰς EZ, H6 εὐϑείας. ἐν δὲ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου τὰς EH, ZO γραμ- μᾶς. λέγω, ὅτι τὸ EHZO σχῆμα παραλληλόγραμμόν ἐστιν ἰσογώνιον τῷ I4. ἤχϑω ἀπὸ τοῦ B κέντρου ἐπὶ τὴν EZ εὐϑεῖαν κάϑετος ἡ BK, καὶ διὰ τῶν KB, B.A διεκβεβλήσϑω ἐπίπεδον, καὶ ἔστωσαν κοιναὶ τομαὶ αἱ 4.4. K A, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ ΒΖ, 40. ἐπεὶ οὖν παράλληλος ὃ μὲν Α κύκλος τῷ B, τὸ δὲ ΕΘ ἐπίπεδον τῷ ΓΖ ἐπι- πέδῳ, καὶ τέμνεται ὑπὸ τοῦ 4BK.4 ἐπιπέδου, παράλ- ληλος ἄρα ἡ μὲν 44 τῇ BK, ἡ δὲ KA τῇ Bot παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ Κα 4 ἴση ἄρα ἡ μὲν ΚΑ τῇ BA, ἡ δὲ BK τῇ 4.1. καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ΒΚ 1. y'] p, m. rec. V, om. vc (et sic deinceps). 2. παρ- αλλήλῳ] mut. in παραλληλὸν m. 2 p. τῷ] τῷ τοῦ c. ὃ. παραλληλογράμμῳ] £9, ui saepe, p. 6. βάσις Vc. τά] p, vó Vc. 7. κέντρα] p, κέντρον Vc. 9. Ε,Ζ, H,0] ΗΘΕΖ p. 11. EZ, HO] HO, EZ p. 12. EH, ZO] HE, ΘΖ p. 18. EHZO0] EHOZ p. 18. ΒΖ, 409] 40, BZyp. ὁἣἜ] ἐστιν ὃ p. 21. ἄρα] ἄρα ἐστίν p. BK] vp, mg. m. 1 V (B ουδῃ.): ΚΑ c, et add. V. 22. ΚΑ] AK p. ἄρα] ἄρα ἐστίν p. DE SECTIONE CYLINDRI. 13 III. Si cylindrus plano secatur parallelogrammo per axem ducto parallelo, sectio parallelogrammum erit parallelogrammo per axem ducto aequiangulum. sib cylindrus, cuius bases sint circuli circum centra 4, B descripti, axis autem recta A B, ΓΖ auiem parallelo- grammum per axem ductum, οὐ cylindrus alio plano per E, Z, H, € secetur parallelo- grammo ΓΖ parallelo et sectiones efficienti in basibus rectas EZ, HO, in superficie autem cylindri lineas E H, ΖΘ. dico, figaram EHZO par- allelogrammum esse parallelo- grammo I'/ aequiangulum. ducatur a B centro ad rec- iam E Z perpendicularis BK, et per K B, B 4 planum ducatur, sintque communes sectiones 4.4, K 4. et ducatur ΒΖ, 449. quoniam igitur circuli 4, B paralleli sunt, et plana E98,I'4 parallela secanturque plano 4 B K A4, parallelae erunt 4/414, BK et ΚΑ, B.4 [Eucl. XI, 16]; itaque K 4 parallelogrammum est; quare K 4 — ΒΑ, BK — 44 [Eucl I, 34] et quoniam BK, 44 et KZ, 40 [Eucl. XI, 16] parallelae sunt, erit etiam [Eucl. XI, 10] L BKZ — 440. 48, ΚΑΊ Halley, ΚΑ εν, AK p. "pr Ὶ bis 6. ΒΑ] A B y. BK τῇ A4 A (u&rumque)] AA τῇ B 1 1 2 2 0 e 0 CQ 14 ΠΕΡῚ KTAINAPOT TOMHZ. τῇ 4.4 παράλληλός ἐστιν, ἡ δὲ KZ τῇ 46, καὶ ἡ ὑπὸ ΒΚΖ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ 440 ἴδη ἐστί. καί ἐστιν ἡ BK κάϑετος ἐπὶ τὴν ΚΖ' καὶ ἡ 44 ἄρα κάϑετός ἐστιν ἐπὶ τὴν 40. καί εἰσιν ἴσαι" ἴσαι ἄρα καὶ α EZ, H0: ἀλλὰ καὶ παράλληλοι. καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΖ τῇ 40 παράλληλός ἐστι, τὸ ἄρα διὰ τῆς ΒΖ καὶ τοῦ ἄξονος ἀγόμενον ἐπίπεδον ἥξει καὶ διὰ τῆς 4.Θ καὶ τομὴν ποιήσει παραλληλόγραμμον, καὶ πλευρὰ αὐ- τοῦ ἔσται ἡ τὰ Z, Θ ἐπιξευγνύουσα εὐϑεῖα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας οὖσα τοῦ κυλίνδρου. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΖΘ πλευρὰ τοῦ ΕΖΗΘ σχήματος ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφανείας᾽ κοινὴ ἄρα πλευρά ἐστι τοῦ τε διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμου καὶ τοῦ EHZO σχήματος. εὐθεῖα δὲ ἐδείχϑη ἡ πλευρὰ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος παραλ- ληλογράμμου: ἡ ΘΖ ἄρα ἐστὶν εὐϑεῖα. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ EH. καὶ ἐπιξευγνύουσιν ἴσας καὶ παραλλήλους τὰς EZ, HO: τὸ ΕΘ ἄρα παφαλληλόγραμμόν ἐστι. λέγω δή, ὅτι καὶ ἰσογώνιον τῷ ΓΖ. ἐπεὶ γὰρ δύο αἱ 48, ΒΖ δυσὶ ταῖς MA, 40 παράλληλοί εἰσι. καί εἰσιν αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἴσαι, καὶ αἱ Ζ4, MO ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσι διὰ τὸ πρῶτον ϑεώρημα. καὶ αἱ ZO, 4M ἄρα καὶ αὐταὶ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν. ἔστι δὲ καὶ ἡ 4Θ τῇ AM παράλληλος. ἡ ἄρα ὑπὸ 4ΘΖ γωνία τοῦ ΕΘ παραλληλογράμμου τῇ ὑπὸ ΓΜΖ γωνίᾳ τοῦ ΓΖ παραλλη- λογράμμου ἴδη ἐστίν" ἰσογώνιον ἄρα τὸ EO τῷ ΓΖ. —— 1l. KZ τῇ 40] 40 τῇ KZyp. 32. BKZ] 440 p. γω- vic] om. p. 440] BKZ γωνίᾳ p. 3. BK] vep, Be corr. m. 1 V. 6. BZ(pr) 40 p. 40] BZp. 9. Ζ, Θ] 0,Z yp. 10. ZO] OZ p. 11. EZHO] HO e corp. 18 ΕΗΖΘῚ EGOZ p. 16. εὐθεῖά ἐστιν p. 106. EH] corr. ex DE SECTIONE CYLINDRI. 15 et BK ad KZ perpendicularjs est; itaque etiam 4.4 ad 46 perpendicularis est. et sunt aequales; itaque liam EZ, ΗΘ aequales sunt [Eucl. III, 14]; uerum etiam parallelae [Eucl. XI, 16]. et quoniam BZ, 40 parallelae sunt [id.], planum per ΒΖ axemque ductum etiam per 446 ueniet sectionemque efficiet parallelo- grammum, et latus eius erit recia, quae in superficie eylindri posita Z, 6) puncta coniungit [def. 2]. uerum eliam ZO latus figurae ΕΖΗΘ in superficie cylindri positum est; itaque latus est commune parallelogramnmi per axem ducti figuraeque EH ΖΘ. | demonstrauimus autem, latus parallelogrammi per axem ducti rectam esse [prop. II]; itaque ΘΖ recta est. similiter autem eliam EH. et EZ, HO rectas aequales et parallelas iungunt; ergo EO parallelogrammum est [Eucl. I, 33]. dico, idem paralledlogrammo I'Z aequiangulum esse. quoniam enim duae rectae 7/B, B Z duabus rectis MA, 40 paralleae sunt, et quattuor illae rectae aequales sunt, etiam Z4, ΜΘ aequales sunt et parallelae propter prop. 1. quare etiam ΖΘ, 4M eb ipsae aequales sunt et parallelae [Eucl I, 33] uerum etiam 10, 4M paralleae sunt. | itaque [Eucl. XI, 10] angulus 460Z parallelogrammi EO angulo I'M parallelogrammi I'Z/ aequalis est. ergo EO parallelogrammo ΓΖ aequiangulum est. EZ m. 1 V, sed obscure; EZ vc, HE p. 17. EZ, H6] H0, EZp. 19.4B, ΒΖ) M4, A48 p. MA, A0] AB, BZ p. 21. ΜΘ] ΘΜ p. εἰσι — 38. παράλληλοῇ om. c (hab. v). 229. ΖΘ, 4M] ΘΖ, Md p. croi] αὗται Vp. 26. ἄρα] ἄρα ἐστί p. τὸ EO] Halley cum Comm., τῷ ὃ. Vc, τὸ ΘΕ yp. τῷ] p, τό Vc. 16 ΠΕΡῚ KTAINAPOY TOMHBHZ. . δ΄. Ἐὰν καμπύλην γραμμὴν ὑποτείνῃ εὐθεῖα, αἴ δὲ ἀπὸ τῆς γραμμῆς ἐπὶ τὴν ὑποτείνουσαν κάϑετοι ἴσον δύνωνται τῷ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς ὑποτεινούσης. ἡ γραμμὴ κύκλου περιφέρεια ἔσται. ἔστω χκαμπύλη γραμμὴ ἡ 484, ὑποτείνουσα δὲ αὐτὴν ἡ 44 εὐϑεῖα. καὶ κάϑετοι ἤχϑωσαν ἐπὶ τὴν A4 αἱ BE, ΓΖ. καὶ ὑποκείσϑω τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΒΕ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν AE, EZ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΖ ἴσον 10 τῷ ὑπὸ 424. λέγω, ὅτι ἡ AB. κύκλου περιφέ- ρειά ἔστι. τετμήσϑω δίχα ἡ 44 κατὰ τὸ H, καὶ ἐπεξεύχϑω- σαν αἱ HB, HI. ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΗΖ ἴσον ἐστὶ τῷ τε ἀπὸ τῆς HE xol τῷ ὑπὸ τῶν AE, ΕΖ, ὅ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς BE, ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς BH ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ HE, EB, ἴση ἄρα ἡ BH τῇ ΗΖ. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ΓΗ τῇ ΗΔ ἴση δείκνυται καὶ αἵ ἄλλαι" ἡμικύκλιον ἄρα τὸ AB A. CQ 1 σι 4 ε΄... 20 Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηϑῇ παραλλήλῳ ταῖς βάσεσιν. ἡ τομὴ κύκλος ἔσται τὸ κέντρον ἔχων ἐπὶ τοῦ ἄξονος. ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσεις μὲν οἱ A4, B κύκλοι. ἄξων δὲ ἡ 48 εὐϑεῖα, καὶ τετμήσϑω ὁ κύλινδρος 26 ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ ταῖς βάδεσι ποιοῦντι ἐν τῇ ἐπι- φανείᾳ τοῦ κυλίνδρου τὴν ΓΕΖ γραμμήν. λέγω, ὅτι ἡ DEA γραμμὴ κύκλου ἐστὶ περιφέρεια. 9. Ante ἐάν add. € mg. m. 1 V. 6. 484] ΑΒΓΖ p. 10. 42 2ὴ τῶν AZ, Z4 y. ABA] ABI'A p. 12. ἡ 44 vo p. 15. τό (pr)] p, τῷ Vc. BE] EB p. BH] DE ΒΕΟΤΙΟΝΕ CYLINDRI. 17 IV. Si euruae limeae subtenditur recta, οὗ rectae a linea ad subtensam perpendiculares quadratae aequales sunt rectangulo segmentis subtensae comprehenso, linea circuli arcus erit. sit curua linea.4 B Z1, e1autem subtensa recta 4 Zf,ducanturque . ad 414 perpendiculares BE, I'Z, et supponatur A 4 καὶ z 4 BE! — AE»EdZ, ΓΖ“ -Ξ- 42 »« ΖΖ. dico, 4884 arcum circuli esse. — A4 in H in duas partes aequales secetur, ducantur- que HB, HI. quoniam igitur Η “2 —HE!-- AE»« ΕΖ [Eucl. I, 5] — HE? -- BE? eb eliam ΒΗ" — HE? -ἰ ΕΒ" [Eucl. I, 41], ent | BH — HA. et similiter demonstrabimus, esse etiam ΓΗ͂ reliquas- que rectae Hf aequales; ergo 44 Bf semicirculus est. B V. . Si eylindrus plano secatur basibus parallelo, sectio eireulus erit centrum in axe habens. sib cylindrus, cuius bases sint circuli 4, B, axis autem recta 4B, seceturque cylindrus plano basibus parallelo, quod in superficie cylindri efficiat lineam AZ. dico, lineam ΓΖ ambitum circuli esse. HB p. 16. ἀπό] ἀπὸ τῶν p. ΒΗ] vcp, H e corr. m.1 V. 17. oi] om. p. 18. ΑΒΖ ABI4 p. 38. βάσις V. 24. AB] vcp, corr. ex 40 m. 1 V. 26. ΓΞ δ DPSAN p. 27. EZ] DEAN p. περιφέρειά ἐστι p. Berenus Antinoensis, ed. Heiberg. 2 18 ΠΕΡῚ KTAINAPOT ΤΟΜΗΣ. ἤχϑωσαν év τῷ A κύκλῳ διάμετροι αἱ EZ, ΗΘ, καὶ δι’ ἑκατέρας τῶν EZ, HO καὶ τοῦ ἄξονος ἐκ- βεβλήσϑω ἐπίπεδα τέμνοντα τὸν κύλινδρον᾽ ποιήσει δὴ παραλληλόγραμμα τὰς τομάς. ἔστω τοῦ μὲν ΕΚ παρ- αλληλογράμμου καὶ τοῦ ΓΞ Δ ἐπιπέδου κοινὴ τομὴ ἣ ΓΖ, τοῦ δὲ HA παραλληλογράμμου καὶ τοῦ DA ἐπιπέδου κοινὴ τομὴ ἡ NAE. ἐπεὶ οὖν τὸ ΓΙ 4 ἐπί- πεδον παράλληλόν ἔστι τῷ 4 κύκλῳ καὶ τέμνεται ὑπὸ τοῦ ΕΚ ἐπιπέδου, ἡ ΓΖ ἄρα εὐϑεῖα τῇ ΕΖ παράλλη- 10 Aóg ἐστι. διὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ ἡ NA τῇ ΗΘ παράλλη- λός ἐστιν. ἐπεὶ οὖν ἡ BA ἑκατέρᾳ τῶν DE, 4Z παράλληλός ἐστι. καὶ ἴδη ἡ AE τῇ AZ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΓΜ τῇ ΜΖ. ὁμοίως ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ H A τῇ A0, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΜΝ τῇ MA. ἐπεὶ δὲ αἱ AE, AH ἴσαι 15 εἰσί, καὶ α MI, ΜΝ ἄρα ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις" πᾶδαι ἄρα αἱ ΜΓ, ΜΖ. MN, ΜΗ͂ ἴσαι εἰσίν. ὁμοίως δὲ κἂν ἄλλαι διαχϑῶσι, πᾶσαι αἴ ἀπὸ τοῦ M ἐπὶ τὴν DEA γραμμὴν προσπίπτουσαι ἴσαι εὑρεϑήσονται. κύκλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΞ 4 τομή. 20 ὅτι δὲ καὶ τὸ κέντρον ἐπὶ τῆς AB εὐϑείας ἔχει. δῆλον" τὸ γὰρ Μ ἐν τοῖς τρισὶν ἐπιπέδοις ὃν ἐπὶ τῆς AB κοινῆς τομῆς τῶν παραλληλογράμμων ἐστί, τουτ- ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονοο. δι , S. 206 Ἐὰν κύλινδρος δσκαληνὸς ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος τμηϑῇ πρὸς ὀρϑὰς τῇ βάσει, τμηϑῇ δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπι- 1. ἢ « V, πρώτῳ c. ὅ. ΓΞΖ DEAN p. 6.HA]|p, HI'Vc. D48] ΓΕ ΔΝ p. 7. NE] N e corr. m. 1 c. ΓΞ 4 lEAN p. 10. διὰ — 12. deri] om. p. 10. δέ] δή Halley. 11. ἐστιν] c, dci V. 4 Z]Halley, 45 Vc. 12. τῇ AZ] bisc. 18. I'M] MI'p. 14.MN| NMyp. AE] ÉA p. 16. ΜΓΊ ΓΜ». 16. MN, MX] ΜΗ͂, MN p. DE SECTIONE CYLINDRI. 19 ducantur in circulo 4 diametri EZ, HO, et per utramque EZ, ΗΘ axemque plana ducantur cylindrum secaniia; sectiones igitur efficient parallelogramma (prop. II]. sit ΓΖ communis sectio parallelogrammi E Καὶ planique I' 4, ΝΗ autem parallelogrammi H 4 planique I'/,3 sectio communis. quoniam igitur planum ΓΖ cir- culo A4 parallelum est secaturque plano EK, recta ΓΖ rectae EZ parallela est [Eucl. X1, 16]. eadem de causa autem etiam NX rectae HO parallela est. quoniam igitur ΒΑ utrique ΓΕ, 4Z parallela est, et. 4E — A4Z, erit eliam I'M — MZ. similhiter quoniam H4 -— 40, erit eliam MN — ME. et quoniam 4E — AH, erit etiam MI'—MN;iiaque MI', ΜΖ. MN, ME omnes inter se aequales. similiter autem etiam, si aliae ducuntur, omnes rectae, quae ab M ad lineam ΓΞ 24 adcidunt, aequales inuenientur. ergo sectio ΓΞ 2 circulus est [Eucl. I def. 15]. | eam autem etiam centrum habefe in recta 4 B, adparet; nam punctum M, quod in tribus planis po- Bitum est, in 4 B communi parallelogrammorum sectione esi, hoc est in axe. VI. Si eylindrus obliquus plano per axem secatur ad basim perpendieulari et simul alio plano secatur, — 18. l4] N add. m. 1 p. γραμμήν] om. e. 19. ἐστὶν] ἐστὶ V. DEA] corr. ex ΓΖΖ m. 1 e, DEAN p. 9* b 10 15 20 25 -» 20 IIEPI KTAINAPOT TOMHZ. πέδῳ ὀρϑῷ τε πρὸς τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμ- μον καὶ ποιοῦντι τὴν κοινὴν τομὴν ἐν τῷ παραλληλο- γράμμῳ εὐθεῖαν ἴσας μὲν ποιοῦσαν γωνίας ταῖς τοῦ παραλληλογράμμου, μὴ παράλληλον δὲ οὖσαν ταῖς βά- 6:6. τοῦ παραλληλογράμμου, ἡ τομὴ κύκλος ἔσται; καλείσϑω δὲ ἡ τοιαύτη ἀγωγὴ τοῦ ἐπιπέδου ὑπεν- αντία. ἔστω σκαληνὸς κύλινδρος, οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον ἔστω τὸ 44 πρὸς ὀρϑὰς ὃν τῇ βάσει. τετμήσϑω δὲ ὃ κύλινδρος καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ τῷ ΕΖΗ ὀρϑῷ καὶ αὐτῷ πρὸς τὸ 44] παραλληλόγραμμον καὶ ποιοῦντι ἐν αὐτῷ κοινὴν τομὴν τὴν EH εὐϑεῖαν μὴ παράλληλον μὲν ταῖς AB, ΓΖΩ, ἴσας δὲ γωνίας ποιοῦσαν τὴν μὲν ὑπὸ HEA τῇ ὑπὸ EAB, τὴν δὲ ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ὑπὸ ABH. λέγω. ὅτι ἡ ΕΖΗ͂ τομὴ κύκλος ἐστίν. εἰλήφϑω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς EH εὐϑείας τὸ O, καὶ πρὸς ὀρϑὰς τῇ ΕΗ ἤχϑω ἡ ΘΖ ἐν τῷ ΕΖΗ ἐπιπέδῳ οὖσα ἡ ΖΘ ἄρα κάϑετός ἐστιν ἐπὶ τὸ 44 ἐπίπεδον. ἤχϑω διὰ τοῦ Θ τῇ 4B παράλληλος ἡ ΚΘΑ, καὶ κείσϑω τῇ 4B πρὸς ὀρϑὰς ἡ MN, καὶ διὰ τῶν ZO, KA ἤχϑω ἐπίπεδον ποιοῦν τὴν KZ τομήν. ἐπεὶ οὖν ἡ ΜΝ κάϑετός ἐστιν ἐπὶ τὴν AB κοινὴν τομὴν τῶν ἐπιπέδων ἐν τῷ τῆς βάσεως ἐπιπέδῳ οὖσα, κάϑετος ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΝ ἐπὶ τὸ A44 ἐπίπεδον: παράλληλοι ἄρα εἰσὶν α ZO, ΜΝ. παράλληλοι δὲ καὶ αἱ K 4, 6. -γὴ τοῦ ἐπιπέδου] ins. in ras. m. 1 p. 14. Post ὑπό (pr. lacun. dimidiae fere lineae V (quia litterae ex altera parte eiusdem folii chartam maculauerant) 16. 4BH]p, AHB Vc. 16. ἐστίν] ἔσται p. 18. 75490] ἤχϑω εὐϑεῖα p. 19. 44] ΟΡ, corr. ex 40 m. 1 V. 20. τῇ] p, τήν V vc. DE SECTIONE CYLINDRI. 2] quod et ad parallelogrammum per axem positum perpendiculare est eb communem sectionem in parallelo- grammo efficit rectam angulos efficientem angulis parallelogrammi aequales, basibus autem parallelo- grammi non parallelam, sectio circulus erit; adpelletur autem talis positio plani contraria. sit cylindrus obli- quus, cuius parallelo- grammum per axem po- situm sit 471 ad basim perpendiculare, secetur aulem cylindrus etiam alio plano EZ H, quod el ipsum ad parallelo- grammum 17/1 perpen- diculare sit in eoque communem sectionem efficiat rectaàm EH rectis 48. ΓΖ, non paralllam, angulos autem efficientem aequales, L HEA — EAB, ΕΗΒ — ABH. dico, sectionem EZH esse circulum. sumatur in recta EH punctum aliquod 0, et ad EH perpendicularis ducatur ΘΖ in plano ΕΖΗ posita; ΖΘ igitur ad planum 4,2] perpendicularis est In Vv praeterea haec figura est, sed in V deleta; in v adscripsit m. rec. σε- ριττεῖ. e 10 "1 20 ἐπὶ τὴν AB ἡ ΓΖ, καὶ διὰ τῶν AB, 22 IIEPI KTAINAPOT TOMHZ. A B: καὶ τὰ δι᾽’ αὐτῶν ἄρα ἐπίπεδα. ἡ ΚΖ 4 ἄρα τομὴ παράλληλός ἐστι τῇ βάσει᾽' κύκλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΖ4 τομή. διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἡ KA καὶ τῇ ΚΑ πρὸς ὀρθὰς ἡ 2Θ' ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν KO, 04 τῷ ἀπὸ τῆς ΘΖ. ἀλλὰ τῷ ὑπὸ τῶν ΚΘ, ΘΑ τὸ ὑπὸ τῶν EO, ΘΗ ἴδον ἐστίν᾽ ἴση γὰρ ἡ μὲν EO τῇ ΘΚ, ἡ ὃδὲ ΗΘ τῇ 0.4 διὰ τὸ τὰς πρὸς ταῖς EK, AH βάσεσι γωνίας ἴσας εἶναι" καὶ τῷ ὑπὸ τῶν EG, ΘΗ ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ZO ἴσον ἐστί. καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ΖΘ ἐπὶ τὴν EH. ὁμοίως δὲ κἂν ἄλλην ἀγάγῃς παράλληλον τῇ ZO ἐπὶ τὴν EH, ἴδον δυνήσεται τῷ ὑπὸ τῶν ysvo- μένων τμημάτων τῆς EH: κύκλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖΗ τομή, οὗ διάμετρος ἡ ΕΘΗ εὐϑεῖα. ξ΄. Ζοϑέντος κυλίνδρου σημείου τινὸς ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας ἀγαγεῖν διὰ τοῦ σημείου πλευρὰν τοῦ κυλίνδρου. ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσεις μὲν οἵ A, B κύκλοι, ἄξων ὃδὲ ἡ 48 εὐϑεῖα, τὸ δὲ δοϑὲν σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπι- φανείας τὸ I, καὶ δέον ἔστω διὰ τοῦ Γ ἀγαγεῖν τοῦ κυλίνδρου πλευρᾶν. ἤχϑω ἀπὸ τοῦ Γ σημείου κάϑετος 1. KZA]| p, KZ Vc. 3. -óg ἐστι τῇ βάσει) in ras. m. 1 p. 5. τῷ Cl] Vp,ró c. 1.ΕΚ, ΛΗ] EH, KA p. 8. τῷ τό p. 9. τό] τῷ p. ΖΘ (alt.] vc, corr. ex ΘΖ m. 1 Y, ΘΖ p. 19. EH] Halley cum Comm,, EK Vp (c?). ἐστίν] om.c. 18. Ante σημείου ins. καί m. 2 cod. Paris. 2867, Comm,., Halley. 19. 4B] vcp, B paene euan. V, ,,t ἡ 4B sic in apo- grapho" mg. m. rec. V. 21. Γ]Ὶ vcp, renouat. m. rec. V. DE SECTIONE CYLINDBI. ᾿ 23 — [Eucl. XI def. 4]. ducatur per Θ᾽ rectae 4B parallela ΚΘ 4. et ad rectam 4 B perpendicularis ponatur MN, per ΖΘ; K 4 autem ducatur planum sectionem efficiens KZ... quoniam igitur MN perpendicular est ad AB communem planorum sectionem in plano basis positam, MN ad planum 47 perpendieularis est [Eucl. XI def. 4]; itaque ZO, MN parallelae sunt [Eucl. XI, 6]. uerum etiam K 4, 4B parallelae sunt [Eucl. Xl, 16]; quare etiam plana per eas ducta [Eucl. XI, 15]. itaque sectio KZ 4 basi parallela est; sectio KZ.4 igitur circulus est [prop. V]. diametrus autem circuli est. K Δ et ad K 4 perpendicularis Z9; ilaque erit K 0 5« 64 — 6Z?. uerum E0 «0H -—K0504,; nam EG — ΘΚ, ΗΘ — 60 4 [Eucl. I, 5], quia anguli ad bases EK, 4H positi aequales sunt; quare etiam | ΖΘ᾽ — EG »« ΘΗ. ei ΖΘ ad EH perpendicularis est. similiter autem eliam, si aliam rectae ΖΘ parallelam ad E H duxerimus, quadrata aequalis erit rectangulo partibus rectae EH, quas efficit, comprehenso; ergo sectio EZH circulus est, cuius diameirus est recta EH [prop. IV]. VII. Dato in superficie cylindri puncto aliquo per punctum illud latus cylindri ducere. sib cylindrus, cuius bases sint circuli 4, B, axis aulem 4B recta, punctum autem in superficie datum I, et oporteat per I'latus cylindri ducere. ducatur a puncto I' ad 4B perpendicularis ΓΖ, el per rectas 48, ΓΖ planum dueatur cylindrum 24 * IIEPI KTAINAPOT TOMHZ. DA εὐϑειῶν ἐχβεβλήσθω ἐπίπεδον τέμνον τὸν κύλιν- δρον" ἥξει ἄρα ἡ τομὴ διὰ τοῦ Γ' καὶ ποιήσει εὐθεῖαν ὡς τὴν ΓΕ, ἥτις ἐστὶ πλευρὰ τοῦ κυλίνδρου." η΄. δ Ἐὰν ἐπὶ κυλίνδρου ἐπιφανείας δύο σημεῖα ληφθῇ μὴ ἐπὶ μιᾶς ὄντα πλευρᾶς τοῦ παραλληλογράμμου τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τοῦ κυλίνδρου, ἡ ἐπιξευγνυμένη εὐϑεῖα - ἐντὸς πεσεῖται τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφανείας. ᾿ ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσεις εἰσὶν οἵ 4, B κύκλοι, 10 καὶ εἰλήφϑω ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας αὐτοῦ δύο σημεῖα τὰ I, 4 μὴ ὄντα ἐπὶ μιᾶς πλευρᾶς τοῦ παραλληλογράμμου τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τοῦ κυλίνδρου, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ I'4 εὐθεῖα. λέγω, ὅτι ἡ ΓΖ ἐντὸς πίπτει τῆς ἐπι- [3 φανείας. 18 εἰ γὰρ δυνατόν, πιπτέτω ἢ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας ἢ ἐκτὸς αὐτῆς. καὶ ἐπεὶ và Γ, 4 σημεῖα οὔκ ἐστιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς πλευρᾶς τοῦ κυλίνδρου, ἤχϑω διὰ μὲν τοῦ DI ἡ ΕΓΖ πλευρά, διὰ δὲ τοῦ 4 ἡ HAGO, καὶ ἐπ- εξεύχϑωσαν αἴ EH, ΖΘ εὐθεῖαι" ἐντὸς ἄρα πίπτουσι 30 τῶν κύκλων αἴ EH, ΖΘ. ἐἰλήφϑω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ΓΖ τὸ Κ' τὸ δὴ K ἤτοι ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας ἐστὶ τοῦ κυλίνδρου ἢ ἐκτός. ἔστω πρότερον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας, καὶ διὰ τοῦ Καὶ ἤχϑω πλευρὰ τοῦ κυλίνδρου ἡ ΚΜ εὐθεῖα πίπτουσα ἐπὶ τὰς EH, ZO περιφερείας ἐκβαλ- 25 λομένη. οὐδετέραν ἄρα τεμεῖ τῶν EH, ΖΘ εὐϑειῶν᾽ 8. DE] Vep, ZI'E Halley, Z ins. m. 2 cod. Paris. 3867, ecf Comm. πλευρά] vcp, -ed euan. V. — 5. δύο] B Vc. ληφϑῇ) ληφϑείη p. 9. εἰσίν} ἔστωσαν p. οἱ] corr, ex ἡ p. 10. δύο] B c. 18. τῆς] τῆς τοῦ κυλίνδρου p. 18. 4] 6 DE SECTIONE CYLINDRI. 25 secans; sectio igitur per I' ueniet rectamque efficiet [prop. II] ut I'E, quae latus est cylindri. VIII. $1 in superficie cylindri duo puncta sumuntur non in uno latere posita parallelogrammi per axem cylindri positi, recta ducta intra superficiem cylindri cadet. sib eylindrus, cuius bases sint cireuli 4, B, sumanturque in super- ficie eius duo puncta I? 7f non in uno latere posita parallelogrammi per axem cylindri positi, e£ ducatur recta ΓΖ. dico, ΓΖ intra super- ficiem cadere. nam, si fieri potest, aut in superficie cadat aut extra eam. et quoniam puncta I, z7/ in eodem latere cylindri non sunt, per I' du- catur latus ΕΓΖ, per 71 autem H 4 9 |prop.VII |, ducanturquerectae EH, Z0; EH, ZO igitur intra circulos cadunt. iam in I'4 punctum aliquod sumatur K; K igitur aut in super- ficie cylindri est aut extra eam. prius in superficie sit, et per K latus cylindri ducatur 4 K M recta [prop. VII], quae producia in arcus EH, ΖΘ cadet. neutram igitur rectarum EH, ΖΘ secabit; itaque 4M in plano ZEHO non est. et in ea positum est K; itaque ne corr. pp 20. ΖΘ] ΖΘ εὐθεῖαι p. 21. δή δέν. 34. EH H E y. 26. οὐδετέραν ἄρα] scripsi, οὐδετέραν Vc, ἄρα AKM εὐθεῖα οὐδεμίαν p. τεμεῖ] τέμει Vc, τέμνει p. ἘΠῚ H e corr. m. 1 c. ὧι 10 1 20 2b 26 ΠΕΡῚ KTAINAPOT TOMBZ. οὐκ ἄρα ἐστὶν ἡ AM ἐν τῷ ZEHO ἐπιπέδῳ. καὶ ἐπ’ αὐτῆς τὸ K^ οὐδὲ τὸ K ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΖΕΗΘ ἐπιπέδῳ. ἐπεὶ δὲ ἡ Γ4 ἐστιν ἐν τῷ ZEHO ἐπιπέδῳ καὶ ἐπ᾿ αὐτῆς τὸ K, τὸ Καὶ ἄρα ἐν τῷ ΖΕΗ͂Θ ἐστιν ἐπιπέδῳ. καὶ ἔστιν ἄρα καὶ οὐκ ἔστιν ἐν τῷ ἐπιπέδῳ τὸ K^ ὅπερ ἀδύνατον. οὐχ ἄρα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας ἐστὶν ἡ ΓΖ. ἀλλὰ δὴ ἔστω ἐκτός, καὶ ληφϑέντος δημείου τινὸς ἐπὶ τῆς EH περιφερείας τοῦ 4 ἐπεξεύχϑω ἡ KA. ἐκ- βληϑεῖσα δὴ ἐφ᾽ ἑκάτερα ἡ Καὶ Δ οὐδετέραν τεμεῖ τῶν ΕΗ, 2Θ εὐϑειῶν" ὥστε οὐκ ἔσται ἡ K 4A ἐν τῷ ΖΕΗ͂Θ ἐπιπέδῳ" καὶ τὰ λοιπὰ δῆλα. 9. Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηϑῇ μήτε παρὰ τὰς βά- σεις μήτε ὑπεναντίως μήτε διὰ τοῦ ἄξονος μήτε παραλ- λήλῳ τῷ διὰ τοῦ ἄξονος ἐπιπέδῳ, Tj τομὴ οὐκ ἔσται κύκλος οὐδὲ εὐθύγραμμον. ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσεις οἵ 4, B κύκλοι, καὶ τετμήσϑω ἐπιπέδῳ μήτε παρὰ τὰς βάσεις μήτε ὑπεναν- τίως μήτε διὰ τοῦ ἄξονος μήτε παραλλήλως τῷ ἄξονι. τὸ δὴ τέμνον ἐπίπεδον ἤτοι καὶ τὰς βάσεις τέμνει ἀμ- φοτέρας ἢ τὴν ἑτέραν ἢ οὐδετέραν. πρῶτον δὴ μηδ- ἑτέραν τεμνέτω καὶ ποιείτω γραμμὴν ἕν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου τὴν DEZ. λέγω, ὅτι ἡ ΓΕΖ τομὴ οὔτε κύκλος ἐστὶν οὔτε εὐθύγραμμον. 1. καί] V, καί ἐστιν cp. 2. ΖΕΗΘΊ Eecorr.p. 8. ἐπεί --- ὅ. ἐπιπέδῳ] om. p. 6. τῷ] τῷ αὐτῷ p. 9. τοῦ] τινὸς τοῦ p. 10. X4] AK c. 14. usi) Halley cum Comm., τμηϑεῖς Vcp. 20. ἄξονι — 21. ἐπίπεδον) in ras. p Beq. rasura magma. DE SECTIONE CYLINDRHI. 21 K quidem in plano ZEH O0 est. quoniam autem ΓΖ in plano ZEH O est et in ea positum K, punctum Καὶ i1 plano ZEHO positum est. itaque K et est in plano et non est; quod fieri non potest. ergo ΓΖ in superficie non est. iam uero exira eam sit, οὗ sumpto in arcu EH puncto aliquo ΛΜ ducatur Κα. Κὶ igitur in utram- que partem producta neutram .rectarum EH, ΖΘ secabit; quare ΚΑ in plano ZEHO non erit; et reliqua manifesta sunt. IX. Si eylindrus plano secatur neque basibus parallelo neque conirario neque per axem posito neque plano per axem posito parallelo, sectio neque circulus erit neque figura reclilinea. sit cylindrus, cuius bases sint 44, B circuli, ei plano secetur neque basibus parallelo neque contrario neque per axem neque axi parallelo posito. planum Ox 98 ΠΕΡῚ KYTAINAPOT TOMBE. ὅτι μὲν οὔκ ἐστιν εὐθύγραμμον, δῆλον. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω εὐθύγραμμον. καὶ εἰλήφϑω πλευρά τες αὐτοῦ ἡ ΓΕ. ἐπεὶ οὖν ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλίν- δρου δύο σημεῖα εἴληπται τὰ I', E μὴ ὄντα ἐπὶ τῆς αὐτῆς πλευρᾶς τοῦ κυλίνδρου᾽ ἡ γὰρ πλευρὼ κατὰ δύο σημεῖα οὐ τέμνει τὴν τοιαύτην γραμμήν. ἡ ἄρα τὰ . I', E σημεῖα ἐπιξευγνύουσα εὐϑεῖα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας 10 1 2 2 e e οι ἐστὶ τοῦ κυλίνδρου" ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχϑη. οὐκ ἄρα εὐθεῖά ἐστιν ἡ ΓΕ γραμμή" τὸ ἄρα D'EA σχῆμα οὔκ ἐστιν εὐθύγραμμον. δεικτέον δή, ὅτι οὐδὲ κύκλος. ἐπεὶ γὰρ τὸ τῆς ΓΕΖ τομῆς ἐπίπεδον τῷ τοῦ Α κύκλου ἐπιπέδῳ οὔκ ἐστι παράλληλον, ἐκβαλλόμενα τὰ ἐπίπεδα τεμεῖ ἄλληλα. vtuvéro, καὶ ἔστω κοινὴ τομὴ αὐτῶν ἡ ZH, καὶ διὰ τοῦ A4 κέντρου ἤχϑω κάϑετος ἐπὶ τὴν ΖΗ ἡ Θ4Η, καὶ διὰ τῆς ΘΑ͂ καὶ τοῦ ἄξονος ἐχβεβλήσϑω ἐπίπεδον ποιοῦν ἐν μὲν τῷ κυλίνδρῳ το- μὴν τὸ OK παραλληλόγραμμον. ἐν δὲ τῇ ΓΕΖ τομῇ τὴν ΓΖ εὐϑεῖαν. καὶ τῆς ΓΖ δίχα τμηϑείσης κατὰ τὸ A ἤχϑωσαν τῇ ZH παράλληλοι διὰ μὲν τοῦ Α ἡ EAM, διὰ δὲ τοῦ 4 ἡ NAA: αἱ ἄρα ME, ΝΗ παράλληλοί εἰσιν ἀλλήλαις. ἤχϑω τοίνυν διὰ τῆς EM ἐπίπεδον παράλληλον τῇ βάσει τοῦ κυλίνδρου ποιοῦν ἐν τῷ κυλίνδρῳ τομὴν τὴν OEIIM: ἡ OEII ἄρα τομὴ κύκλος ἐστίν, οὗ διάμετρός ἐστιν ἡ OII δίχα τετμημένη κατὰ τὸ Λ' ἐπεὶ γὰρ τῶν AOT, 4Π4 τριγώνων ὁμοίων ὄντων ἴση ἐστὶν ἡ I4 τῇ 44, ἴση ἄρα καὶ ἡ OA 14. κοινὴ τομὴ αὐτῶν] αὐτῶν κοινὴ τομή p. 18, τομῇ] om.c. 21. NAN| p, NA Vc. 24. OEII] OEIIM Halley cum Comm. 26. ἐπεί] ἐπί ς. τῶν] p, vó Ve. — AIIA] p, AllA Vc. toiyóvov] p, τρέγωνον Vc. . DE SECTIONE CYLINDRI. 29 igitur secans aut basim quoque utramque secat aut alteram aut neutram. iam primum neutram secet efficiatque in superficie cylindri lineam ΓΕΖ. dico, lineam ΓΕΖ neque cireulum esse neque figuram rectilineam. iam rectihneam figuram eam non esse, adparet. nam, si fieri potest, sit figura rectilinea, sumaturque latus aliquod eius ΓΕ. quoniam igitur in superficie cylindri duo puncta sumpta sunt I; E non in eodem latere cylindri posita (latus enim talem lineam in duobus punctis non secat), recta puncta I', E con- iungens in superficie cylindri est; quod demonstrauimus fieri non posse [prop. VIII]. itaque linea I'E recta non est; ergo figura ΓΕΖ rectilinea non est. iam demonstrandum, ne circulum quidem eam esse. quoniam enim planum sectionis ΓΕΖ plano cir- culi 4 parallelum non est, producta plana inter se secabunt. secent, sitque communis eorum sectio Z H, et per 4 centrum ad ZH perpendicularis ducatur 64H, per 60.4 autem axemque planum ducatur sectionem efficiens in cylindro parallelogrammum ΘΚ, in I'EZ autem sectione rectam [ΓΖ et recta ΓΖ in 4 in duas partes aequales secta rectae Z H parallelae ducantur per 4 recta EAM, per 4 autem N AG; itaque ME, ΝΞ inter se parallelae sunt [Eucl. XI, 9]. per E M igitur planum basi cylindri parallelum ducatur in cylindro sectionem efficiens OEIIM; itaque sectio OEII circulus est, cuius diametrus est OII [prop. V] in ΛΔ in duas partes aequales secta. quoniam enim in trangulis similibus 4OI', AIIZ4 est ID'4 — 44, ὄ 80 ΠΕΡῚ KYTAINAPOT ΤΟΜΗΣ. τῇ AIL. διάμετρος ἄρα καὶ ἣ EAM τοῦ OEII κύχλου. ἐπεὶ οὖν παράλληλός ἐστιν ἡ μὲν O A τῇ € A, TAM δὲ τῇ AA, ἡ ἄρα ὑπὸ τῶν OA, AM γωνία τῇ ὑπὸ 04, AA ἴση ἐστίν. ὀρϑὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ τῶν OA, AM. ἡ EA ἄρα κάϑετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΟΠ διάμετρον τοῦ xóxAov: τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς E.4 ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ OA, All. ἐπεὶ δὲ οὔκ ἐστιν ἡ τομὴ ὑπεναν- τίακ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΠΟΓΙΓ γωνία οὔκ ἐστιν ἴση τῇ ὑπὸ ΟΓ 4: οὐδὲ ἡ OA ἄρα εὐϑεῖα τῇ ΓΖ ἴση ἐστίν" οὐδὲ 10 τὸ ἀπὸ τῆς O4 ἄρα, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν O 4, AII, τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ, τουτέστι τῷ ὑπὸ τῶν ΓΑ. 444. ἴδον ἐστίν. ἀλλὰ τῷ ὑπὸ τῶν O4, AII τὸ ἀπὸ τῆς EA icov: τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΜ οὔκ ἐστι τῷ ὑπὸ τῶν ΓΑ, “2 ἴσον. οὐκ ἄρα κύκλος ἐστὶν ἡ ΓΕΖ τομή᾽ ἐδείχϑη 16 δέ, ὅτι οὐδὲ εὐθύγραμμον ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 20 2ὅ καὶ συναπεδείχϑη, ὅτι ἡ τὴν ΓΖ ἐν τῇ τομῇ παρὰ τὴν ΖΗ διχοτομοῦσα εὐϑεῖα ἴση ἐστὶ τῇ διαμέτρῳ τῆς βάσεως. , L. ᾿4λλὰ δὴ τὸ τέμνον ἐπίπεδον veuvévo καὶ τὰς βάσεις, τὴν μὲν A βάσιν τῇ ΓΕ εὐϑείᾳ, τὴν δὲ B τῇ ZH, καὶ διὰ τοῦ 4 ἤχϑω κάϑετος ἐπὶ τὴν ΓΕ ἡ ΘΑ 4, καὶ διὰ τῆς ΘΑ͂ διαμέτρου καὶ τοῦ ἄξονος ἐκβεβλήσϑω ἐπίπεδον. ὃ ποιεῖ τομὴν τὸ 0 K παραλληλόγραμμον, τῆς ὃὲ ΖΕ τομῆς καὶ τοῦ ΘΚ παραλληλογράμμου κοινὴ τομὴ ἡ 4Μ. ἐπεὶ οὖν τὸ ΖΕ ἐπίπεδον οὔτε διὰ τοῦ — 1. ἄρα] ἄρα ἐστί p. 3. ΛΜ δέ] Vc, δὲ AM p. τῶν) om. p. OA, AM] OAM p. 4. ὑπό (pr.)] ὑπὸ τῶν Halley. .6A, AN ΘΑ͂ p. ἐστίν] ἐστίν: ὀρϑὴ δὲ ἡ ὑπὸ OA p. τῶν OA, A OAM p. 6. τοῦ] τοῦ OEII p. 1. τῷ] p, vtó Vc. ὑπό] ὑπὸ τῶν p. Post τομή add. * c. 8. AOI] . DE SECTIONE CYLINDRI. 31 ernt etiam O4 — AII [Eucl. VI, 4]. quare etiam EAM diamelirus est circuli OEII. iam quoniam Ο 4 rectae 6.4 parallela est, 4M autem rectae 4X, erit LOAM — 6A5 [Eucl. XI, 10]; quare etiam ΟΜ Μ rectus est. itaque E.1 ad circuli diametrum ΟΠ perpendicularis est; quare E 42 — O 4» « AII. quoniam autem sectio contraria non est, non erit / 40I'— OI A [prop. VI]; itaque non est ΟΖ — ΓΖ: quare ne Ο 4) quidem, hoc est O 4»« A41I, aequale est quadrato AI", hoc est ΓΖ »« 42. uerum EA? — OA4»« AIT; quare non est Ef? —- D'4»« A4. ergo sectio I'EZ circulus non est [prop. IV |; demonstrauimus autem, eam ne recti- lineam quidem figuram esse; quod erat demonstrandum. et. simul demonstrauimus, rectam rectae ZH parallelam, quae in seetione rectam ΓΖ in duas partes aequales secet, diametro basis aequalem esse. X. Iam uero planum seeans etiam bases secet, basim 4 secundum rectam I'E, B uero secundum ZH, et per 4 ad ΓΕ perpendicularis ducatur 60.44, per diametrum autem 6 4 axemque planum ducatur seeljonem efficiens ΘΙ parallelogrammum prop. II], communis autem sectio seclionis ZE et parallelo- grammi ΘΚ sib 4M. quoniam igitur planum ΖΕ OAT yp. 9. OI'A] A e corr. m. 1 c. τῇ — ἐστίν) ἴση ἐστὶ τῇ ΔΙ p. 19. τῷ] vcp, corr. ex τό m. 1 V. 18. ἴσον] ἴσον ἐστί p. 14. l'EZd] p, TE Vc. 1. ὅπερ] om. p. ἔδει δεῖξαι] om. p, ἐδεῖξαι c. 16. ε΄ mg. m. rec. V. « ἢ] 0m. c, 19. ν΄ mg. p, om. Vc. 21. ZH] ZH εὐϑείᾳ p. 275. ΖΕ7 vcep et seq. ras. 1 litt. V, ZI'EH Halley. 26. τομή] τομὴ ἔστω Halley (cum Comm.). ex 39 ΠΕΡῚ KTAINAPOT TOMBHZ. ἄξονος ἧκται οὔτε παραλλήλως τῷ ἄξονι, ἡ 4M ἄρα ἐπ᾿’ ἄπειρον ἐκβαλλομένη τεμεῖ τὸν ἄξονα" τεμεῖ ἄρα καὶ τὴν ΘΝ παράλληλον οὖσαν τῷ ἄξονι" ἀμφοτέρα γὰρ ἐν τῷ OK εἰσιν ἐπιπέδῳ. τεμνέτω δὴ κατὰ τὸ IN, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐφ᾽ ἑκάτερα ἡ ΘΝ. ἐὰν δὴ μένοντος τοῦ ἄξονος καὶ τῶν κύχλων ἡ ΘΝ περιενεχϑεῖσα σὺν ταῖς διαμέτροις ἀποκατασταϑῇ, αὐξήσει τὴν τοῦ ἐξ ἀρχῆς κυλίνδρου ἐπιφάνειαν κατὰ τὸ ὕψος, καὶ προσ- ἐχβληϑέντος τοῦ ΖΕ ἐπιπέδου αὐξηϑήσεται καὶ 7) τομὴ 10 μέχρι τοῦ N* τὸ δ᾽ αὐτὸ ἔσται καὶ ἐπὶ τὰ I', 4 μέρη" 15 2 e ἡ NHEP ἄρα τομή ἐστι κυλίνδρου, οἵα xal ἐν τῷ πρὸ τούτου ϑεωρήματι. ἡ NHEP ἄρα τομὴ οὔτε κύκλος οὔτε εὐϑύγραμμόν ἐστι καὶ ἡ ΓΕΗ͂Ζ ἄρα τομὴ οὔτε εὐθύγραμμον οὔτε κύκλος οὔτε τμῆμα κύκλου, ἀλλ᾽ ἐστὶν ἡ τοιαύτη τομὴ κυλίνδρου τομή. "ἢ ια΄. Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηϑῇ διὰ τοῦ ἄξονος, ληφϑῇ δὲ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφανείας. ὃ μή ἐστιν ἐπὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος παρ- αλληλογράμμου, καὶ ἀπ᾿ αὐτοῦ ἀχϑῇ τις εὐθεῖα παράλ- ληλος εὐϑείᾳ τινί, ἥτις ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσα τῇ βάσει τοῦ κυλίνδρου πρὸς ὀρϑάς ἐστι τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμου, ἐντὸς πεσεῖται τοῦ παραλληλογράμμου καὶ προσεχβαλλομένη ἕως τοῦ ἑτέρου ὃ. ΘΝ] ΘΩ͂ p, sed corr. 1. ἐξ ἀρχῆς] om. p. 8. κατὰ τὸ ὕψος, καί] bis c extr. et init. pag. 9. ZE] p, SE Vc. 10. I'] e corr. p. 12. NHEP| NH e cor. p. κύκλος] κύκλος ἐστίν». 18. ἐστι --- 14. κύκλος] om. p. — 15. τομή (alt.)] p, τομῆς κύκλου Vc, roug cod. Paris. 2867 add. τμῆμα in ras. m. 2, τομῆς τμῆμα Haley cum Comm. 19. Post τῆς del ἐπι- φανείας c. DE SECTIONE CYLINDRI. 55 neque per axem ductum est neque axi parallelum, 44 M in infinitum producta axem secabit; secabit igitur eliam ON axi parallelam; utraque enim in plano ΘΚ posita est. secet igitur in N, et ΘΝ in utramque partem produeatur. si igitur axe ecireulisque manentibus ΘΝ cireumacta una cum dia- metris restituitur, superficiem cylindri ab initio positi se- eundum altitudinem augebit, et producto plano ZE etiam sectio augebitur ad .N; idem autem etiam ad partes I? 4 uersus eueniet; itaque NH EP sectio est cylindri, qualis in propositione praecedenti. ita- que sectio NH EP neque circulus est neque figura rectilinea [prop. IX]; ergo sectio I'E HZ neque figura rectilinea est neque circulus neque segmentum circuli, sed talis sectio cylindri est sectio. XI. Si cylindrus plano per axem secatur, in superficie autem cylindri punctum aliquod sumitur, quod in latere parallelogrammi per axem positi non sit, et ab eo recta aliqua ducitur parallela rectae cuidam, quae in eodem plano posita, in quo est basis cylindri, ad basim parallelogrammi per axem positi perpendicularis Fig. in Vvp male descriptam corr. Comm. Serenus Antinoensis, ed. Heiberg. 3 e 10 1 2 2 b 0 ex 34 ΠΕΡῚ KTAINAPOT TOMHX. μέρους τῆς ἐπιφανείας δίχα τμηϑήσεται ὑπὸ τοῦ παρ- αλληλογράμμου. ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσεις μὲν οἱ 4, B κύκλοι, τὸ ὃὲ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ D, καὶ εἰλήφϑω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυλίνδρου τὸ E, καὶ ἀπὸ τοῦ E παράλληλος ἤχϑω εὐϑείᾳ τινὶ καϑέτῳ ἐπὶ τὴν ΓΑ͂ βάσιν τοῦ παραλληλογράμμου, καὶ ἔστω ἡ ΕΖ. λέγω, ὅτι ἡ ΕΖ ἐντὸς πεσεῖται τοῦ ΓΖΩ͂ παραλληλογράμμου καὶ προδεκβαλλομένη μέχρι τοῦ ἑτέρου μέρους τῆς ἐπιφανείας δίχα τμηϑήσεται ὑπὸ τοῦ παραλληλογράμμου. ἤχϑω διὰ τοῦ E σημείου παρὰ τὸν ἄξονα ἡ OEH εὐθεῖα τέμνουσα τὴν περιφέρειαν τῆς βάσεως κατὰ τὸ GO, καὶ διὰ τοῦ Θ ἤχϑω ἡ OK παράλληλος τῇ ἐπὶ τὴν ΓΑ καϑέτῳ, ἥτινι παράλληλος ὑπόκειται ἡ EZ: τεμεῖ ἄρα ἡ ΘΚ τὴν I'A καὶ αὐτή. ἤχϑω οὖν διὰ τῶν ΗΘ, ΘΚ ἐπίπεδον τέμνον τὸν κύλινδρον καὶ ποιείτω τὸ ΗΝ παραλληλόγραμμον. καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ KA κοινὴ τομὴ τῶν ΓΖ, NH παραλληλογράμμων. ἐπεὶ τοίνυν αἱ EZ, ΚΘ τῇ αὐτῇ εἰσι παράλληλοι, καὶ ἀλλήλαις ἄρα εἰσὶ παράλληλοι" καί ἐστιν ἡ OK ἐν τῷ KH ἐπι- πέδῳ" καὶ ἡ ΕΖ ἄρα ἐν τῷ KH ἐστιν ἐπιπέδῳ. ἐκ- βαλλομένη ἄρα ἡ ΕΖ πίπτει ἐπὶ τὴν AK, ἥτις ἐστὶν ἐν τῷ ΓΖ ἐπιπέδῳ. ἡ ΕΖ ἄρα ἐντὸς πίπτει τοῦ ΓΖ παραλληλογράμμου. 8. βάσεις] p et corr. ex βάσις in scribendo c, βάσις V. 8. D4|Decor.p. 12. OEH]p, GEK Vc. 16. qvw] pc, de V, ἡ τίνι v. τεμεῖ] véua& V. 16. G9 K] 8 e corr. in scrib. V. καὶ αὐτή] om. p, καὶ αὕτη Vc. 21. εἰσὶ παράλληλοι] παράλληλοί εἰσι p. DE SECTIONE CYLINDRI. 925 est, inira parallelogrammum cadet et ad alteram partem superficiei producta a parallelogrammo in duas partes aequales secabitur. sib cylindrus, cuius bases sint circuli 44, B, parallelogrammum autem per axem positum ΓΖ, et in superficie cylindri sumatur punctum aliquod E, ab E autem recta ducatur parallela rectae cuidam ad l1'4!) basim par- allelogrammi perpendiculari, sit- que E Z. dico, rectam E Z intra parallellogrammum ΓΖ cadere et ad alteram partem superficiei productam ἃ parallelogrammo in duas partes aequales secari. per punctum E axi parallela ducatur recta. 60 EH ambitum basis in Θ᾽ secans, et per Θ ducatur € K parallela rectae ad I'A perpendiculari, cui parallela supposita est EZ; ΘΚ igitur et ipsa rectam I'4 secabit. ducatur igitur per HO, ΘΚ planum cylindrum secans efficiatque parallelogrammum ΗΝ, et ducatur K. communis sectio parallelogrammorum ΓΖ, N H. quoniam igitur EZ, KO eidem rectae parallelae sunt, eliam inter se sunt parallelae [Eucl. XI, 9]; et ΘΚ in plano KH posita est; itaque etiam EZ in plano KH posita est. producta igitur EZ in AK cadit, 1) Littera 4 fortasse contra codices in termino rectae po- nenda (ita Comm.) N om. Vv, habet p; pro 4 1n V est 4. 5* 10 1 ex 20 25 30 ΠΕΡῚ KTAINAPOT TOMHZ. φανερὸν δέ, ὅτι, κἂν εἰς τὸ ἕτερον μέρος ἐκβληϑῇ μέχρι τοῦ Μ, ὕπερ ἐστὶν ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κυ- λίνδρου, δίχα ἔσται τετμημένη κατὰ τὸ Z. ἐπεὶ γὰρ ἡ I'4 διάμετρος πρὸς ὀρϑάς ἐστι τῇ OK, ἴση ἄρα ἡ OK τῇ ΚΝ. καὶ παράλληλοι αἱ MN, AK, ΗΘ' ἴση ἄρα ἡ ΜΖ τῇ ZE. | ιβ΄. Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηϑῇ τέμνοντι μὲν τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον ἐκτὸς τοῦ κύκλου, ἡ δὲ κοινὴ τομὴ τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρϑὰς vj τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμου ἢ τῇ ἐπ᾽ εὐθείας αὐτῇ, αἴ ἀγόμεναι εὐθεῖαι ἀπὸ τῆς τομῆς τῆς ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου γενομένης ὑπὸ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου παράλληλοι τῇ πρὸς ὀρϑὰς τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ ἄξο- νος παραλληλογράμμου ἢ τῇ ἐπ᾽ εὐθείας αὐτῇ ἐπὶ τὴν κοινὴν τομὴν τῶν ἐπιπέδων πεσοῦνται καὶ προσδεκβαλ- λόμεναι ἕως τοῦ ἑτέρου μέρους τῆς τομῆς δίχα τμηϑή- όονται ὑπὸ τῆς κοινῆς τομῆς τῶν ἐπιπέδων, καὶ ἡ πρὸς ὀρϑὰς τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμου ἢ τῇ ἐπ᾽ εὐθείας αὐτῇ ὀρϑοῦ μὲν ὄντος τοῦ κυλίνδρου πρὸς ὀρϑὰς ἔσται καὶ τῇ κοινῇ τομῇ τοῦ τε διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμου καὶ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου, σκαληνοῦ δὲ ὄντος οὐκέτι, πλὴν ὅταν τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἐπίπεδον πρὸς ὀρθὰς ἦ τῇ βάσει τοῦ κυλίνδρου. ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσεις μὲν οἱ 4. B κύκλοι, τὸ 0à διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ I'4, καὶ 6. MN, AK, HO] NM, KA4,0H p. 6. ΖΕ] Ε 8 corr. p. 8. τμηϑῇ} bis V extr. et init. lin. 19. εὐθεῖαι) ab hoc uocabulo incipit fol. 170 in V, d add. m. 2. 18. γενομένης] V, γινομένης c, τεμ(υ)ομένης p. 14. τοῦ διά] τῇ διά c. 15. Post αὐτῇ del. αἱ ἀγόμεναι εὐθεῖαι p. ἐπί -- 16. πε- DE SECTIONE CYLINDRI. 9i quae in plano ΓΖ posita est. ergo EZ intra parallelo- grammum ΓΖ, cadit. manifestum autem etiam, si ad alteram partem producatur ad M, quod in superficie cylindri est, in duas parles aequales eam sectam esse in Z. quoniam enim diametrus ['4 ad rectam ΘΚ perpendieularis est, erit ΘΚ — ΚΝ [Eucl. III, 3]. et MN, AK, HO parallelae sunt; ergo MZ — ZE. XII. S1 cylindrus plano seeatur planum basis exira circulum secanti, ità ut communis sectio planorum ad basim parallelogrammi per axem positi uel ad eandem productam perpendicularis sit, rectae, quae a sectione in superficie cylindri a plano secant effecta ducuntur parallelae rectae ad basim parallelogrammi per axem positi perpendiculari uel eidem productae in communem seclionem planorum cadent et ad alteram partem sectionis productae in binas partes aequales a communi sectione planorum secabuntur, et recta ad basim parallelogrammi per axem positi uel ad eandem pro- ductam perpendicularis, 51 cylindrus rectus est, etiam ad communem sectionem parallelogrammi per axem positi planique secantis perpendicularis erit, sin obliquus, non iam perpendicularis, nisi quando planum per axem positum ad basim cylindri perpendiculare est. Β:0ὺ cylmndrus, euius bases sint circuli 4, B, parallelogrammum autem per axem positum sit ΓΖ, — M ——— ———————————— σοῦνται} in ras. p. — 16. καί] p, om. Vc. 21. καί] om. p. ἢ] om. e. — 22. παραλληλογράμμου) παραλλογΡ p. 28. βά- eu e corr. p, βάσις Vc. 1 1 2 2 cQ 0 9 0 Qt 38 ΠΕΡῚ KTAINAPOT TOMBE. τετμήσϑω ὃ κύλινδρος. ὡς εἴρηται, ἐπιπέδῳ ποιοῦντι τὴν ἘΖΗΘ τομήν, ὥστε συμπιπτόντων τοῦ τὲ τῆς ΕΖΗΘ τομῆς καὶ τοῦ τῆς AI' βάσεως ἐπιπέδου τὴν κοινὴν τομὴν τὴν Καὶ πρὸς ὀρϑὰς εἷναι τῇ I'AA εὐ- ϑείᾳ, καὶ ἀπὸ τῆς ΕΖΗ͂ τομῆς ἤχϑω τις εὐϑεῖα παρ- ἄλληλος τῇ K 4 ἡ ΖΜ καὶ προσεκβληϑεῖσα περατούσϑω κατὰ τὸ ἕτερον μέρος τῆς ἐπιφανείας κατὰ τὸ O. λέγω. ὅτι ἡ ΖΜ πίπτει ἐπὶ τὴν EH, καὶ ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΖΜ τῇ ΜΘ. ἐπεὶ γὰρ ἐν τῇ ΕΖΗ͂ τομῇ παράλληλος ἧκται τῇ ΚΑ ἡ ΖΜ, ἐντὸς ἄρα πίπτει τοῦ Γ4 παραλληλο- γράμμου. ἐπεὶ δέ ἐστιν ἡ μὲν ΖΜ εὐϑεῖα ἐν τῷ ΕΖΗΘ ἐπιπέδῳ, ἡ δὲ ΕΗ κοινὴ τομή ἐστιν αὐτοῦ καὶ τοῦ I'4 παραλληλογράμμου. ἡ ΖΜ ἄρα ἐπὶ τὴν EH πίπτει. ὅτι δὲ καὶ ἡ ΖΜ τῇ MO ἴση ἐστί, φανερὸν καὶ αὐτὸ διὰ τὸ πρὸ τούτου ϑεώρημα. λοιπὸν δεῖ δεῖξαι, ὅτι ἡ Καὶ ὀρϑοῦ μὲν ὄντος τοῦ κυλίνδρου ἢ τοῦ I'Z1 πρὸς ὀρϑὰς ὄντος τῇ βάσει τοῦ κυλίνδρου πρὸς ὀρϑάς ἐστι τῇ ΕΗ Δ. ἐπεὶ γὰρ τὸ μὲν ΓΖ ἐπίπεδον πρὸς ὀρϑάς ἐστι τῷ τῆς βάσεως ἐπιπέδῳ, τῇ δὲ κοινῇ αὐτῶν τομῇ τῇ 14.4 πρὸς ὀρϑάς ἐστιν ἡ ΚΑ ἐν τῷ τῆς βάσεως ἐπιπέδῳ οὖσα, καὶ τῷ λοιπῷ ἄρα τῷ τοῦ I1 παραλληλογράμμου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑάς ἐστιν. εἰ ὃὲ τὸ ΓΔΩ, οὔκ ἐστι πρὸς ὀρϑὰς τῇ βάσει, 8. AT] l'Ap. 7. ἐπιφανείας] ἐπι φανείας V. 10. γάρ] corr. ex δέ in scrib. c. 18. EZH6] p, EZeH Vc. 14. x«i] τε καί p. 19. ὄντος — 21. ὀρθάς] bis Vc. 81. Post ὀρϑάς rep. ὄντος τῇ βάσει τοῦ κυλίνδρου πρὸς ὀρϑάς e lin. 19—90 p. 25. ἐστιν) ἐστὶ DE SECTIONE CYLINDRHI. 39 eb cylindrus secetur, ut diximus, plano sectionem effidenü ΕΖΗΘ, its ut concurrentibus sectione ΕΖΗΘ planoque basis “Γ΄ commu- nis sectio K 4 ad rectam I'44 sit perpendicularis, et a sectione ΕΖΗ recta aliqua duca- tur Z M rectae K 4 parallela producta- que ad alteram par- tem superficiei ter- minetur in 0. dico, rectam ZM in EH cadere, οὐ esse ΖΜ — MO. quoniam enim in sectione ZEZH rectae ΚΑ parallela ducta est Z M, intra parallelogrammum ΓΖ -eadit [prop. XI]. et quoniam recta Z.M posita est in plano ΕΖΗΘ. et EH eus parallelogrammique ΓΖ communis est sectio, ZM in EH cadit. esse autem Z M — M, et ipsum per propositionem praecedentem manifestum est. reliquum est, αὖ demonstremus, reciam K 4 ad EH.A perpendicularem esse, si cylindrus rectus sit aub D'4/ ad basim eylndri perpendieulare. quoniam enim planum ΓΖ, ad planum basis perpendiculare est, el ad I'44 communem eorum sectionem perpen- dicularis est ΚΔ in plano basis posita, etiam ad reliquum planum parallelogrammi I'z1 perpendicularis est [Eucl. XI def. 4]. sin ΓΖ ad basim perpendiculare non est, non σι 10 15 9i s 40 ΠΕΡῚ KTAINAPOT TOMHZ. πρὸς ὀρϑὰς οὐκ ἔσται ἡ ΚΑ τῇ AE. εἰ yàp δυνατόν, ἔστω πρὸς ὀρθὰς ἡ ΚΑ τῇ AE. ἔστι δὲ καὶ τῇ AT πρὸς ὀρϑάς" καὶ τῷ δι’ αὐτῶν ἄρα ἐπιπέδῳ, τουτέστι τῷ ΓΖ, πρὸς ὀρϑὰς ἔσται ἡ ΚΑ. καὶ τὸ δι’ αὐτῆς ἄρα ἐπίπεδον τὸ τῆς 4 βάσεως πρὸς ὀρϑὰς ἔσται τῷ I ὕπερ οὐχ ὑπόκειται. οὐκ ἄρα ἡ ΚΑ πρὸς ὀρϑάς ἐστι τῇ AE. I ἐκ δὴ τῶν δεδειγμένων φανερόν, ὅτι ἡ EH διά- μετρός ἐστι τῆς ΕΖΗΘ τομῆς᾽ πάσας γὰρ τὰς παρὰ τὴν ΚΑ καταγομένας ἐπ᾽ αὐτὴν δίχα τέμνει, ὥσπερ τὴν ΖΘ. uy. Ἐὰν δύο εὐϑεῖαι ὁμοίως τμηϑῶσιν, ἔσται, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς πρώτης πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς δευτέρας. εὐθεῖαι γὰρ αἱ AB, ΓΖ ὁμοίως τετμήσϑωσαν κατὰ τὰ E, Z σημεῖα. λέγω, ὅτι, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς 4B πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν AE, ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, Z4. ἐπεὶ γάρ, ὡς ἡ 4Ε πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς ZA, καὶ συνθέντι ἄρα καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ AB πρὸς I'4, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς Z4. καὶ ἐπεί, ὡς ἡ AE πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς Z4, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν AE, Haley, τῷ] 6 comp. 1. ἐστι τῇ AE] ced Ed P s. ΒΗ] H'écom mic 13. m]p, om. Ve, if m. rec. V. 14. δευτέρας] B p. οὕτως] οὔτ p. 16. πρώτης] ἃ p. 16. 3evríoeg] B p. 19. οὕτωρ] οὔτ p. 92. 247 cp, corr. ex DE SECTIONE CYLINDRI. 41 ent Καὶ ad 4E perpendicularis. si enim fieri potest, sit K 4 ad AE perpendicularis. uerum etiam ad 4Γ perpendicularis est; quare etiam ad planum per eas ductum, hoc est ad I'4, perpendieularis erit Καὶ 4 [Eucl. XI, 4]. itaque etiam planum per eam ductum basis 44 ad ΓΖ perpendiculare erit [Eucl. XI, 18]; quod contra hypothesim est. ergo ΚΑ ad AE per- pendieularis non est. ex demonstratis igitur manifestum, EH diametrum esse sectionis ΕΖΗΘ [def. 4]: omnes enim rectas, quae ad eam rectae K 4 parallelae ducuntur, in binas parles aequales secat, sicut rectam ZO. XIII. Si duae rectae similiter secantur, erit, ut quadratum primae ad quadratum alterius, ita rectangulum partibus primae comprehensum ad rectangulum partibus alterius comprehensum. rectae enim 4B, ΓΖ i punctis E, Z simihter secentur. dico, esse AB? : l'4* — AES EB: ΓΖ» ZA. quoniam enim - L.1£; V. B AE: EB — l'Z:ZA, r Z 4 erit etiam componendo et permu- m tando 4B: I'4 — ΕΒ: ΖΩ͂. ei quomam 4E: EB —I'Z:ZZ,AE»«EBad l'Z»«Z4 duplicatam rationem!) habet quam EB:Zz siue 1 Nam AE»« EB: EB! — l'Z»« Zd: 24". tum per- mutando. &d V, ΞΖ ν᾿. καὶ συνϑέντι — 24. 2 Ζὴ om. c. 28. Z4] ep, Εἰ V v. 24. Z4] 4 e corr. p. ex 1 ex 20 25 42 ΠΕΡῚ KTAINAPOYT TOMHZ. EB πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, Z4 διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ EB πρὸς Ζ4, τουτέστιν ἥπερ ἡ 48 πρὸς ΓΖ. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς 48 πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ 4B πρὸς ΓΖ4᾽ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς 48 πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς D, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν AE, EB πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ. Ζ 41 ὃ προέκειτο δεῖξαι. ιδ΄. ᾿Εὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηϑῇ διὰ τοῦ ἄξονος, τμηϑῇ δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ τέμνοντι τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον, ἡ δὲ κοινὴ τομὴ τοῦ τε τῆς βάσεως καὶ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου πρὸς ὀρϑὰς ἦ τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμου ἢ τῇ ἐπ᾽ εὐϑείας αὐτῇ, ἀπὸ δὲ τῆς τομῆς ἀχϑῇ τις ἐπὶ τὴν διάμετρον παράλ- ληλος τῇ εἰρημένῃ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων, ἡ ἀχϑεῖσα δυνήσεταί τι χωρίον, πρὸς ὃ τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς διαμέτρου τῆς τομῆς λόγον ἔχει, ὃν τὸ ἀπὸ τῆς δια- μέτρου τῆς τομῆς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς βάσεως. ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσεις μὲν ol A, B κύκλοι, τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ I'4, καὶ τετμήσθω ὃ κύλινδρος ἐπιπέδῳ συμπίπτοντι τῷ τῆς βάσεως ἐπιπέδῳ κατ᾽ εὐθεῖαν ὀρϑὴν πρὸς ΓΑ͂ ἐκβλη- ϑεῖσαν. καὶ ἔστω ἡ γενομένη τομὴ ἡ EZH, κοινὴ δὲ τομὴ τοῦ παραλληλογράμμου καὶ τοῦ τέμνοντος ἐπι- πέδου ἡ EH διάμετρος οὖσα τῆς τομῆς, ὡς ἐδείχϑη. ληφϑέντος δέ τινος σημείου ἐπὶ τῆς τομῆς τοῦ Ζ κατήχϑω ἀπ’ αὐτοῦ ἐπὶ τὴν διάμετρον εὐϑεῖα παράλ- 1. Z4] p, om. Vc. 2. ἡ (alt.)] supra ser. m. 1c. 5. οὕτως] οὕτω p. 6. ὃ προέκειτο δεῖξαι] om. p. 8. ιδ΄ p, DE SECTIONE CYLINDRI. 43 4 B:I4. uerum etiam 4B? ad I'4? duplicatam rationem habet quam 4B: I; ergo AB? : ΓΖ“ — AE ΕΒ : ΓΖ "»« ΖΩ͂; quod erat demonstrandum. XIV. Si eylindrus plano per axem secatur, secatur autem eliam alio plano planum basis secanti, et com- munis sectio plani basis secantisque ad basim parallelo- grammi per axem. positi uel ad eandem productam perpendieularis est, a sectione autem ad diametrum recta ducitur parallela communi planorum sectioni, quam diximus, recta ducta quadrata aequalis erit spatio cuidam, ad quod rectangulum partibus diametri sectionis compre- hensum rationem habet, quam qua- dratum diametri sectionis ad qua- dratum diametri basis. sit cylindrus, cuius bases sint cireuh 4, B, parallelogrammum autem per axem positum ΓΖ, et eylindrus plano secetur cum plano basis concurrenti secundum rectam ad I'4 productam perpendicularem, sitque sectio effecta EZH, communis autem sectio parallelogrammi planique secantis EH, quae diametrus est sectionis, ut. demonstrauimus [prop. XII]; sumpto autem in sectione puncto aliquo Z ab eo ad diametrum —— —— om. Vc, εγ΄ m. rec. V; et sic deinceps. 16. 0] p, om. Vc. 20. βάσεις] p, ficoig Vc. 28. ΓΗ͂ Vc, τὴν ΓΑ y. 44 ΠΕΡῚ KTAINAPOT TOMBHZ. ληλος τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων ἡ ZO' πίπτει ἄρα ἡ ΖΘ ἐπὶ τὴν EH, ὡς ἐδείχϑη. λέγω δή, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν EO, ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ λόγον ἔχει, ὃν τὸ ἀπὸ τῆς EH διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου 5 τῆς βάσεως. ἤχϑω διὰ τοῦ Θ παράλληλος τῇ I'4 ἡ ΚΘΑ, καὶ διὰ τῶν ZO, K A4 εὐδειῶν ἤχϑω ἐπίπεδον τομὴν ποεοῦν τὴν KZA. ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν KA τῇ Γ4ἅ παράλληλος, ἡ δὲ ΖΘ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων οὔσῃ ἐν τῷ τῆς 10 βάσεως ἐπιπέδῳ. καὶ τὰ δι᾽ αὐτῶν ἄρα ἐπίπεδα παρ- ἀλληλά ἐστιν ἡ ΚΖ. ἄρα τομὴ κύκλος ἐστί. πάλιν ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ μὲν KA τῇ DA, ἡ δὲ ΖΘ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρϑὰς οὔσῃ πρὸς τὴν ΓΑ͂, καὶ ἡ ZO ἄρα πρὸς ὀρϑάς ἐστι τῇ Κα. καί 15 ἐστι κύκλος ὃ KZ: τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ZO ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν KO, ΘΑ͂. ἐπεὶ ἡ KE τῇ AH παράλλη- λός ἐστιν, ὡς ἄρα ἡ ΚΘ πρὸς τὴν Θ., οὕτως ἡ EO πρὸς τὴν OH τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν EO, OH ὅμοιόν ἐστι τῷ ὑπὸ ΚΘ, ΘΑ͂. ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν EO, ΘΗ͂ πρὸς 20 τὸ ὑπὸ τῶν KO, ΘΑ. τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ ZO, οὔ- τῶς τὸ ἀπὸ τῆς EH διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς K 4, τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς βάσεως. ιε΄. Ἢ διὰ τῆς διχοτομίας τῆς διαμέτρου τῆς τομῆς 25 τεταγμένως ἀγομένη ἐν τῇ τομῇ δευτέρα διάμετρος ἔσται. ἔστω γὰρ τῆς EZH τομῆς διάμετρος ἡ EH καὶ δίχα τετμήσϑω κατὰ τὸ Θ, καὶ διήχϑω 7) ΖΘ Μ τεταγμέ- vog. λέγω, ὅτι ἡ ΖΜ δευτέρα διάμετρός ἐστι τῆς τομῆς. 2. δή] δὲς. τό] p, τῷ Vc. — 4. émó(alt)] διά c. 6. Θ] ηΘ c. 11. ἐστιν --- κύκλος] om. p. 16. ἐπεί) Vo, καὶ . DE SECTIONE CYLINDRI. 45 recta ducatur Z 9 communi planorum sectioni parallela; ΖΘ igitur in EH cadit, ut demonstratum est [prop. XII]. iam dico, ΕΘ »« € H ad ΖΘ" rationem habere, quam ἘΠῚ ad quadratum diametri basis. ducatur per € rectae I'4 parallela K 9 4, ei per recias ΖΘ, Καὶ 4 planum ducatur sectionem efficiens ΚΖ. quoniam igitur K.4 rectae I'4 parallela est, ΖΘ autem communi planorum sectioni in plano basis positae, etiam plana per eas ducta parallela sunt [Eucl. XI, 15]; itaque sectio KZ. circulus est [prop. V]. rursus quoniam K4 rectae 1'4 parallela est, ΖΘ autem communi planorum seetioni ad ΓΖ perpendiculari, etiam ΖΘ ad Καὶ perpendicularis est [Eucl XI, 10]. et KZ. circulus est; itaque erit Z60? — K0»«04. quoniam KE rectae 4H parallela est, erib ΚΘ: 94 — EO: ΘΗ [Eucl. VI, 4]; itaque rectangiülum E »« ΘΗ simile est rectangulo K6 »« 0 4. ergo erit (prop. XIII] £0»« 0 H: K0»« O A4 glue EG 25 9H:Z0? — ΕΗ": Κα siue EH? ad quadratum diametri basis. XV. Recta per punctum medium diametri sectionis in sectione ordinate ducta altera diametrus erit. sit enim EH diametrus sectionis ΕΖΗ eti in 6 in duas partes aequales secetur, ducaturque ordinate ZO0M. dieo, ΖΜ alteram diametrum esse sectionis. -— — D ———-——— —— ——— —— —MM——— ——— — —— —————— — ——— ———— ———— — ἐπεί p. 19. Post € H del. m. 1 ὅμοιόν ἐστι V. 20. Z6] τῆς ΖΘ p. οὕτως] οὕτω p. 27. δίχα τετμήσθω] τετμήσθω δίχα p. δι 10 1ὅ 20 46 IIEPI ΚΥΛΙΝΔΡΟΎ ΤΟΜΝΗΣ. ἤχϑω παρὰ μὲν τὴν EH ἡ NAÀ, παρὰ δὲ τὴν ΖΜ α NII, SP: τεταγμέναι ἄρα εἰσὶ καὶ αἴ NII, ΞΡ. ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ τῆς NII πρὸς τὸ ὑπὸ EIIH λόγον ἔχει, ὃν τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς βάδεως τοῦ κυλίν- δρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς τομῆς. ἔχει δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΞΡ πρὸς τὸ ὑπὸ EPH τὸν αὐτὸν λόγον, ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς NII πρὸς τὸ ὑπὸ EIIH, οὕτως τὸ ἀπὸ ΞΡ πρὸς τὸ ὑπὸ EPH. καὶ ἐναλλάξ᾽' ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ NII τῷ ἀπὸ ΞΡ’ παραλληλόγραμμον γάρ ἐστι τὸ NIIPA- ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ EIIH τῷ ὑπὸ EPH. καὶ ἀπ᾽’ ἴσων ἀφήρηται τῶν ἀπὸ ΕΘ, ΘΗ͂' καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ IIO λοιπῷ τῷ ἀπὸ OP ἴσον ἐστίν" ἴση ἄρα ἡ IIO τῇ € P, τουτέστιν ἡ NO τῇ ΟΞ. ὁμοίως δὲ πᾶσαι αἱ παρὰ τὴν EH δίχα τέμνονται ὑπὸ τῆς ΖΜ' δευτέρα διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ. ws. Ἐὰν κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηϑῇ τέμνοντι τὸ τῆς βάδεως ἐπίπεδον, ἡ δὲ κοινὴ τομὴ τοῦ τε τῆς βάσεως καὶ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου πρὸς ὀρϑὰς ἢ τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλογράμμου 1] τῇ ἐπ᾽ εὐ- ϑείας αὐτῇ, ἡ μὲν ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπὶ τὴν διάμετρον ἀχϑεῖσα παράλληλος τῇ εἰρημένῃ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπι- πέδων δυνήσεται χωρίον, πρὸς ὃ τὸ ὑπὸ τῶν τμημά- τῶν τῆς διαμέτρου λόγον ἔχει, ὃν τὸ ἀπὸ τῆς δια- 8. EIIH] τῶν ΕΠ, IIH p; et similiter semper. 6. EPH] τῶ EP, PH p. 8. οὕτως] οὕτω p. AP| τῆς EP p; et similiter semper. 9. N II] vc, II e corr. m. 1 V, τῆς ΝΠ p. 10. NIIPE] p, NIIE&P Vc. 11. ἀπ᾽ ἀπό c. 12. ἀπὸ 0 P] Halley, ἀπὸ τῆς 9 P p, 0 P Vc. 15. διάμετρος] om. p. ZM]p, ON uel 09M V, ON c, OM v, ἡ ON 1n apo- grapho" m. rec. V. 18. κοινή] κονή p. 28. χωρίον] τι τωρίον p. 24. ἔχει] ἕξει p. DE SECTIONE CYLINDRI. 41 ducatur rectae EH parallela ΝΞ, rectae autem ΖΜΟ parallelae NIIJ, ΞΡ, itaque eliam NII, X ordinate ductae sunt [def. 4]. quoniam igi- tur NII* : EIISX IIH ralionem habet, quam quadratum ^ diametri basis cylindri ad qua- dratum diametri sec- tionis, eandem autem rationem habet etiam ΞΡ : EP-« PH [prop. XIV], ent NII* : EII2« IIH — SP*: EP PH. ei per- mutando; est autem NII? — AP; nam NIIPSZ parallelogrammum est; itaque etiam EII »« IIH — EP PH. et ab aequalibus ablata sunt E9?, ΘΗ", taque quod relinquitur 770? — 6 P* [Eucl.1I,5]. quare ΠΘ — 6 P, siue NO — O5. et similiter omnes rectae rectae EH paralllae ἃ ZM in binas partes aequales secantur; ergo ΖΜ diametrus altera est [def. 1]. XVI. Si ceylindrus plano secatur planum basis secanti, communis autem sectio plani basis secantisque per- pendieularis es& ad basim parallelogrammi per axem positi uel ad eandem productam, recta a sectione ad diametrum dueta parallela communi planorum sectioni, quam diximus, quadrata aequalis erit spatio, ad quod rectangulum partibus diametri comprehensum rationem habe, quam quadratum diametri sectionis ad quadra- tum diametri alterius, recta autem ἃ sectione ad Qx 10 15 20 2 ex A8 ΠΕΡῚ KTAINAPOT TOMB. μέτρου τῆς τομῆς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου, ἡ δὲ ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπὶ τὴν δευτέραν διάμετρον ἀχϑεῖσα παράλληλος τῇ διαμέτρῳ δυνήσεται χωρίον, πρὸς ὃ τὺ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς δευτέρας διαμέτρου λόγον ἔχει, ὃν τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου. ἔστω κύλινδρος, καὶ κατεσκευάσϑω ὡς ἐν τῷ ιδ΄. ἐπεὶ οὖν ἐδείχϑη τὸ μὲν ὑπὸ τῶν EO, ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ZO, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς EH πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δια- μέτρου τῆς βάδεως τῆς διχοτομούδης τὴν EH τεταγ- μένως, ὡς ἐδείχϑη πρὸς τῷ 9' ϑεωρήματι, ἡ δὲ διχο- τομοῦσα τὴν διάμετρον τεταγμένως δευτέρα διάμετρός ἐστιν. ὡς ἐν τῷ πρὸ τούτου, εἴη ἄν. ὡς τὸ ἀπὸ τῆς EH διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν EO, OH πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ᾽ ὕπερ ἔδει δεῖξαι. ἀλλὰ δὴ ὑποκείσϑω τὸ μὲν O διχοτομεῖν τὴν EH διάμετρον, τὴν δὲ ΖΘΦ τεταγμένην εἶναι" δευτέρα ἄρα διάμετρος ἡ ΖΦ. κατήχϑω ἐπ᾽ αὐτὴν ἀπὸ τῆς τομῆς ἡ ΜΝ παράλληλος τῇ EH* λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ON, ΝΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς MN λόγον ἔχει, ὃν τὸ ἀπὸ τῆς ΦΖ δευτέρας διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς EH διαμέτρου τῆς τομῆς. ἤχϑω διὰ τῆς ΜΝ ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ΓΖ παραλληλογράμμῳ τέμνον τὸν κύλινδρον᾽ ποιήσει δὴ παραλληλόγραμμον τὴν τομήν. ποιείτω τὸ ΡΣ, ἔστω- 1. Ante πρός del. λόγον ἔχει c. 3. 0] p, om. Vc. 7. κατεσκευάσθω) vcp, supra c add. € V. 8. ἐδείχϑη] vcp, ἐδείχη V. 9. Z0] Θ e corr. p. ὡς] λόγον Lor ὡς p. 11. τῷ] p, τῶ vc et corr. ex τό m. 1 V. $'"]cor.exmq' p, 1€ Vvc. 14. πρός — διαμέτρου] om. c. 16. οὕτως] οὕτω p, ut semper ante consonantes. 16. ὅπερ ἔδει δεῖξαι) om. p. DE SECTIONE CYLINDBI. 49 diametrum alteram ducta diametro parallela quadrata aequalis erit spatio, ad quod rectangulum partibus allerius diametri comprehensum rationem habet, quam quadratum alterius diametri ad quadratum diametri. sib eylindrus, et construatur ut in prop. XIV. quoniam igitur demonstrauimus [prop. XIV], esse EO053«0H:Z0? ui EH* ad quadratum diametri basis rectam EH in duas partes aequales ordi- nate secantis, sicut ad prop. IX (p. 80, 16] demonstratum est, recta autem diameirum in duas partes aequales ordinate secans allera est diametrus, αὖ in pro- positione praecedenti, erit, ut EH? ad quadratum alterius dia- meti, ita E60 »« 69H : Z6! quod erat demonstrandum. jam uero supponamus, pune- tum Θ᾽ medium esse diametri EH, ZO0d autem ordinatam; itaque Z altera diametrus est [prop. XV]. ad eam a sectione rectae EH parallela ducatur MN. dico, esse QN» ΝΖ: MN? — ΦὦΖ' -ΕΠ3. ducatur per MN planum parallelogrammo ΓΖ par- allelum eylindrum secans; sectionem igitur efficiet par- allelogrammum [prop. III]. efficiat PZ, οὐ communes 19. ἡ ΖΦ] ἐστιν ἡ ΖΦ καί». — 25. τέμνον] Halley, τέμνοντι Vep, per axem cylindrum secanti Comm. δή] δέ c. Serenus Antinoensis, ed. Heiberg. 4 50 ΠΕΡῚ KYTAINAPOT TOMHZ. σαν δὲ κοιναὶ τομαὶ αὐτοῦ καὶ τῶν παραλλήλων κύκλων αἱ ΣΤ, ΞΟ. ΠΡ, αὐτοῦ δὲ καὶ τῆς ΕΖΗ͂ τομῆς κοινὴ τομὴ ἔστω ἡ ΜΝ. ἐπεὶ οὖν παράλληλα ἐπίπεδα τὰ ΓΖ, ΡΣ τέμνεται ὑπὸ τοῦ KZ. ἐπιπέδου. αἴ κοιναὶ 6 αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσι παράλληλος ἄρα ἡ ΚΘ τῇ ΝΞ. ἦν δὲ καὶ ἡ ΘΕ τῇ ΝΜ παράλληλος" ἡ ἄρα ὑπὸ KOE γωνία τῇ ὑπὸ ΞΝΜ ἴση ἐστί. καὶ ἐπεὶ τὸ ΡΣ παραλληλόγραμμον ἰσογώνιόν ἐστι τῷ ΓΖ παραλ- ληλογράμμῳ. ὡς ἐδείχϑη ἐν τῷ γ΄ ϑεωρήματι, ἡ ἄρα 10 ὑπὸ τῶν ZIIP γωνία τῇ ὑπὸ τῶν EI' 4 ἴση ἐστί, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΣΙΞΝ τῇ ὑπὸ ΕΚΘ' ὅμοια ἄρα ἀλλή- λοις τὰ ΕΚΘ, MAN τρίγωνα. ὡς ἄρα ἡ ΚΘ πρὺς ΘΕ, οὕτως ἡ &N πρὸς ΝΙΜ' καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΘ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΕ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς δευ- 16 τέρας διαμέτρου τῆς ΦὧΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς EH δια- μέτρου, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς IN πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς NM. ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῆς ΝΙ͂ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν DN, NZ- κύχλος γάρ ἐστιν ὃ KZ, καὶ óg07 ἡ ΘΖ ἐπὶ τὰς ΚΘ, ΗΝ. ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς DZ δευτέρας δια- 20 μέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς EH διαμέτρου, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ON, ΝΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς MN: ὃ προέκειτο δεῖξαι. LE. Ἐὰν κυλίνδρου τομῆς συξυγεῖς διάμετροι ὧσι, καὶ 26 ποιηϑῇ, ὡς ἡ διάμετρος τῆς τομῆς πρὸς τὴν δευτέραν διάμετρον, οὕτως ἡ δευτέρα διάμετρος πρὸς ἄλλην τινά, ἥτις ἂν ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπὶ τὴν διάμετρον ἀχϑῇ τεταγ- μένως, δυνήσεται τὸ παρὰ τὴν τρίτην ἀνάλογον πλάτος ἔχον τὴν ὑπ᾽ αὐτῆς τῆς τεταγμένως ἀχϑείσης ἀπολαμ- e. ΝΕ] EN p. 1. ΚΘΕ] OKE c. 9. τῷ y'] τῶ ww c. 10. τῶν (utrumque)] om. p. 11. ἡ] supra scr. c. 17. τό] DE SECTIONE CYLINDRHTI. 51 sectiones eius circulorumque parallelorum sint Z T, XO, ΠΡ, eius autem sectionisque E ZH communis sectio si& MN. quoniam igitur plana parallela ΓΖ. ΡΣ a plano KZ. secantur, communes eorum sectiones parallelae sunt [Eucl XI, 16]; itaque ΚΘ, ΝΞ parallelae sunt. erant autem etiam 9 E, N M parallelae; quare / K& E — ΝΜ [Eucl. XI, 10]. et quoniam paralllogramma ΡΣ, I'/ aequiangula sunt, ut in prop. III demonstratum est, ert [ ZIIP — EI'A, hoe est ZXN — EKO0; quare trianguh EK0, MEN similes sunt. itaque [Eucl. VI, 4] ΚΘ: ΘΕ - *3N:NM; quare etiam 5: ΘΕ" —— EN? : NM? — OZ: EH*. es& autem NX? — DN» ΝΖ; nam ΚΖ. circulus est et ΘΖ ad KO, ἘΝ perpendicularis. ergo, ut quadratum — alterius diameiri OZ ad quadratum diametri EH, iiàà ON» NZ:MN?; quod erat demonstrandum. XVII. Si sectionis cylindri diametri sunt coniugatae, et fii, ut diametrus sectionis ad alleram diametrum, ita allera diametrus ad aliam, quaecunque a sectione ad diametrum ordinate ducitur, quadrata aequalis erit Spatio tertiae proportional adplicato latitudinem habenti rectam ab ipsa recta ordinate ducta ad sectionem abseisam deficienti spatio simili rectangulo ἃ diametro tertiaque proportionali comprehenso. 'óp. τῆς]ρο, tüv Vv. Ν ἘΠΗ͂Ν p. τῷ) τόρ. ὑπό], ἀπό Vc. 19. 6Z] p, ΦΖΖΩ Vc. 291. NZ] p, NS Vc. ó — 922. δεῖξαι) om. p. 25. τῆς — 26. διάμετρον] bis V. 26. οὕτως] τῆς τομῆς οὕτως c. 29. ἔχον] ἔχειν Ῥ. ὑπ᾽] scripsi, ἀπ᾿ Vep. τεταγμένως] cp, τεταγμένης V. . A* 52 ΠΕΡῚ KTAINAPOT ΤΟΜΗΣ. βανομένην πρὸς τῇ τομῇ ἐλλεῖπον εἴδει ὁμοίῳ τῷ περι- ἐχομένῳ ὑπὸ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς τρίτης ἀνάλογον. ἔστω κυλίνδρου cop, ἧς διάμετρος μὲν ἡ AB, δευτέρα δὲ διάμετρος ἡ ΓΖ, καὶ γενέσϑω, ὡς ἡ 4B ὅ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΓΖΩ πρὸς τὴν AH, καὶ κείσϑω ἡ 4H πρὸς ὀρϑὰς τῇ 4B, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ BH, καὶ ἐπὶ τὴν AB ἤχϑω τεταγμένως ἡ EZ, καὶ παρὰ μὲν τὴν AH ἡ Z0, παρὰ δὲ τὴν AZ ἡ ΘΚ. λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ 4€ παραλληλογράμμῳ. 10 ἐπεί, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς 4B πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς D, οὕτως ἡ 4B πρὸς τὴν AH, τουτέστιν ἡ ΒΖ πρὸς ΖΘ, ἀλλ᾽ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ τῆς 4}Β πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς I'4, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΖ, Z4 πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΖ, ὡς δὲ ἡ ΒΖ πρὸς ZO, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΖ, Z4 πρὸς τὸ ὑπὸ OZ, 15 Z 4, τουτέστι τὸ 4,ὉΘ παραλληλόγραμμον, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ 4, ὃ παράκειται παρὰ τὴν AH τρίτην ἀνάλογον πλάτος ἔχον τὴν AZ ἐλλεῖπον εἴδει τῷ ὑπὸ HKO ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ H AB. καλείσϑω δὲ ἡ μὲν 4B πλαγία τοῦ εἴδους πλευρά, 20 ἡ δὲ 4H ὀρϑίέα τοῦ εἴδους πλευρά. Τούτων οὕτως ἐχόντων φανερόν ἐστιν, ὅτι ἡ 4ΒΓ τοῦ κυλίνδρου τομὴ ἔλλειψίς ἐστιν ὅσα γὰρ ἐνταῦϑα τῇ τομῇ ἐδείχϑη ὑπάρχοντα, πάντα ὁμοίως καὶ ἐπὶ τοῦ κώνου τῇ ἐλλείψει ὑπῆρχεν, ὡς ἐν τοῖς Κωνικοῖς δείκνυται ϑεωρήματι ιε΄ τοῖς δυναμένοις λέγειν τὴν ἀκρίβειαν τοῦ ϑεωρήματος, καὶ ἡμεῖς év τοῖς εἰς αὐτὰ ὑπομνήμασι γεωμετρικῶς ἀπεδείξαμεν. 2 σι 6. 4ΗΠ] 6 al 9. ἀπό] vCp, &- e corr. m. 1V. EZ] ETZ c. 10. ἐπεὶ) ἐπεὶ γάρ p. 11. Z0] τὴν Z9 p (cum alibi fere post πρός ) iculne omittat) 13. Z4 — ΒΖ] om. f DE SECTIONE CYLINDRI. 53 sit sectio cylindri, cuius diametrus sit 4B, altera autem Giametrus ΓΖ, et fiat ΓΖ: AH — 4 B: ΓΖ. ponaturque 4H ad AB E perpendicularis, et duca- iur BH, ad 4B autem A ordinate ducatur EZ et rectae 4 H parallela ΖΘ, rectae 4Z autem ΘΚ. 5 dico, esse EZ! — 49. quoniam est [Eucl. V def. 9] AB: ΓΖ — 4B: AH — BZ:ZO [Eucl. VI, 4], uerum [prop. XVI| AB! : ΓΖ" — BZ»« ZA: EZ. et BZ:Z0—BZ»«2Z4:0Z»«Z4- BZ»«2Z4:48, erii EZ? — 4460, quod terliae proportionah 4H ad- plicatum est latitudinem habens 4 Z deficiens rectangulo HK »« ΚΘ simili rectangulo H 4 »« AB. adpelletur autem 4B latus transuersum figurae, AH uero latus rectum figurae. Quae cum ita sint, manifestum est, ΑΒΓ cylindri sectionem ellipsim esse; nam quaecunque hie de sectione ualere demonstrauimus, omnia etiam in cono de ellipsi eodem modo ualebant, ut in Conicis demonstratur prop. XV [Apollon. I, 15], 81 quis uerum propositionis sensum intellegere potest, et nos in commentarüs ad ea editis geometrice ostendimus. Vcp, corr. Comm. 14. πρὸς Z6 — ΒΖ, Z4] om. p. 9n ΞΘ Vc, corr. Comm. 18. HK6]| τῶν OK, KH p. Η48 AHB Ve, τῶν BA, AH p, corr. omm: 19. 4B] 4H p. 90. τοῦ εἴδους πλευρά om. p. i£ mg. m. rec. V. ἐστιν] ἐστι c. 21. ὑπομνήμασι) dons adt» 54. ΠΕΡῚ KTAINAPOT TOMHZ. νη΄. Ἐὰν ἐν κυλίνδρου τομῇ συξυγεῖς διάμετροι ὦσι, καὶ ποιηϑῇ. ὡς ἡ δευτέρα διάμετρος πρὸς τὴν διά- μέτρον, οὕτως ἡ διάμετρος πρὸς ἄλλην τινά, ἥτις ἂν ὅ ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπὶ τὴν δευτέραν διάμετρον ἀχϑῇ τεταγ- μένως, δυνήσεται τὸ παρὰ τὴν τρίτην ἀνάλογον πλάτος ἔχον τὴν ὑπ᾽ αὐτῆς τῆς τεταγμένως ἀχϑείδης ἀπολαμ- βανομένην πρὸς τῇ τομῇ ἐλλεῖπον εἴδει ὁμοίῳ τῷ περι- ἐχομένῳ ὑπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου καὶ τῆς ποριό- 10 ϑείδης τρίτης ἀνάλογον. ἔστω κυλίνδρου vou, καὶ γενέσϑω, ὡς ἡ ΓΖ δευ- τέρα διάμετρος πρὸς τὴν 48 διάμετρον, οὕτως ἡ 48 πρὸς τὴν ΓΗ͂, καὶ κείσϑω ἡ ΓΗ͂ πρὸς ὀρϑὰς τῇ ΓΩ͂, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ 4H, καὶ ἐπὶ τὴν ΓΖ κατήχϑω τεταγ- 15 μένως ἡ EZ, καὶ παρὰ μὲν τὴν ΓΗ͂ ἡ ΖΘ. παρὰ δὲ τὴν D'4 ἡ OK. λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΘ παραλληλογράμμῳ. ἐπεὶ γάρ, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς D πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς A B, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΓΗ, τουτέστιν ἡ 4Z πρὸς 20 ZO, ἀλλ᾽ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς AB, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν 42, ΖΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς EZ: ταῦτα γὰρ ἐδείχϑη᾽ ὡς δὲ ἡ A4Z πρὸς ZO, οὔ- vog τὸ ὑπὸ 42, Ζ2Γ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΖ, ZI, τουτέστι τὸ ΓΘ ὀρϑογώνιον, ἴδον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς EZ τῷ ΓΘ, 1. “η΄ mg. m. rec. V, et sic deinceps. 7. ὑπ᾽ αὐτῆς τῆς] scripsi, ὑπ᾽ αὐτῆς Vc, ὑπὸ τῆς p. 12. 4B(alt)] 4H c. 16. μέν) om. p. τὴν I'H] bis p, sed corr. 17. παραλληλο- τω; γράμμῳ] παραλληλογράμ: C. 18. ΓΔ] I'e4 p. 19. ΓΖ 4I'p. 20. πρός — 22. Z8] mg. p add. κείμενον (πρός etiam in textu, ilem ὡς δὲ ἡ 4Z ποὺς Z6). 24. ΓΘ (pr)] ΖΘ Vep, corr. Comm. ἄρα] ἄρα ἐστί p. DE SECTIONE CYLINDRI. 55 XVIII. S1 in sectione cylindri diametri sunt coniugatae, et fit, ut altera diametrus ad diametrum, ita diametrus ad aliam, quaecunque a sectione ad alteram diametrum ordinate ducitur, quadrata aequalis erit spatio tertiae proportionali adplieato latitudinem habenti rectam ab ipsa recta ordinale ducta ad sectionem abscisam deficienti spatio simili rectangulo comprehenso ab allera — diametro tertiaque proportional, quam sumpsimus. sit sectio cylindri, fiatque, ut altera diametrus ΓΖ ad diametrum 4B, ita 4B: ΓΗ͂, et ΓΗ ad ΓΖ perpendicularis ponatur, ducaturque ZH, ad ΓΖ JI' 4 autem ordinate ducatur EZ et rectae ΓΗ͂ parallela £0, I'4 autem rectae 6 K. dico, esse EZ? — ΓΘ. quoniam enim [Eucl. V def. 9] ΓΖ: ΓΗ — ΓΖ": AB! — 22: 2Θ [Eucl. VI, 4], οὐ D'4*: AB! —- AZ» ZD: EZ: (haec enim demonstrata sunt) [prop. XVI], et 42:20 — 4ZxZI:0Z»ZI-2A4Z2Z»ZI:re, In Vp linea EZ recta est, Γ ΚΗ diametro 4B parallela, in p 4 ad AB perpendicularis, 56 ΠΕΡῚ KTAINAPOT TOMBHZ. e« ὃ παραβέβληται παρὰ τὴν τρίτην ἀνάλογον τὴν ΓΗ͂ πλάτος ἔχον τὴν ΖΙΓ ἐλλεῖπον εἴδει τῷ ὑπὸ OKH ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ ΔΙ ΓΗ͂' ἅπερ ἔδει δεῖξαι. Ταῦτα σαφέστατα παρηκολούϑει τῇ ἐλλείψει ἐν τῷ ὅ ιε΄ ϑεωρήματι τῶν Κωνικῶν' ἔλλειψις ἄρα ἐστὶν ἣ ΑΒΓ τομὴ τοῦ κυλίνδρου. Ue. Ἐὰν ἐν κυλίνδρου τομῇ εὐϑεῖαι ἀχϑῶσιν ἐπὶ τὴν διάμετρον τεταγμένως, ἔσται τὰ ἀπ᾿ αὐτῶν τετράγωνα 10 πρὸς μὲν τὰ περιεχόμενα χωρία ὑπὸ τῶν ἀπολαμβανο- μένων ὑπ᾽ αὐτῶν πρὸς τοῖς πέρασι τῆς πλαγίας τοῦ εἴδους πλευρᾶς, ὡς τοῦ εἴδους ἡ ὀρϑία πλευρὰ πρὸς τὴν πλαγίαν, πρὸς ἑαυτὰ δέ, ὡς τὰ περιεχόμενα χωρία ὑπὸ τῶν. ὡς εἴρηται, λαμβανομένων εὐϑειῶν. 15 ἔστω κυλίνδρου τομὴ ἡ 4BI'4, διάμετρος δὲ αὐὖ- τῆς ἡ 44) καὶ πλαγία πλευρὰ τοῦ εἴδους. ὀρϑία δὲ τοῦ εἴδους πλευρὰ ἡ 4H, καὶ ἐπὶ τὴν 4 4 τεταγμένως ἤχϑωσαν αἱ ΒΕ, ΖΓ. λέγω, ὅτι τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν A4 E, EZ ἐστιν, ὡς ἡ HA πρὸς 44, 20 τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ AE πρὸς τὸ ὑπὸ AZ. ἐπεὶ γάρ, ὧς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου, οὕτως τό τε ἀπὸ τῆς BE πρὸς τὸ ὑπὸ 4ΕΖ4 καὶ ἡ AH ὀρϑία πλευρὰ πρὺς τὴν 44 26 πλαγίαν, ὡς ἄρα ἡ ὀρϑία πρὸς τὴν πλαγίαν, οὕτως 8. ἅπερ --- δεῖξαι] om. p. 4. ταῦτα] καὶ ταῦτα δέ p. 6. ἈΒΓΊΑΓΒ p. κυλίνδρου] des. fol. 1767 med. V, reh- qua pars paginae uacat; in mg. inf. m. 2: ξήτει τὸ ἑπόμενον πρὸ φύλλων - ὦ. 14. λαμβανομένων] ἀπολαμβανομένων p. 15. ΑΒΓΔΊ ABD c. 18. ΖΓ PZ p. 19. A4] 44, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν AZ, Z4 ὡς ἡ HA πρὸς A4 p. DE SECTIONE CYLINDRI. 51 erii EZ? — ΓΘ. quod tertiae proportionali ΓΗ͂ ad- plicatum est latitudinem habens ZI' deficiens spatio 6K «KH simil rectangulo ZI'2« ΓΗ͂; quae erant demonstranda. Haec manifestissime ellipsis propria adgnosceban- tur in prop. XV Conicorum [Apollon. I, 15]; ergo A BI' sectio cylindri ellipsis est. XIX. Si in sectione cylindrn rectae ad diametrum ordinate ducuntur, quadrata eorum erunt ad spatia comprehensa rectis ab iis ad terminos lateris trans- uersi figurae abscisis, ut latus rectum figurae ad iransuersum, inter se autem, ut spatia comprehensa reclis sumptis, uti dixi- » 1: mus. sit cylindri sectio ABI 4, diametrus au- A 7 tem eius latusque trans- uersum figurae 4, rectum autem latus fi- H gurae 4H, et ad 44 ordinate ducantur BE, ZI. dico, esse BE! : AE»« ΕΖ — HA: 44 et BE:DUZ πόὸο ΜΈ »« ΕΖ: 42)-« ΖΖ. quoniam enim, ut quadratum alterius diametri ad quadratum diametr, ita et BE*: AE »« ΕΖ [prop. XVI] et 4H latus rectum ad 4,2] latus trans- uersum [prop. XVII], erit, ut latus rectum ad trans- 20. ἐστιν} om. p. 21. 424] 44124 c. 834. AH] HA p. A4] AB Vcp, corr. Comm. 58 ΠΕΡῚ KTAINAPOT TOMBHZ. τὸ ἀπὸ τῆς BE πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν 4Ε4 ὁμοίως δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ AZ. καὶ ἐναλλὰξ ἄρα, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν AE πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν 4241 ἃ προέκειτο δεῖξαι. Καὶ ταῦτα δέδεικται ἐπὶ τῆς ἐλλείψεως ἐν τοῖς Κωνικοῖς ϑεωρήματι κ΄. Qt Ἔστι uiv οὖν καὶ δι’ ἑτέρων πλείστων ἐπιδεῖξαι τὴν ταυτότητα τῶν τομῶν διὰ τῶν κοινῇ συμβαινόν- 10 τῶν αὐταῖς οὐ μὴν ἀλλὰ τά ys ἀρχικώτερα τῶν συμ- πτωμάτων εἴρηται ὄχεδόν. ἔπειτα μέχρι τοῦδε προ- αχϑείδης τῆς ϑεωρίας οὐκ ἐμοὶ προσήκει τοὐντεῦϑεν ἔτει τῶν λοιπῶν ἕκαστα διεξιόντι τοῖς ἀλλοτρίοις ἐν- διατρίβειν. ἀνάγκη γάρ που λεπτολογοῦντα περὶ ἐλλεί- 16 ψεῶς ἐπειδκυκλῆδσαι καὶ τὰ τῷ Περγαίῳ ᾿4πολλωνίῳ τεϑεωρημένα περὶ αὐτῆς. ἀλλ᾽ ὅτῳ σπουδὴ περαιτέρω Oxozxtiv, ἔξεστι ταῦτα παρατιϑέντι τοῖς ἐν τῷ πρώτῳ τῶν Κωνικῶν εἰρημένοις αὐτῷ δι᾽ αὑτοῦ βεβαιῶσαι τὸ προκείμενον" ὅσα γὰρ ἐν ἐκείνοις περὶ τὴν τοῦ κώνου 20 τομὴν συμβαίνοντα τὴν καλουμένην ἔλλειψιν, τοσαῦτα καὶ περὶ τὴν τοῦ κυλίνδρου τομὴν ἐκ τῶν ἐνταῦϑα προδεδειγμένων εὑρήσει συμβαίνοντα. διόπερ τούτου μὲν ἀποστάς, ὀλίγα δὲ ἄττα λημμάτια προσϑείς, δι᾽ ὧν καὶ αὐτῶν ἐνδείκνυταί πως 7 τῶν τομῶν ταυτότης, ἐπ᾽ 26 ἄλλο τι τρέψομαι. , κ΄. “έγω τοίνυν, ὅτι δυνατόν ἐστι δεῖξαι χῶνον ὁμοῦ καὶ κύλινδρον μιᾷ καὶ τῇ αὐτῇ τεμνομένους ἐλλείψει. 4. ἅ -- ὅ. δεῖξαι] om. p. 7. κ΄] κα΄ Halley cum Comm. 10. αὐταῖς p, αὐτοῖς Vc. 12. ἐμοὶ προσήκει] scripsi prae- DE SECTIONE CYLINDRI. 59 uersum, iià ΒΕ“: 4E »« Ez; eodem autem modo eliam ΓΖ'᾽: 4Z»« Z4. . ergo eliam permutando BE':DIZ!— AE» ΕΖ: AZ »« Z4; quae erant demonstranda. Etiam haec de ellipsi demonstrata sunt in Conicis prop. XX [Apollon. I, 21]. Fieri potest, ut per alia quoque plurima de- monsiremus, sectiones easdem esse, per communes earum proprietates; uerum praecipuae certe pro- prietates fere dictae sunt. iam quaestione huc producta meum non est alienis immorari ulterius singula reliquorum persequentem; necesse enim esset omnia de ellipsi consectantem ea quoque repetere, quae Apollonius Pergaeus de ea quaesiuit. sed quisquis ulira quaerere studet, ei licet haec cum iis comparant, quae in primo libro Conicorum dicta sunt, ipsi per 8€ propositum confirmare; nam quaecunque illie in coni sectione, ellipsis quae uocatur, adcidunt, eadem omnia etiam in cylindri sectione ex 118, quae hic demonstrata sunt, inueniet adcidentia. quare hoc omisso, paucis autem lemmatis additis, quae et ipsa quodam modo significant, sectiones easdem esse, ad allud me conuertam. XX. Dieo igitur, fieri posse, ut demonstremus, simul conum et cylindrum una eademque ellipsi secari. eunte Comm. (ad «e attinet), éuóg ἥκει Vcp, ἐμοὶ ἥκει Halley. 18. αὐτοῦ αὐτοῦ V. 20. συμβαίνοντα --- ἔλλειψιν) τὴν καλουμένην ἔλλειψιν συμβαίνοντα p. 428. ἄττα] ἅττα V. 60 ΠΕΡῚ KTAINAPOT ΤΌΜΗΣ. ἐκκείσϑω τρίγωνον σκαληνὸν τὸ 48ΒΓ ἐπὶ τῆς ΒΓ βάσεως δίχα τεμνομένης κατὰ τὸ 4, καὶ μείζων ἔστω ἡ AB τῆς ADI, καὶ πρὸς τῇ IA εὐθείᾳ καὶ τῷ 4 σημείῳ συνεστάτω γωνία ἡ ὑπὸ τῶν I4, AE ἤτοι μείξων 5 οὖσα τῆς ὑπὸ τῶν 48, ΒΓΓ ἢ ἐλάσσων. καὶ συμπιπτέτω ἡ AE τῇ ΒΓΕ κατὰ τὸ E, καὶ τῶν BE, ΕΓ' μέδη ἀνάλογον ἔστω ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεξζξεύχϑω ἡ AZ, καὶ τῇ AE παράλληλος ἐν τῷ τριγώνῳ διήχϑω ἡ OH, καὶ διὰ τῶν O, H σημείων τῇ AZ παράλληλοι ἤχϑωσαν 10 αὖ OK, AH M, καὶ συμπεπληρώσϑω τὸ K M παραλλη- λόγραμμον, καὶ διὰ τῆς BE ἀχϑέντος ἐπιπέδου. πρὸς ὀρϑὰς τῷ Β4Ε ἐπιπέδῳ γεγράφϑω ἐν τῷ ἀχϑέντι περὶ μὲν τὴν K A διάμετρον ὃ ΚΝ“ κύκλος βάσις ἐσόμενος κυλίνδρου, οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμόν ἐστι 15 τὸ ΚΜ, περὶ 03 τὴν ΒΙΓ διάμετρον ὁ BAT κύκλος βάσις ἐσόμενος κώνου, οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνόν ἐστι τὸ ABI, καὶ τῆς ΘΗ ἐχβληϑείσης ἐπὶ τὸ O ἤχϑω πρὸς ὀρϑὰς τῇ ΒΕ ἡ ΟΠ ἐν τῷ τῶν κύκλων ἐπιπέδῳ οὖσα, καὶ ἤχϑω διὰ τῶν ΟΠ. OO εὐϑειῶν ἐπίπεδον" 20 ποιήσει δὴ τομὴν ἐν τῷ κώνῳ τῷ ἐπὶ τῆς BAI βά- 6:09. ποιείτω τὴν PH: ἡ ΘΗ͂ ἄρα εὐϑεῖα διάμετρός ἐστι τῆς τομῆς. τῆς οὖν ΘΗ͂ δίχα τμηϑείσης κατὰ τὸ Zi κατήχϑωσαν τεταγμένως ἐπ᾽ αὐτὴν δευτέρα μὲν διά- μετρος 7| PZ TT, τυχοῦσα δὲ ἡ ὙΦ, καὶ γενέσϑω. ὡς 25 τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ διαμέτρου τῆς ΘΡΗ͂ τομῆς πρὸς v0 8. vj] inc. fol 1777, mg. sup. m. 2: τοῦτο ξητεῖται πρὸ φυλλ ἕξ. τῷ 4 σημείῳ] τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ 4 p. 4. τῶν DÀA,AE| ΓΆΕ p. — 5. τῶν AB, BI] ΑΕΤΙῬ. ἈἘἀἐλάσσων] ἑλᾶ p, ut saepissime. 6. BTE] ΒΓ p. 25. 6e PH] 60 PN c. DE SECTIONE CYLINDRI. 61 ponatur triangulus scalenus A4BI' in basi BI'in 4 in duas partes aequales secta, sitque 4B — AT, et ad I'4 rectam punctumque 44 angulus construatur rectis I4, 4E comprehensus aut maior angulo 4BI' aut minor, et 4 E cum BI'E in E concurrat, rectarum- que BE, EI' media proportionalis sit EZ, et ducatur 4Z, ei rectae 4E parallela in triangulo ducatur 8 H, el per puncta OG, H rectae 4Z parallelae ducantur ΘΚ, AHM, expleaturque parallelogrammum .K M, pr BE autem ducto plano ad planum B AE per- pendieulari in plano ducto describatur circum Καὶ 4 diametrum circulus KN.4, qui basis erit cylindr, cuus est. K M parallelogrammum per axem ductum, cdreum BI' autem diametrum circulus BAI, qui basis erib coni, cuius est, 4B Γ᾽ triangulus per axem positus, et recta ΘΗ͂ ad O producta ad BE per- pendieularis ducatur OII in plano circulorum posita, 5 10 1 e 2 e 25 62 . ΠΕΡῚ KYTAINAPOT TOMBZ. ἀπὸ τῆς PT δευτέρας διαμετρου τῆς αὐτῆς τομῆς, οὕτως ἡ OH πλαγία τοῦ εἴδους πλευρὰ πρὸς τὴν OX ὀρϑίαν. ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν ΘΚ τῇ AZ παράλληλός ἐστιν, ἡ ὃὲ ΘΟ τῇ AE, ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς AE πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΘΟ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΟ. ἀλλ᾽ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ τῆς 4E πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν BE, ΕΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ διαμέτρου τῆς τοῦ κώνου τομῆς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς PT δευτέρας διαμέτρου τῆς αὐτῆς τομῆς, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΟ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς OK, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς OH πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς KA, τουτέστιν οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ διαμέτρου τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς, ὡς ἐδείχϑη πρότερον" ἡ ἄρα δευτέρα διάμετρος τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς ἴση ἐστὶ τῇ PT δευτέρᾳ διαμέτρῳ τῆς τοῦ κώνου τομῆς. καί ἐστιν ἡ διχοτομία τῆς OH κατὰ τὸ Σ, καὶ πρὸς ὀρϑὰς ἄγεται τῇ ΘΗ͂ δευτέρα διάμετρος τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς, ὥσπερ καὶ ἡ PT: ἡ ἄρα PT δευτέρα διάμετρός ἐστι τῆς τε τοῦ κώνου καὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς. ὁμοίως δὲ ἡ OH διάμετρός ἐστι τῆς τοῦ κώνου καὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου rouijg τὸ P ἄρα σημεῖον ἐπὶ τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας καὶ ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφα- νείας ἐστί. πάλιν ἐπεὶ ἐν ταῖς τομαῖς τοῦ τε κώνου καὶ τοῦ κυλίνδρου αἵ αὐταί εἰσι διάμετροι ἥ τε ΘΗ͂ καὶ ἡ ΡΤ, καὶ ἡ τρίτη ἄρα ἀνάλογον ἡ αὐτή, τουτ- 9. ΘΗ] ΗΘ p. e. KO] OK p. 11. πρὸς τό — 13. H8] om. p. 14. τῆς — τομῆς] om. p. 19. ἡ (adt) bis p. 21. τῆς τοῦ] τῆς τε τοῦ P. 22. P ἄρα] ἄρα P p. ἐπί] καὶ ἐπί y. 26. αὐτή] αὐτή ἔστι p. DE SECTIONE ΟΥ̓ΠΙΝΌΒΙ. 63 et per rectas ΟΠ. OO planum ducatur; efficiet igitur in eono, euius basis est& B,XI', sectionem. efficiat 8PH; 96 H igitur recta diametrus est sectionis. recta igtur 6 H in Z in duas partes aequales secta ordinate ad eam ducantur altera diametrus PZ T et alia quae- lbet T6, fitque, ut quadratum 6H diametn sectionis 6 PH ad quadratum PT alterius diametri eiusdem sectionis, ita ΘΗ͂ latus transuersum figurae ad 6 X latus rectum. quoniam igitur O K rectae 4Z parallela est, ΘΟ autem rectae 4 E, erit [Eucl. VI, 4] AE? : EZ! — 00! : KO*. est autem !) AE* : BE»« EI —— ΘΗ: PT?, et 980? : OK? — ΘΗ": Καὶ 45 [Eucl. VI, 4], h. e. qua- dratum H6 diametri sectionis cylindri ad quadratum alterius diametri sectionis cylindri, ut antea demon- siratum est [prop. IX extr.]; itaque altera diametrus sectionis cylindr aequalis est PT' alteri diametro sectionis coni. et punctum medium rectae 6H est Z, et altera diametrus sectionis cylindri ad 6H perpendicularis ducitur [prop. XV], sicut etiam PT; ilaque PT altera diametrus est et coni et cylindri Sseclionis. eodem autem modo 6 H diametrus est et coni et cylindri sectionis. quare punctum P et in coniea superficie et in superficie cylindri positum est. rursus quoniam in sectionibus et coni et cylindri eaedem sunt diametri 60H οὐ PT, etiam tertia 1) Nam ex Apollon.I,18 erit 4E?: BE» EI'-—— 69H:6 X, el ex hypothesi est. 6H: 9X — 6H?: PT*. praeterea ex hypothesi est BE: EZ — EZ: ΕΓ, h. e. EZ! - BE »« ΕΓ. Q σι 64 ΠΕΡῚ KTAINAPOT TOMHZ. ἕστιν ἡ OX ὀρϑία τοῦ εἴδους πλευρά; ἡ ἄρα OX καὶ ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς ὀρϑία ἐστὶ τοῦ εἴδους πλευρά. ἐπεὶ οὖν, ὡς ἡ OH πρὸς τὴν O X, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΗΦ, DO πρὸὺς τὸ ἀπὸ τῆς OT, ἐδείχϑη δὲ καὶ ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς, ὡς ἡ πλαγία τοῦ εἴδους πλευρὰ πρὸς τὴν ὀρϑίαν, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς κατηγμένης ἐπ᾿ αὐτὴν τεταγμένως καὶ ποιούσης τὰ τμήματα. καὶ ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου ἄρα τομῆς. ὡς ἡ ΘΗ͂ πλαγία τοῦ εἴδους πλευρὰ πρὸς τὴν O X ὀρϑίαν, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν Hd, ΘΦ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἴσης τῇ ὙΦ καὶ πρὸς ἴσας γωνίας ἀγομένης ἐπὶ τὴν OH. ἀλλ᾽ ἡ ἴση τῇ TO καὶ πρὸς ἴσας γωνίας ἐπ᾽ αὐτὴν ἀγομένη κατὰ τὸ ὦ οὐχ ἕτέρα ἐστὶ τῆς T. ἡ ἄρα ΦΥ͂ καὶ ἐν τῇ τοῦ κυλίνδρου ἐστὶ τομῇ" τὸ ἄρα T δημεῖον ἐπὶ τῆς τοῦ κώνου ἐπιφανείας ὃν καὶ ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐστὶν ἐπιφανείας. ὁμοίως δὲ δείκνυται. κἂν ὁδσαδοῦν ὁμοίως τεταγμένως ἀγάγωμεν. d$ ΘΡΗ͂ ἄρα γραμμὴ ἐν ταῖς ἐπιφανείαις ἐστὴν ἀμφοτέρων τῶν σχημάτων᾽ 20 ἡ ΘΡΗ͂ ἄρα τομὴ μία καὶ ἡ αὐτὴ ἐν ἀμφοτέροις ἐστὶ τοῖς σχήμασι. καὶ ἐπεὶ κατεσκευάσϑη ἡ ὑπὸ ΓΑ, AE, γωνία, τουτέστιν ἡ ὑπὸ AH, HO, iow μείζων ἢ ἐλάττων οὖσα τῆς πρὸς τῷ B, ἡ ἄρα τομὴ οὔκ ἐστιν ὑπεναντία" ἡ ΘΡΗ͂ ἄρα τομὴ οὔκ ἐστι κύκλος" ἔλλειψις 25 ἄρα ἐστὶν ἣ OPH. καὶ τοῦ κώνου ἄρα τοῦ ἐκκχει- μένου καὶ τοῦ κυλίνδρου ἡ τομὴ αὕτη ἔλλειψίς datu ὕπερ ἔδει δεῖξαι. 2. ἐπί] ἐπὶ τῆς τοῦ κώνου καὶ ἐπί p. 8. ΘΗ] H8 p. 9. el vp, H euan.V (Οὔ, G90c. 11. 00] 68 p. 12 ἀγομένης] &youévg Vcp? 18. γωνίας] cp, εὐϑείας V, yo. Γυὺ . DE SECTIONE CYLINDRBI. 65 proportionalis eadem est, ἢ. e. 6X latus rectum figurae; € X igitur eliam in sectione cylindri latus rectum est figurae. quoniam igitur [Apollon. I, 21] 0 H:8X— HÓ«00:d07T*, demonstrauimus autem [prop. XIX|, etiam in sectione cylindri esse, ut latus transuersum figurae ad latus rectum, ita rectangulum parübus diametri comprehensum ad quadratum rectae ad eam ordinate ductae partesque efficientis, etiam in cylindri sectione erit, ut & H latus transuersum figurae ad 6 X rectum, iia Hd »« 9d» ad quadratum rectae rectae ὙΦ aequalis et ad ΘΗ͂ ad aequales angulos ductae. uerum recta rectae T' aequalis et ad illam ad aequales angulos ducta in d non alia est ac T'Ó. itaque OT etiam in cylindri sectione est; quare punctum 7'in superficie coni positum idem in superficie cylindri est. eodem autem modo demonstratur, quot- cunque Iectas eodem modo ordinatas duxerimus. ilaque linea ΘΡΗ͂ in superficiebus utriusque figurae esi; 6PH igitur sectio una eademque in utraque figura est. et quoniam [| I'AE, h. e. ( 4H6, con- Siructus est aut maior aut minor angulo ad B posito, sectio non est contraria [prop. VI]; quare sectio 9 PH circulus non est [prop. IX]; itaque ellipsis est. 9 PH. ergo haec et coni propositi et cylindri sectio ellipsis esi; quod erat demonstrandum. mg. m ἐπ᾿ αὐτήν M om. c, add. mg. m. 1; ἐπὶ τὴν eH p, ἐπι τὴν αὐτήν H Post ἀγομένη del. ἐπὶ τὴν ΘΗ τι. 1 6. 14. ἐστί] om. "d 16. τῆς] cp, om. V? 21. ΓΑ, AE] I'AE p. 22. AH, H6] ΑΗΘ P. 98. ἐλάττων] ἐλάσ- σων p. τῆς] ep, τῇ Vv. 26. ἡ τομὴ αὕτη] τομὴ ἡ αὐτή Halley cum Comm. 27. ὕπερ ἔδει δεῖξαι) om. p. Serenus Antinoensis, ed. Heiberg. 66 ΠΕΡῚ KTAINAPOT TOMBZ. [4 Κα. Κώνου δοϑέντος καὶ ἐλλείψεως ἐν αὐτῷ εὑρεῖν κύλινδρον τεμνόμενον τῇ αὐτῇ ἐλλείψει τοῦ κώνον. ἔστω ó δοϑεὶς κῶνος. οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρί- 5 yovov τὸ ABI, ἡ δὲ δοθεῖσα ἐν αὐτῷ ἔλλειψις, ἧς διάμεερος ἡ ZE, ἥτις ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Zl, καὶ παρ- ἄλληλος τῇ Z4 ἡ 4Μ, καὶ τῶν ΒΜ, MTI' μέση ἀνά- Aoyov ἔστω 7 MH, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ 4H, καὶ διὰ τῶν Z καὶ E σημείων τῇ AH παράλληλοι ἤχϑωσαν αἵ Z6, 10 ΚΕ 4, καὶ συμπεπληρώσϑω τὸ 6.4 παραλληλόγραμμον. ἐὰν δὴ νοήσωμεν κύλινδρον, οὗ βάσις μὲν ὃ περὶ διά- μέτρον τὴν ΘΚ κύκλος, τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος παραλ- ληλόγραμμον τὸ O 4, ἔσται καὶ ἐν τῷ κυλίνδρῳ τομή, ἧς διάμετρός ἐστιν ἡ ΖΕ. ὁμοίως δὴ τῷ πρὸ τούτου 16 ϑεωρήματι δειχϑήσεται καὶ ἡ δευτέρα διάμετρος ἡ αὐτὴ οὖσα καὶ πᾶσαι αἷ τεταγμένως ἀγόμεναι. εὕρηται ἄρα κύλινδρος, ὃς τέμνεται τῇ δοθείσῃ ἐλλείψει τοῦ δοϑέν- τος κώνου᾽ ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. κβ΄. 20 ΜΚυλίνδρου δοθέντος καὶ ἐλλείψεως ἐν αὐτῷ εὑρεῖν κῶνον τεμνόμενον τῇ αὐτῇ ἐλλείψει τοῦ κυλίνδρου. 6. ἐκβεβλήσθω) ἐκβεὲ extr. lin. c. ἐπί] καὶ συμπιπτέτω τῇ ΒΓ κατά p. 4] vep, e corr. m. 1 V. 7. AM] AM συμπίπτουσα τῇ B. ἐκβληϑείσῃ κατὰ τὸ M p. τῶν} P, τῆς V c. 11. κύλινδρον) om. p extr. lin. 18. ἐν τῷ] ἔστω Vcp, corr. Comm. κυλίνδρῳ] V, κυλίνδρου p et comp. c. 14. δή] δέ c. 18. ὅπερ ἔδει ποιῆσαι} om. p. 19. «f| om. V. . DE SECTIONE CYLINDRBHI. 61 XXI. Cono dato et in eo ellipsii cylindrum inuenire eadem coni ellipsi sectum. sit datus conus, cuius triangulus per axem positus 8:0 4BI', in eo autem data ellipsis, cuius diametrus LE, quae ad 4, producatur, 4M autem reciae Z4 parallela, rectarumque B.M, MI' media proportionalis 8. MH, et ducatur 4H, per puncta autem Z, E rectae 4H parallelae ducantur ΖΘ. KE 4, expleatur- que parallelogrammum 6.4. s igitur cylindrum finxerimus, cuius basis sit circulus circeum diametrum ΘΚ, parallelogrammum autem per axem positum 6 4, eliam in cylindro sectio erit, cuius diametrus est ZE. ilaque eodem modo, quo in praecedenti propositione, demonstrabimus, etiam alteram diametrum eandem esse omnesque rectas ordinate ductas. ergo inuentus est eylindrus, qui data ellipsi dati coni secatur; quod fien oportebat. XXII. Cylindro dato et in eo ellipsi conum inuenire eadem ellipsi eylindri sectum. δ᾽ 1 1 2 2 δι 0 ὅ e CQ 68 ΠΕΡῚ ETAINAPOT ΤΟΜΗΣ. ἐκκείσϑω ἔξωϑεν εὐθεῖά τις ἡ AB καὶ τυχὸν σημεῖον ἐπ᾽ αὐτῆς τὸ 4, καὶ γενέσϑω, ὡς μὲν ἡ 48 πρὸς τὴν B4, οὕτως ἡ 4B πρὸς τὴν BI; ὡς δὲ ἡ AB πρὸς τὴν ΒΓΙΓ, οὕτως ἡ 44 πρὸς τὴν E, καὶ ἀπὸ μὲν τῶν E, 4, Γ σημείων τῇ AB εὐϑείᾳ πρὸς οἷαν- δήποτε γωνίαν ἐφεστάτωσαν εὐθεῖαι παράλληλοι ἀλλή- λαις α EZ, 4H, ΓΘ. διὰ δὲ τοῦ Γ ἤχϑω τις εὐθεῖα τέμνουσα τὰς EZ, 4H ἡ ΓΚ, καὶ ἐπιξευχϑεῖσα ἡ AK συμπιπτέτω τῇ 4H κατὰ τὸ H, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ HB. τούτων οὕτως ἰδίᾳ κατασκευασθέντων ἔστω Ó δο- ϑεὶς κύλινδρος, οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμ- μόν ἐστι τὸ 4M, τῆς δὲ δοθείσης ἐν αὐτῷ ἐλλείψεως διάμετρος ἔστω ἡ ΝΞ, καὶ τετμήσϑω ἡ AA βάσις τοῦ παραλληλογράμμου ὁμοίως τῇ EI, iv $, ὡς ἡ EA πρὸς τὴν 4ΓΓ,, οὕτως ἡ 40 πρὸς τὴν OA. £u γε- νέσϑω. ὡς μὲν ἡ EI' πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ 48 πρὸς τὴν AII, ὡς δὲ ἡ ΓΕ πρὸς τὴν EA, οὕτως ἡ A4 πρὸς τὴν AP, καὶ διὰ τοῦ O ἤχϑω παράλληλος ταῖς τοῦ παραλληλογράμμου πλευραῖς ἡ OZ, καὶ ἐπι- ξευχϑεῖσα ἡ PN συμπιπτέτω τῇ ΟΣ κατὰ τὸ Z2, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ ΣΙ, X5. ἐπεὶ οὖν ἡ ΡΠ εὐθεῖα ὁμοίως τῇ 48 τέτμηται, ἔστιν ἄρα καί, ὡς μὲν ἡ PII πρὸς τὴν IIO, οὕτως ἡ OII πρὸς τὴν IIA, ὡς δὲ ἡ PII πρὸς τὴν ΠΗ͂, οὕτως ἡ PO πρὸς τὴν O A, τουτέστιν ἡ ΡΣ] οὕτως πρὸς τὴν ZN: παράλληλος ἄρα τῇ ΝΗ͂ ἡ ΣΠ. ἐὰν δὴ νοήσω- — 2. uéy] om. p. 8. ἡ 48 --- 4. οὕτως) om. Vc, ἢ ve 4B πρὸς ΒΓ καί p; corr. Comm. 4. τήν (alt)] om.p. 17. 8] p, I4 Vc.: 14. ἡ] supra scr. p. 15. γενέσθω] γινέσθω p. 16. ΓΒ] p, ΓΒ uel PZ, Τ' e corr. m. 1, V, — mg.; ΓΖ v, ^4? c. 20. Z2]ecor.m.i1c. 38. καί] om.p. μέν] . DE SECTIONE CYLINDRI. 69 ponatur seorsum recta 4B et in ea quodlibet punetum 4, fiaique 4B: ΒΖ «-- 218 : BI et AB: BID'— 44: EZ, ἃ punctis E, 4, I' autem ad quemlibet angulum ad rectam 4B erigantur rectae inter se parallelae EZ, ΖΗ, ΓΘ. per Γ autem recta aliqua ducatur rectas EZ, 4H secans I'K, et ducta AK cum 4H in H concurrat, ducaturque HB. zd H o 4 E his seorsum ita constructis sit datus cylidrus, cuius est parallelogrammum per axem ductum 4M, diameirus autem ellipsis in eo datae sit N,S, secetur- que basis parallelogrammi 4X eodem modo, quo EI", iia ut μὲ Ez: 4I'— 40:05. praeterea fiat A8: RII — EDI:I'Bet 34: AP— ΓΕ: EA, et per O lateribus parallelogrammi parallela ducatur ΟΣ, duciaqQue PN cum OZ concurrat in Σ΄. et ducantur ΣΙ, XA. quoniam igitur recta PII eodem modo secta est, quo 488, enti etiam PII: IIO — ΟΠ: ΠΗ͂ et PII : IIl& — PO:0A4-— PZ:ZN [Eucl. VI, 2; V, 18]; itaque Ν᾿, ZII parallelae sunt [Eucl. V, 17; VI, 2]. om.p. ἡ ΟΠ] ἤ τε Oll p. 834. ὡς — οὕτως] xoí p. ΡΠ] OII Vc, corr. Comm. 26. οὕτως] om. p. 26. ZII] ΟΠ c. δι 10 1 Ox 20 10 ΠΕΡῚ KTAINAPOT ΤΟΜΗΣ. μὲν κῶνον, οὗ βάσις ὃ περὶ διάμετρον τὴν PA κύκλος, τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ EPA, ἔσται καὶ ἐν τῷ κώνῳ τομή, ἧς διάμετρός ἐστιν ἡ INR. ὁμοίως δὴ τοῖς προδεδειγμένοις δειχϑήσεται καὶ ἡ δευτέρα διά- μετρος ἡ αὐτὴ οὖσα καὶ πᾶσαι oi τεταγμένως ἀγόμεναι. τέτμηται ἄρα καὶ ὃ κῶνος τῇ αὐτῇ ἐλλείψει τοῦ δὸο- ϑέντος κυλίνδρου" ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. κγ΄. Κώνου δοθέντος εὑρεῖν κύλινδρον καὶ τεμεῖν ἀμ- φοτέρους ἑνὶ ἐπιπέδῳ διὰ τῆς τομῆς ποιοῦντι ἐν ἕχα- τέρῳ ὁμοίας ἐλλείψεις. δεδόσϑω κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὃ περὶ τὸ .4 κέντρον κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ B σημεῖον, τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ I'B4 πρὸς ὀρϑὰς ὃν τῇ βάσει τοῦ κώνου, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐφ᾽ ἑκάτερα ἡ 4ΓΕ, 421 Z, καὶ πρὸς τῇ 4B καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ B συνεστάτω ἡ ὑπὸ τῶν 48, ΒΖ γωνία iow μείξων οὖσα τῆς ὑσὺ BI4 ἢ ἐλάσσων, καὶ τῶν ΓΖ, Ζ4 μέση ἀνάλογον εἰλήφϑω ἡ ZH, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ BH, τοῦ δὲ ξητου- μένου κυλίνδρου βάσις ἔστω ἤτοι ὃ Α' κύκλος ἢ καὶ ἄλλος τις ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τῷ 44 κύκλῳ᾽ οὐδὲν γὰρ διοίσει. ἔστω δὴ ὃ περὶ τὴν EO διάμετρον. καὶ διὰ τῶν Ε, Θ σημείων παράλληλοι τῇ BH εὐϑείᾳ ἤχϑω- σαν αἱ EK, 0.4: ἐν τῷ αὐτῷ ἄρα εἰσὶν ἐπιπέδῳ τῷ 2. τρίγωνον) τρίγωνον, τρῖγ e corr. m. i, V. — 8. τομή] p, τομῆς Vc. τ mee ἔδει ποιῆσαι om. p. 8. κγ΄ κβ΄ mg. m. rec. V. ὄν] p, ἐν Vc. 5. ATE, 442] ἡ T'A κατὰ τὰ E καὶ Z σημεῖα p. 16. τ gj τήν p. 17. τῶν 48, ΒΖ] ABZ p. 19. εἰλήφϑω], ἕστω p. 22. δή] δέ Vep, corr. Halley cum Comm. 2428. BH εὐθείᾳ] HB εὐθεῖαι p. DE SECTIONE ΟὙΤΙΝΌΕΙ, 11 quare si conum finxerimus, cuius basis sit circulus circum diametrum PA, iriangulus autem per axem positus Z PA, in cono quoque sectio erit, culus diametrus est NX. iam eodem modo, quo antea, demonstrabimus, etiam alteram diametrum et omnes rectas ordinate ductas easdem esse. ergo etiam conus eadem ellipsi dati cylindri sectus est; quod fieri oportebat. XXIII. Cono dato cylindrum inuenire et utrumque secare uno plano, quod per sectionem in utroque similes ellipses efficiat. datus sit conus, cuius basis sit circulus circum 44 centrum, uerlex autem punctum B, triangulus autem per axem positus ΓΒΖ ad basim coni per- pendieularis, et ad utramque par- tem producantur ΑΓΕ, AAZ, et ad ΖΒ punctum- que eius B con- struatur angulus 4 B Z aut maior aut minor angulo BIA, rectarumque ΓΖ, Zz1 media proportionalis sumatur ZH, et ducatur BH, quaesili autem cylindri basis sit aut .4 circulus aut alius in eodem plano positus ac circulus 44; nihil enim intererit. sit igitur cireulus circum. ΕἾΘ diametrum, et per puncta E, 6 δι 1 Φ 1 ex 20 2b 12 ΠΕΡῚ KTAINAPOT TOMHZ. IB4 τριγώνῳ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΖ τέμνει τὴν BH, ἡ ΒΖ ἄρα ἐκβαλλομένη πάσας τὰς τῇ BH παραλλήλους ἐπ’ ἄπειρον ἐκβαλλομένας τέμνει" καὶ αἴ παράλληλοι οὖν τῇ ΒΖ τὰς τῇ ΒΗ παραλλήλους τέμνουσιν. ἤχϑω τῇ ΒΖ παράλληλος ἡ ΜΝ καὶ ἐκβληϑεῖσα τεμνέτω τὰς G 4, ΕΚ κατὰ τὰ ΚΗ, O σημεῖα, καὶ τῇ ΕΘ παράλληλος ἤχϑω ἡ KA καὶ περὶ τὴν Καὶ διάμετρον κύκλος παρ- ἄλληλος τῷ περὶ τὴν ΕΘ' νοηϑήσεται δὴ κύλινδρος, οὗ βάσεις μὲν οἵ EO, KA κύκλοι, τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ KO, δηλονότι καὶ αὐτὸ πρὸς ὀρϑὰς ὃν τῇ βάσει. καὶ ἐὰν διὰ τοῦ M τῇ I4Z βάσει πρὸς ὀρϑὰς ἀγάγωμεν τὴν ΜΡ ἐν τῷ αὐτῷ &-- πέδῳ οὖσαν τῷ 4 κύκλῳ καὶ διὰ τῶν MP, MO διεκ- βάλλωμεν ἐπίπεδον, ποιήσει ἐν μὲν τῷ κώνῳ τὴν ΝΣΤ ἔλλειψιν, ἐν δὲ τῷ κυλίνδρῳ τὴν ΟΦ ΚΙ, διάμετροι δὲ τῆς μὲν ἡ NT, τῆς δὲ ἡ OA. λέγω δή. ὅτι NZT ἔλλειψις τῇ ΟΦ Εἰ ἐλλείψει ὁμοία ἐστίν. ἐπεὶ γὰρ αἱ ΟΜ, ΒΖ παράλληλοί εἰσιν ἀλλήλαις, ἀλλὰ καὶ αἱ EK, ΘΑ, BH παράλληλοι ἀλλήλαις, κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ τέμνει, ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΟΜ πρὸς τὴν ΜΕ, τουτέστιν ὡς ἡ OA πρὸς τὴν ΘΕ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ZH: καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς OX πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ͂, τουτ- ἔστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, Z4. ἀλλ᾽ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ τῆς OA διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς € E, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΟΝ διαμέτρου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συξυγοῦς δια- μέτρου, φέρε τῆς DP, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, Z4, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς NT διαμέτρου 1. BH] HBp. ἃ. BH] HB p. 9. βάσεις] p, βάσις V c. 18. τῷ 4 κύκλῳ] τοῖς κύκλοις p. διεκβάλλωμεν] δι- ἐκβάλωμεν p. 14. NZT] στ p. 15. ἔλλειψιν) ἔἕλευψιν p. DE SECTIONE CYLINDRI. 13 rectae BH parallelae ducantur EK, ΘΑ͂; in eodem igitur plano sunt ac triangulus I'BA4J. et quoniam BZ rectam BH secat, BZ producta omnes rectas rectae BH parallelas in infinitum productas secat; quare eliam rectae rectae ΒΖ parallelae rectas rectae BH parallelas secant. ducatur M N rectae B Z parallela eb producta rectas 94, EK secet in punctis ,$, O, rectaeque EO parallela ducatur Κα Δ et circum Κα diametrum cireulus circulo cireum EO descripto parallelus; cylindrus igitur fingi poterit, cuius bases sint circuh. ΕΘ, K 4, parallelogrammum autem per axem positum KO, seilicet et ipsum ad basim per- pendiculare. et si per M ad basim I'4Z perpen- dicularem duxerimus MP in eodem plano positam, quo circulus 44, οὐ per MP, MO planum duxerimus, effidlet in cono ellipim NZT, in cylindro autem ΟΦ, diametri autem erunt alterius N T, alterius O5. dico, ellipsim NZ T ellipsi Ob similem esse. quoniam enim ΟΠ, ΒΖ inter se parallelae sunt, sed eliam EK, 0.1, BH inter se parallelae, EZ autem communis secat, erit [Euel. VI, 4] OM: ME — BZ:ZH —0O5X:O9E [Eucl. VI, 2; V,18]; quare eliam O5?: ΘΕ" — BZ!: ZH? —BZ*: TZ» ZA. uerum ut quadratum diametri ΟΞ ad ΘΕ“. ita qua- dratum diametri OX ad quadratum diametri con- iugatae, uelut *P [prop. IX extr.], οὐ ut ΒΖ": 'Z»«Z 4, iia quadratum diametri N T ad quadratum diametri eoniugatae, uelut. Σὰ [ Apoll. I, 13; prop. XVII]; ita- 16. ἡ NT] τ: V. ó$jjom.p. 19. BH] ΗΒ». 25. ΘΕ] EO p. 21. φέρε] om. p. ΦΨΊ ΦΧ». "4 ΠΕΡῚ KTAINAPOT TOMBHZ. πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συξυγοῦς διαμέτρου, φέρε τῆς 219 ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς OX πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς D Ψ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς N T πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Z2. καὶ ὡς ἡ ΟΚ ἄρα πρὸς τὴν OU συξυγῆ διάμετρον, οὕτως καὶ ἡ NT πρὸς τὴν 2/9) συξυγῆ διάμετρον. ὅτι δὲ καὶ πρὸς ἴσας γωνίας τέμνουσιν ἥ τε OR τὴν OT καὶ ἡ INT τὴν Z9, δῆλον. τὰς yàg "D, ΩΣ παραλλήλους οὔσας ἀλλήλαις ve 'καὶ τῇ MP ὴ MO τέμνει. ἡ ἄρα OX τομὴ τῇ NZ/T τομῇ ὁμοία ἐστί. καὶ οὔκ ἐστι κύκλος 10 οὐδετέρα αὐτῶν διὰ τὸ μὴ ὑπεναντίαν εἶναι τὴν τομὴν τῆς ὑπὸ τῶν 48. ΒΖ γωνίας, τουτέστι τῆς ὑπὸ τῶν B T, TN, &vídov οὔδης τῇ ὑπὸ τῶν ΒΙΓ, ΓΖ. ἔλλειψις ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΟΦ Ξ, NTZ τομῶν, καί εἰσιν ὅμοιαι ἀλλήλαις᾽ ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Q 15 κδ΄. Κυλίνδρου δοθέντος εὑρεῖν κῶνον καὶ τεμεῖν ἀμφοτέρους ἑνὶ ἐπιπέδῳ ποιοῦντι διὰ τῆς τομῆς ἐν ἑκατέρῳ ὁμοίας ἐλλείψεις. δεδόσϑω κύλινδρος, οὗ βάσις μὲν ὁ 4 κύκλος, τὸ 20 δὲ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ BI' πρὸς ὀρθὰς ὃν τῇ βάσει, καὶ ἐχβεβλήσϑω ἡ B4, τοῦ δὲ ξητουμένου κώνου βάσις ἔστω ἤτοι ὃ Α κύκλος ἢ καὶ ἄλλος Tig ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τῷ 4, olov περὶ τὴν ΕΖ διάμετρον, ἐφ’ ἧς κέντρον τὸ 4, καὶ ληφ- 26 ϑέντος σημείου τυχόντος ἐπὶ τῆς ZH τοῦ H εἰλήφϑω 1. φέρε] om. p. 2. O] vp, ob V, d£c. ΦΨ)] ΦΧ». 4. DW] Xo p. οὕτως καί] om. p. 6. ΦὧΦΨ] ΦΧ». T. τῷ, ΩΣ] ΦΧ, X9 p. 8. MOJOMyp. 11. τῶν 4B, BZ] ABZyp. τῶν BT, TN] ] BTN p. 12. τῶν BT, ΓΔ] BIA p. 18. NTZ] NZT p. περ ἔδει δεῖξαι] om. p. DE SECTIONE CYLINDRI. 15 que 05? : $ 3? — NT?: ZQ?. quare etiam, ut OX ad diametrum coniugatam € P, iia etiam NT ad diametrum coniugatam Σ᾽ δ. uerum etiam ad aequales angulos secare ΟΞ rectam GO I" οἱ NT rectam 2/9, manifestum est; nam rectas Vd, (Ὁ Σ' inter se rectae- que MP parallelas MO secat. itaque sectio OX seclhio NZ T similis est [def. 8]. et neutra earum eirculus est, quia sectio contraria non est, cum LA4BZ siue [L BTN angulo BI'/ inaequalis smit. ergo utraque sectio O 5,3, NT ellipsis est, et inter se similes sunt; quod erat demonstrandum. XXIV. Cylindro dato conum inuenire et utrumque uno plano secare, quod per sectionem in utroque similes ellipses efficiat. datus sit cylin- drus, cuius basis sit A circulus, parallelo- grammum . autem per axem positum BI'ad basim per- pendiculare, produ- caturque B.4, quae- 5101 autem coni basis δ: aut 4 cireulus aut alius in eodem plano positus, quo 4, uelut circum EZ diametrum, in qua smt —— LI -— — r—————————————————— ———————————————————— À'W'P 'ÓÁÉ'—————————2À 16. κδ΄] κγ΄ mg. m.rec. V. 21, ὄν] om. c. 22. «óvov] p, toóvov V vc. 28. περί] V vc, ὁ περί p. 924. 4d] Z Yc, 4 xol ἐκβεβλήσθω ἡ EZ p. 25. enuslov τυχοντος] τυχόντος σημείου p. τοῦ H] om. p. Q 10 15 20 (6 ΠΕΡῚ KTAINAPOT ΤΟΜΗΣ. τῶν EH, ΗΖ μέδη ἀνάλογον ἡ ΘΗ, καὶ κέντρῳ τῷ H, διαστήματι δὲ ἤτοι μείξονε ἢ ἐλάττονι τοῦ ΗΘ γεγράφϑω ἐν τῷ BI' ἐπιπέδῳ περιφέρεια κύκλου ἡ K A, καὶ διὰ τοῦ Θ ταῖς πλευραῖς τοῦ ΒΓΓ παράλληλος ἤχϑω ἡ ΘΜ, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ ME, MZ, MH, καὶ τῇ ΜΗ͂ παράλληλος ἤχϑω τέμνουσα τὸ τρίγωνον καὶ τὸ παραλληλόγραμμον ἡ NA. ἐὰν δὴ διὰ τῆς NÀ διαγάγωμεν ἐπίπεδον κατὰ τὸν ὑποδειχϑέντα τρόπον, ἔσται ἣ τομὴ ὁμοία ἐν ἑκατέρῳ, δεῖξις δὲ ἡ αὐτὴ τῷ πρὸ τούτου. ὅτι δὲ καὶ ἐλλείψεις αἴ τομαὶ καὶ οὐχὶ κύκλοι, δῆλον" τὸ γὰρ ἀπὸ τῆς MH ἤτοι μεῖξον κατε- σκευάσϑη ἢ ἔλαττον τοῦ ἀπὸ τῆς HO, τουτέστι τοῦ ὑπὸ τῶν EH, ΗΖ. κε΄. Ἔστω εὐθεῖα ἡ AB τετμημένη κατὰ τὸ Γ᾽ καὶ 4, ἡ δὲ 4Γ τῆς 4B μὴ ἔστω μείξων. λέγω δή, ὅτι, ἐὰν τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνῳ ἴσον χωρίον παρὰ τὴν AT παραβάλω ὑπερβάλλον εἴδει τετραγώνῳ, ἡ πλευρὰ τοῦ ὑπερβλήματος μείξων μὲν ἔσται τῆς D, ἐλάττων δὲ τῆς ΓΒ. εἰ γὰρ δυνατόν, ὑποκείσϑω πρῶτον ἡ I'4 πλευρὰ εἶναι τοῦ ὑπερβλήματος. ἐπεὶ οὖν τὸ παρὰ τὴν 4Γ παραβαλλόμενον ὑπερβάλλον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΩ͂ τετραγώνῳ ταὐτόν ἐστι τῷ ὑπὸ τῶν 44Γ,, ἔστι δὲ τὸ παρὰ τὴν 1. ἀνάλογον] vcp, -νά- suppleuit m.rec. V. 8. γεγράφϑα] κύκλος γεγράφϑω p. ΒΓῚ ve, B corr. ex H m. 1 V, διὰ τοῦ BI'p. ὅ. ME] ME, MO Vcp; corr. Comm. 8. διαγά- your] διάγωμεν c? 10. τούτου] τοὐτούτου V. 14. κε΄ om. V. 15. Ante ἔστω add. ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηϑῇ κατὰ δύο σημεῖα, τὸ δὲ πρὸς τῷ ἑνὶ πέρατι τῆς εὐθείας τμῆμα μὴ μεῖξον ἡ τοῦ πρὸς τῷ λοιπῷ πέρατι τμήματος, τῷ δὲ ἀπὸ συν»- αμφοτέρου τοῦ τὸ μέσου τμήματος καὶ τοῦ λοιποῦ τετραγώνῳ .DE SECTIONE CYLINDRBI. riri centrum 7f, οὐ sumpto in ZH quolibet puncto H su- matur rectarum EH, HZ media proportionals 6 H, el centro H, radio autem &ut maiore aub minore quam H6 in plano BI' circuli arcus describatur K 4, per 6 autem lateribus parallelogrammi BI' parallela ducatur € M, ducanturque ME, MZ, MH, et .rectae MH parallela ducatur N,5 triangulum parallelogram- mumque secans. itaque si per [VÀ planum eo, quem significauimus, modo duxerimus, sectio in ulroque similis erit, demonstratio autem eadem, quae in prae- cedent. uerum etiam ellipses, non circulos, esse Secliones, manifestum est; nam M H* constructum est aut maius aub minus quam Η Θ᾽ siue EH »« HZ.) XXV. Sit recta 4B secta in I' et 71, ne sit autem ADI 4B. dico, & rectae A4I' adplicuerim spatium quadrato I'B? aequale figura quadrata excedens, latus excessus fore 7 ΓΖ, sed « ΓΒ. nam, si fieri potest, pri- 4 1 4 B mum supponatur I'4 latus excessus esse. quoniam igi- tur spatium rectae 41' adpliceatum quadrato ΓΖ) ex- cedens est 421 »« ΖΓ, uerum spatium rectae “ΑΓ 1) Si enim MH* — EH »« HZ, es& MEH ὦ MZH [Eucl. VI, 6] et | MEH — ZMH; sectio igitur contraria esset el, cireulus. ἶσον παρὰ τὸ μὴ usifov τμῆμα παραβληϑῇ ὑπερβάλλον εἴδει τετραγώνῳ, ἡ πλευρὰ τοῦ ὑπερβλήματος μείξων μὲν ἔσται τοῦ μέσου τμήματος, ἐλάττων δὲ συναμφοτέρου τοῦ τε μέσου καὶ τοῦ πρὸς τῷ λοιπῷ πέρατι τμήματος p. 16. δή] om. p. ἐάν] Cp, ἐὰν ἐν. Y. 18. παραβάλω] παραβληϑῇ p. 10 15 20 25 18 ΠΕΡῚ KTAINAPOT TOMBHZ. AT' παραβαλλόμενον ὑπερβάλλον εἴδει τετραγώνῳ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνῳ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν 4, AT ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνῳ. ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τοῦ ἀπὸ τῆς 414] οὐκ ἔλαττον" οὐ γὰρ ἐλάτ- τῶν ἡ 48 τῆς 4Γ οὐδὲ ἡ ΓΒ τῆς 42 καὶ τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν 44, 4Γ τοῦ ἀπὸ τῆς 44 τετραγώνου οὔκ ἐστιν ἔλαττον" ὕπερ ἀδύνατον. τὸ δὲ αὐτὸ δειχϑήσεται, εἰ καὶ ἐλάττων τῆς ΓΖ ὑποτεϑείη γίνεσϑαι ἡ πλευρὰ τοῦ ὑπερβλήματος. ἀλλὰ δὴ πάλιν ἔστω πλευρὰ τοῦ ὑπερβλήματος ἡ ΓΒ. ἔσται ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν 48, ΒΙΓ ἴδον τῷ xo τῆς ΓΒ τετραγώνῳ ὅπερ ἀδύνατον. τὸ αὐτὸ δέ, εἰ καὶ μείξων τῆς ΓΒ ὑποτεϑείη γίνεσϑαι ἡ πλευρὰ τοῦ ὑπερβλήματος. ἡ ἄρα πλευρὰ τοῦ ὑπερβλήματος μείξων ἔσται τῆς I'4, ἐλάττων δὲ τῆς ΓΒ. κα΄. Κυλίνδρου δοθέντος τετμημένου ἐλλείψει κῶνον συστήσασϑαι ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τοῦ κυλίνδρου ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα καὶ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τεμνόμενον καὶ ποιοῦντα ὁμοίαν ἔλλειψιν τῇ τοῦ κυλίνδρου ἐλλείψει. ἔστω ὃ δοϑεὶς κύλινδρος, οὗ βάσις μὲν ὃ περὶ τὸ A κέντρον κύκλος, τὸ ὃὲ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλό- γραμμον τὸ ΒΓ, ἐν à διάμετρος τῆς δοθείσης ἐλλεί- vysog ἡ E, ἥτις ἐκβληϑεῖσα συμπιπτέτω τῇ B.4 κατὰ τὸ Ζ, καὶ τῇ 42 διὰ τοῦ Γ παράλληλος ἤχϑω ἡ ΓΗ συμπίπτουσα τῇ B.4 κατὰ τὸ H, καὶ προσεκβεβλήσϑω ἡ 2410 εὐϑεῖα. 8. τετραγώνῳ] om. p. 8. εἰ καί] καὶ εἰ p. 11. ΓΒ] ΥῸΡ, corr. ex If m. 1 V. 12. τετραγώνῳ] om. p. αὐτό — DE SECTIONE CYLINDBI. (9 adplicatum figura quadrata excedens aequale est qua- drato I'B?*, erit 44 »5« 4I'— ΓΒ“. sed I'B? non minus est quam 4.275: neque enim Z1B « AI' nec ΓΒ « 424: quare eliam 44] »« 4I' non minus est quam 4 7f?; quod fieri non potest. idem autem demon- strabitur eliam, si supposuerimus, latus excessus fieri « ΓΖ. iam rursus I'B latus sit excessus. erit igitur AB »« BI'— ΓΒ"; quod fier non potest. idem aulem eliam, si supposuerimus, latus excessus fier 7 ΓΒ. ergo latus excessus erit — I'4, sed « ΓΒ. XXVI. Cylindro dato ellipsi secto conum construere in eadem basi cylindri et sub eadem altitudine, qui eodem plano secetur et ellipsim ellipsi cylindri similef efficiat. sit datus cylindrus, cuius basis sit circulus circum 4 centrum descriptus, parallelogrammum autem per axem positum BI in quo diametrus datae ellipsis 8t ΕΖ. quae producta cum B.4 in Z concurrat, rectae autem 42 parallela per I' ducatur ΓΗ͂ cum B.4 in H concurrens, producaturque recta Z4 6. quoniam igitur parallelogrammi 6H latus ZH lateri 6 I' aequale est, non est autem ΘΙΓ « BK, non es& ZH « BK. aque si spatium quadrato KH? —— — — — ——————— 18. καί] δ᾽ αὐτὸ xol si p. 18. ΓΒ] ΒΓ p. 16. ἔσται] μέν ἐστι p. 1717. xs'] xó' m. rec. V. 26. τῇ — ΓῚ διὰ τοῦ Γ τῇ 42 y. 28. 24Θ] Z4 p. 1 1 2 2 Ox 0 5 0 Qt 80 ΠΕΡῚ KTAINAPOT TOMHZ. ἐπεὶ οὖν τοῦ ΘΗ͂ παραλληλογράμμου ἡ ΖΗ πλευρὰ τῇ ΘΓ ἴση ἐστίν, ἡ δὲ ΘΓ τῆς BK οὔκ ἐστιν ἐλάτ- των, καὶ ἡ ΖΗ ἄρα τῆς BK οὔκ ἐστιν ἐλάττων. ἐὰν ἄρα τῷ ἀπὸ τῆς KH τετραγώνῳ ἴδον παραβάλλωμεν παρὰ τὴν BK ὑπερβάλλον εἴδει τετραγώνῳ. T) πλευρὰ τοῦ ὑπερβλήματος μείξων μὲν ἔσται τῆς ΚΖ, ἐλάττων δὲ τῆς KH διὰ τὸ προδειχϑέν. ἔστω τοίνυν ἡ ΚΑ πλευρὰ τοῦ ὑπερβλήματος, καὶ διὰ τοῦ 4 παράλληλος ἤχϑω τῇ ΗΓ ἡ AM, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ ΜΒ, ΜΚ, καὶ νενοήσϑω κῶνος. οὗ κορυφὴ μὲν τὸ M σημεῖον, βάσις δὲ ὃ 4 κύκλος, τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον δηλονότι τὸ ΒΚΜ. ἐὰν δὴ νοήσωμεν καὶ τὸν κῶνον τετμημένον τῷ ἐπιπέδῳ, ὑφ᾽ οὗ γέγονεν ἡ ΕΖ διά- μετρος τῆς τοῦ κυλίνδρου τομῆς, ἔσται καὶ ἐν τῷ κώνῳ τομή, ἧς διάμετρος ἡ NA. ἐπεὶ οὖν τῷ ἀπὸ τῆς KH τετραγώνῳ ἴσον παρὰ τὴν BK παραβέβληται ὑπερ- βάλλον τῷ ἀπὸ τῆς Καὶ τετραγώνῳ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν BA, AK τῷ ἀπὸ τῆς KH τετραγώνῳ ἴσον ἐστίν. ἐπεὶ οὖν αἱ 4B, ΚΓ παράλληλοι ἀλλήλαις εἰσίν, ἀλλὰ καὶ α 42. MA, ΓΗ παράλληλοί εἰσιν ἀλλήλαις, ὡς ἄρα ἡ 4Z πρὸς ΖΒ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς τὴν Η Κ' καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς 4Z πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ZB, οὕτως v ἀπὸ τῆς ΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς KH, τουτέστι τὸ dx) τῆς ΜΩ zxgóg τὸ ὑπὸ τῶν BA, AK. ἀλλ᾽ ὡς μὲν τὺ ἀπὸ τῆς 412 πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ZB, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς 1. ΘΗ] p, 64 Vc. 2. τῆς] p, τῇ Vc? BK) P. GK Vc. 8. καὶ ἡ — ἐλάττων] om. c. 4. παραβάλλωμεν) παραβάλωμεν p. 8. παράλληλος -- 9. HI'] τῇ ΗΤ' παραλλη- Aog ἤχϑω p. 10. νενοήσϑω] νενοείσϑω p, sed corr. in scrib. 11. 4] πρῶτος c. 17. τῆς] e corr. p. KA4] BK p. 19. ἀλλήλαις εἰσίν) εἰσιν ἀλλήλαις p. 21. τήν] om. p. 238. KH] NE p, bene. 24. MA] p, corr. ex MA m. 1 V, MAY, c. DE SECTIONE CYLINDRI. 81 aequale rectae BK adplcuerimus figura quadrata excedens, latus excessus erit »» KZ, sed « KH, propter propositionem praecedentem [prop. XXV] sit igitur K 4 latus excessus, et per 4 rectae HT' parallela ducatur 44M, duecanturque MB, MK, et fingatur conus, culus ueriex sib punctum M, basis autem 4 cireulus et tirangulus per axem positus BKM. ilaque si eliam conum eo plano sectum finxerimus, a quo effecta est diametrus sectionis cylndri EZ, in cono quoque erit sectio, cuius diametrus NA. quoniam igitur quadrato KH? aequale ad BK adplicatum est spatium quadrato K /f? excedens, erit B 4»« 4 K — ΚΗ". iam quoniam Z7/B, KI' inter se parallelae sunt, parallelae autem etiam 7/Z, M4, ΓΗ, erit 42: ZB - ΓΗ: ΗΚ [Eucl. I, 29; VI, 4]; quare etiam 423: ZB —- TH: KH* — MA: BA AK. uerum Ζ4Ζ: ZB! - ΕΖ"): BK? [Eucl. VI, 2; V, 18] siue quadratum diametri ellipsis cylindun Ez ad quadratum diametri coniugatae [prop. IX extr.], et ui MA4*: ΒΑ »« AK, ia quadratum diametri Serenus Antinoensis, ed. Heiberg. 6 89 ITEPI ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ. ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς BK, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς δια- μέτρου τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐλλείψεως τῆς ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συξυγοῦς διαμέτρου. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΜΑ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Β4, AK, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς δια- ὅ μέτρου τῆς τοῦ κώνου ἐλλείψεως πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συξυγοῦς διαμέτρου. καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐλλείψεως πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συΐζυ- γοῦς διαμέτρου, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς τοῦ κώνου ἐλλείψεως πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συξυγοῦς διαμέτρου. 10 καὶ ὡς ἄρα ἡ διάμετρος τῆς ἐλλείψεως τοῦ κυλίνδρου πρὸς τὴν συξυγῆ διάμετρον, οὕτως ἡ διάμετρος τῆς τοῦ κώνου ἐλλείψεως πρὸς τὴν συξυγῆ διάμετρον. καί εἶσιν αἱ δεύτεραι διάμετρον πρὸς ἴσας γωνίας ταῖς διαμέτροις᾽" ἀμφότεραι γὰρ παράλληλοί εἰσι ταῖς πρὸς 16 ὀρθὰς τῇ ΒΗ τῇ ZO καὶ τῇ 4Π. ἡ ἄρα τοῦ κώνου ἔλλειψις ὁμοία ἐστὶ τῇ τοῦ κυλίνδρου ἐλλείψει. καὶ γέγονεν ὑπὸ τοῦ αὐτοῦ ἐπιπέδου, καὶ συνέστη ὃ κῶνος ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῷ κυλίνδρῳ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος" ἅπερ ἦν τὰ ἐπιταχϑέντα. 20 κξ΄. Τὸν δοϑέντα κύλινδρον ἢ κῶνον δκαληνὸν δυνατόν ἐστιν ἀπὸ τοῦ ἑτέρου μέρους ἀπειραχῶς τεμεῖν δυσὶν ἐπιπέδοις μὴ παραλλήλως μὲν κειμένοις, ποιοῦσι δὲ ὁμοίας ἐλλείψεις. 2b ἔστω πρῶτον ὁ δοϑεὶς κύλινδρος δσκαληνός. οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ 4.8 πρὸς ὀρϑὰς ὃν τῇ βάσει τοῦ κυλίνδρου, καὶ ὑποκείσθω ἡ πρὸς τῷ 4 γωνία ót ὀξεῖα, καὶ διὰ τοῦ Γ' ἤχϑω κάϑετος ἐπὶ τὴν 4. BA] vp et V ita ut B litterae 4 similis sit; A44 c. 7. τοῦ — ἐλλείψεως | ἐλλείψεως τοῦ κυλίνδρου p. πρός — DE SECTIONE CYLINDRI. 83 ellipsis coni ad quadratum diametri coniugatae [Apollon. I, 13; prop. XVII]; quare etiam, ut quadratum diametri ellipsis cylindri ad quadratum diametri con- lugatae, iia quadratum diametri ellipsis coni ad quadratum diametri coniugatae. itaque etiam, ut- diametrus ellipsis cylindri ad diametrum coniugatam, 18 diametrus ellipsis coni ad diametrum coniugatam. et alterae diametri ad diametros aequales angulos effidunt; utraque enim rectis ZO et A41I ad BH perpendicularibus parallela est [prop. IX extr.]. ergo ellipsis coni ellipsi cylindri similis est [def. 8], et ab eodem plano effecta est, et conus in eadem basi constructus est ac cylindrus et sub eadem alti- tudine; quae proposita erant. XXVII. Fieri potest, ut datus eylindrus conusue scalenus ab altera parte in infinitum duobus planis secetur non parallelis, similes autem ellipses efficientibus. si primum datus cylindrus sealenus, cuius parallelogrammum per axem positum sii 4 B ad basim cylindri perpendiculare, supponaturque angulus ad 4 positus acutus, et per I'ad latus 471 perpendicularis dueatur ΓΖ; ΓΖ igitur minima est omnium, quae inter parallelas 44. ΓΒ cadunt. sumantur ad utram- que partem puncti 4) rectae aequales EZ, ZZ, 8, διαμέτρου (pr)] p, om. Vc. 11. ἡ Peiequi pe, corr. ex τὴν διάμετρον m. 1 , διάμετρος v. 18. δεύτεραι] p, δεύτεροι Ve 14. ταῖς] p, τὰς Vc. 20. »£'] κε΄ mg. m. rec. V ὀρθάς] ὀρθαί p. 65 δι 10 15 20 25 84 ΠΕΡῚ KTAINAPOT TOMBHZ. A4 πλευρὰν ἡ DI: ἐλαχίστη ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ πασῶν τῶν ταῖς 44, ΓΒ παραλλήλοις ἐμπιπτουσῶν. εἰλήφϑο- σαν ἐφ᾽ ἑκάτερα τοῦ 4 ἴσαι εὐθεῖαι αἱ Ez, AZ, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ ΕΤΙ, ΓΖ' ἴση ἄρα ἡ ΕΓ τῇ ΖΓ. ἐὰν οὖν κατὰ τὸν παραδεδομένον τρόπον ἀγάγωμεν διὰ τῶν ΓΕ, ΓΖ ἐπίπεδα, τεμεῖ τὸν κύλινδρον. τεμνέτω καὶ ποιείζω τὰς EHI, ΖΘΓΓ ἐλλείψεις. λέγω δή, ὅτι ὅμοιαί εἶσιν. ἐπεὶ γάρ, ὧς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς I'4, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΙΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ, ἀλλὰ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ͂ ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓΓ διαμέτρου τῆς τομῆς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἑαυτῇ συξυγοῦς διαμέτρου, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΖΓ πρὸς 10 ἀπὸ τῆς D'4 ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΖΓ διαμέτρου τῆς τομῆς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συξυγοῦς ἑἕαυτῇ διαμέτρου, καὶ ὡς ἄρα ἡ EI' διάμετρος πρὸς τὴν ἑαυτῇ συξυγῆ διά- μέτρον, οὕτω καὶ ἡ ΖΓ διάμετρος πρὸς τὴν ἑαυτῇ συξυγῆ διάμετρον. ἀλλὰ καὶ πρὸς ἴσας γωνίας τέμ- ψονται ἐν ἑκατέρᾳ oí διάμετροι, ὡς ἐδείχϑη πολλάκιθ᾽ ὅμοιαι ἄρα ἀλλήλαις εἰσὶν αἱ ΕΗ͂Γ,, ΖΘΓ ἐλλείψεις. κἂν ἑτέρας δὲ ἀπολάβῃς ἴσας εὐθείας παρ᾽ ἑκάτερα τοῦ Zi, συστήσονται πάλιν ἕτεραι δύο ἐλλείψεις ὅμοιαι ἀλλήλαις. ἐπισημαντέον δέ, ὅτι ἐπὶ τοῦ κυλίνδρου ἀνάγκη τὰς ἐκ τοῦ αὐτοῦ μέρους ὁμοίας καὶ ἴσας εἶναι διὰ τὸ 4. ΖΓ ΓΖρΡ. Ἰ.ἘΗΓΊΓΗΕΡ. 10. ΓΑ (pr)] Ρ' A e corr. m. 1 litterae 41 similem V, ΓΖ vc. 11. ἐστι] om. p. 12. τῆς τομῆς] ἐστί p. 18. ἑαυτῇ] V?, ἑαυτοῦ cp. δια- μέτρου] om. p. 14. ἐστι) om. p. τῆς τομῆς] ἐστί p. — 15. διαμέτρου] om. p. 16. διάμετρον] om. p. 18. διάμετρον] om. p. γωνίας] p, Τ' ἴσας V, [ἴσας c. 19. ἐν] V, om. cp. - am HEER. -- , DE SECTIONE CYLINDRI. 85 dueanturque ΕΓ΄ ΓΖ; itaque ΕΓ — ΖΓ [Eucl. I, 4]. si igitur ita, ut traditum est, plana per ΓΕ, ΓΖ duxerimus, cylindrum secabunt. secent efficiantque ellipses EHI', ZOI* dico, eas similes esse. quoniam enim EI*":D4? — ZI?:D4? [Eucl. V, 1], et EI*?:I4?* est ratio quadrati dia- metiri sectionis EI' ad quadra- tum diametri cum ea coniugatae, ZI"*:ID4* autem — quadrati diametri sectionis ZI' ad quadratum diametri cum ea coniugatae [prop. IX exir.], erit etiam, ut diametrus EI'ad diametrum cum ea coniugatam, ita ZI' dia- metrus ad diametrum cum ea coniugatam. uerum etiam ad aequales angulos diametri in utraque secantur, ut saepe demonstratum est. ergo ellipses EHT; Z6T' inter se similes sunt [def. 8]. eL eliam, si alias rectas aequales ad utramque partem puncti z/ absumpseris, rursus aliae duae ellipses inter se similes construentur. notandum autem, in cylindro ellipses ex eadem parte similes necessario etiam aequales esse, quia ratio diametrorum ad eandem rectam 4I" eadem est. — ἑκατέρᾳ] ἑκάτεραι Vcp. 2428. Post ἀλλήλαις add. καὶ τοῦτο π᾿ ἄπειρον p. 26. διά] vcp, -« euan. V. 10 15 20 2 ex 86 ΠΕΡῚ ETAINAPOT TOMBE. τὸν λόγον εἶναι τῶν διαμέτρων τὸν αὐτὸν πρὸς τὴν αὐτὴν τὴν AI. Ἔστω δὲ νῦν ὁ δοϑεὶς κῶνος σκαληνός, οὗ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ 41Β Γ πρὸς ὀρϑὰς ὃν τῇ βάσει τοῦ κώνου, καὶ ἔστω ἡ 4B τῆς 4Γ μείξων, καὶ περι- γεγράφϑω κύκλος, καὶ ἤχϑω διὰ τοῦ 4 τῇ ΒΓ παρ- ἄλληλος ἡ 4 4 δηλονότι τέμνουσα τὸν κύκλον, καὶ τῆς 4A περιφερείας δίχα τμηϑείσης κατὰ τὸ E εἰλήφϑω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς AE περιφερείας τὸ Z, καὶ ἤχϑω παράλληλος τῇ 444 ἡ ZH, καὶ ἐπιξευχϑεῖσα ἡ μὲν ZA συμπιπτέτω τῇ ΒΓ κατὰ τὸ 0, ἡ δὲ HA κατὰ τὸ K' ὡς ἄρα ἡ AK πρὸς τὴν KH, οὕτως ἡ A40 πρὸς τὴν ΘΖ. ἀλλ᾽’ ὡς μὲν ἡ AK πρὸς τὴν ΚΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς 44K πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν HK, KA, ὡς δὲ ἡ 40Θ πρὸς τὴν ΘΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς A460 πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν 40, OZ: ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς AK πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΗΚ, ΚΑ, τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν BK, KI, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς 41 πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ZO, 0 4, τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν BO, OI. ἐὰν οὖν διαγάγωμεν εὐθείας παραλλήλους τῇ μὲν ΑΚαὶ τὴν AM, τῇ δὲ 40 τὴν AN, καὶ 0 αὐτῶν ἀχϑέντα ἐπί- πεδα τέμῃ τὸν κῶνον, ὁμοίας ἐλλείψεις ποιήσει. ἐπεὶ γάρ, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς AK πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν BK, KI, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς 4€ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΘ, OI, ἀλλ᾽ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ τῆς A4K πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν BK, 1. τὸν αὐτόν] τῶν αὐτῶν c. 8, δέ] δή p. — 5. vie] P^ τῇ Vc. 7. Ànte 414 del. τὸν δοϑέν c. 183. ΘΖ] Z9 p». 16. 40, ΘΖ] ΖΘ, ΘΑ p. 17. ózó] corr. ex ἀπό m. 1 P. τουτέστι — 18. KI'] om. p. 19. τουτέστι — 6G T'] ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς AK πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν HK, KA, τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν BK, KI οὕτω τὸ ἀπὸ τῆς 4Θ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν 2, DE SECTIONE ΟΥ̓ΙΝΌΒΙ. 81 Iam uero datus conus scalenus sit, cuius triangulus per axem ductus sib 4BI' ad basim coni perpen- dicularis, sitque 44 B 7 AT, et cireumscribatur circulus, ducaturque per 4 rectae BI' parallela 4471 circulum Secans, eb arcu 2/44 in E in duas partes aequales seco in arcu Z/E sumatur punctum aliquod Z, dueaturque ZH rectae 71.4 parallela, et ducta ΖΑ͂ cum BI' concurrat in O, H.4 autem in K; itaque AK: KH — 40: ΘΖ [Eucl. VI, 4; V, 18]. est autem AK: KH — AK! : HK 5 KA el 40: ΘΖ — 40? : 40 »« OZ. qure 4K*: HK»« K A — 40* : ZO»« ΘΑ͂ sue 4K*: BK»« KI'— 40*: BO»5« GT'[Eucl.IIT, 36]. itaque si duxerimus ΔΜ rectae 4K parallelam, ΜΝ aulem rectae 410, et plana per eas ducta conum secuerint, similes ellipses efficient. quoniam enim AK? : BK »« KT' — 40?: BO »« OI, et ut AK*: BK »« KT, 84, τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν BO, ΘΓ p. 22. τέμῃ] τεμεῖ c. 24, ΒΘ] Θ e corr. c. ΘΓΊῚ corr. ex HI'c. 88 ΠΕΡῚ KTAINAPOT TOMBHZ. ΚΙ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς 4M διαμέτρου τῆς ἐλλείψεως πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συξυγοῦς ἑαυτῇ διαμέτρου, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς 43 πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν BO, OI', οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΝ διαμέτρου τῆς ἐλλείψεως πρὸς τὸ ἀπὸ 5 τῆς συξυγοῦς ἑαυτῇ διαμέτρου, καὶ ὡς ἄρα ἡ 4M διάμετρος πρὸς τὴν συξυγῆ διάμετρον, οὕτως ἡ NA διάμετρος πρὸς τὴν συξυγῆ διάμετρον. αἱ ἄρα ΑΜ, AN ὁμοίων ἐλλείψεών εἰσι διάμετροι" ὅπερ ἔδει δεῖξαι. κἂν ἑτέρας δὲ τῇ ΖΗ παραλλήλους ἀγάγωμεν, ὡς 10 τὴν ΞΟ, καὶ ἀπὸ τῶν E καὶ O ἐπὶ τὸ 4 ἐπιξεύξαντες ἐκβάλωμεν ἐπὶ τὴν BO, καὶ ταῖς ἐκβληϑείσαις παραλ- λήλους ἀγάγωμεν ἐν τῷ τριγώνῳ. συστήσονται πάλιν ἕτεραι δύο ἐλλείψεις ὅμοιαι ἀλλήλαις, καὶ τοῦτο ἐπ᾽ ἄπειρον" ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 16. κη΄. Τὸν δοϑέντα κύλινδρον σκαληνὸν ἢ κῶνον δυνατόν ἐστιν ἀπὸ τῶν ἀντικειμένων μερῶν ἀπειραχῶς τεμεῖν δυσὶν ἐπιπέδοις καὶ ποιεῖν ἐλλείψεις ὁμοίας. ἔστω πρῶτον ἐπὶ τοῦ κυλίνδρου δεῖξαι, καὶ κείσθω 20 ἡ αὐτὴ καταγραφὴ τῇ πρότερον, καὶ τῇ 414 ἴση ἔστω ἡ ΔΗ" ἴση ἄρα ἡ I4 τῇ ΗΓ. ἐπεὶ τοίνυν ἡ ἀπὸ τοῦ 4 ἐπὶ τὴν ΓΒ ἀγομένη εὐθεῖα μείξων ἐστὶν ἕκα- τέρας τῶν 4Γ, ΓΗ καὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Γ μεταξὺ τῶν H, 44 σημείων πιπτουσῶν, δῆλον, ὡς, ἐὰν ἐκ τῶν 25 ἀντικειμένων μερῶν ἀγάγωμεν δύο εὐϑείας ἴσας ἀλλή- λαις, ἡ ἀπὸ τοῦ Γ' ἀγομένη ὑπερπεδεῖται τὸ Η. ἤχϑοω- 1. ἐλλείψεως] ἐλλεί) c. 4. AN] AN Vop, corr, Comm. 6. συξυγῆ)] συξυγῆ ἑαυτῇ p. — 7. συξνγῆ] συξυγῆ éavej p. 8. ὅπερ ἔδει δεῖξαι) om. p. ἔδει! ἔ c. 10. καί(α}}.}] om.p. 11. ἐκβάλωμεν] cp, ἐκβάλλωμεν 18. ἕτεραι) p, ἕτεροι Vc. 14. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] om. p. 16. «m'] xs mg. m. rec. V. DE SECTIONE CYLINDBI. 89 iia quadratum diametri ellipsis 4M ad quadratum diametri cum ea coniugatae, ut autem 40? : BO »« OT, τὰ quadratum diametri elhpsis 4N ad quadratum diametri cum ea coniugatae [ Apollon. T, 13; prop. XVII], ert eliam, ut 4M diametrus ad diametrum con- iugatam, ita N 4 diametrus ad diametrum coniugatam. ergo 4 M, A4 NN diametri sunt ellipsium similium [def. 8]; quod erat demonstrandum. eb etiam, si alias rectas rectae ZH parallelas duxerimus, uelut ,$0, et ab A, O ad .4 ductas rectas ad BO produxerimus produetisque parallelas in irnangulo duxerimus, rursus aliae duae ellipses inter se similes construentur, et hoc in infinitum; quod erat demonstrandum. XXVIII. Fieri potest, ut datus cylindrus conusue scalenus a partibus oppositis m infinitum duobus planis secetur, et ellpses similes efficiantur. primum $it in cylindro demonstrandum, ponaturque eadem figura, quae antea, K el sit 4 H — 447; aque TJ ΓΑ -— HI [Ἐπ]. I, 4]. Ζ quoniam igitur recta ab 4 e 4 ad I'B ducta maior est utraque A41, ΓΗ͂ omnibus- que, quae a Γ᾽ inter puncta H, A4 cadunt, adparet, &i à partibus oppositis duas rectas inter se aequales duxerimus, rectam a I' ductam extra H casuram esse. B 90 ΠΕΡῚ KTAINAPOT ΤΌΜΗΣ. σαν οὖν ἐκ τῶν ἀντικειμένων μερῶν αἱ 40, I'K ἴσαι οὖσαι ἀλλήλαις, δι’ ὧν ἐὰν ἀχϑῇ ἐπίπεδα ποιοῦντα ἐλλείψεις, ἔσται, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΘΑ͂ διαμέτρου τῆς ἐλλείψεως πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 4I, τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ 5 τῆς συξυγοῦς ἑαυτῇ διαμέτρου, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΚΓ διαμέτρου τῆς ἐλλείψεως πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς AI, τουτ- ἔστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς KI' διαμέτρου τῆς ἐλλείψεως πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συξυγοῦς διαμέτρους αἱ ἄρα KT, 4 διάμετροί εἰσιν ὁμοίων ἐλλείψεων. 10 ΚΚείσϑω πάλιν ἡ καταγραφὴ τοῦ κώνου. καὶ éx- βληϑείσης τῆς ΓΒ ἐπὶ ϑάτερα δέον ἔστω ἀπ’ ἀμφοτέ- ρῶν τῶν μερῶν ἀγαγεῖν ἐπίπεδα ποιοῦντα ὁμοίας ἐλλείψειο. διήχϑω τις εἰς τὸν κύκλον εὐθεῖα παράλληλος τῇ 1ὅ BI' ἡ ΠΡ, καὶ ἐπιξευχϑεῖσαι αἴ AII, AP ἐκβεβλή- σϑωσαν ἐπὶ τὰ Σ, T σημεῖα᾽ ὡς ἄρα ἡ 4 πρὸς τὴν ZII, οὕτως ἡ 4T πρὸς τὴν TP. καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς 4X πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν 42Σ, ZI, τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΣ,, ZB, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς A4 T πρὸς τὸ 20 ὑπὸ τῶν AT, TP, τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν BT, TI. ἐὰν ἄρα ταῖς 21.4, A T παραλλήλους εὐθείας ἀγάγωμεν ἐν τῷ τριγώνῳ, ὡς τὰς BT, I'D, καὶ δι᾽ αὐτῶν ἐπί- πεδα ποιοῦντα ἐλλείψεις. ἔσονται διὰ τὰ πολλάκις εἰ- ρημένα αἱ BT, ΓΦ εὐϑεῖαι ὁμοίων ἐλλείψεων διά- 26 μετροι. Καὶ φανερόν, ὅτι τῇ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ μέρους τῶν ὁμοίων ἐλλείψεων συξυγίᾳ γίνεταί τις ὁμοία ἀπὸ τῶν ἀντικειμένων μερῶν ὁμοίων ἐλλείψεων συξυγέα, ἀντι- 9. ἐπίπεδα] ἐπίπεδον c. 5. συξυγοῦς] συξ7οῦς V. 6. διαμέτρου τῆς ἐλλείψεως} euan. P. τουτέστιν] τουτέστι p. 3. ὡς — ἐλλείψεως) om. p. 8. συξυγοῦς] -o- e corr. m. 1 V, . DE SECTIONE CYLINDRI. 91 ducantur igitur à partibus oppositis 4409, ΓΙ inter se aequales, per quas si plana ducuntur .ellipses efficientia, erit, ut quadratum diametri ellipsis ΘΩ͂ ad 41" siue ad quadratum diametri cum ea coniugatae [prop. IX extr.], iià KI?:.4I" siue quadratum dia- meiri ellipsis KI'ad quadratum diametri coniugatae. ergo KI', 46 diametri sunt ellipsium similium. Rursus ponatur figura coni, ei producta ΓΒ ad alteram partem oporteat ab utraque parte plana ducere similes ellipses efficientia. ducatur in cireulum recta aliqua ΠΡ rectae ΒΓ parallela, οὐ ductae 4471, A4P producantur ad puncta Z, T; itaque 42: ZII— AT: TP [Eucl. VI, 2; V, 18]. quae etiam 442?: 42 »« ZII — A41": AT»« TP gue 4 X?: Z2 5« ZB — AT? : BT» TT | Eucl. 11,36]. ilaque si rectis Z4, 44 T' parallelas rectas in triangulo duxerimus, ut BT, ΓΦ. et per eas plana ellipses efficientia, rectae B T, I'd propter ea, quae iam saepe diximus, diametri similium ellipsium erunt. Et manifestum est, pari similium ab eadem parte elhipsium simile existere par similium ἃ partibus oppositis elhpsium, sed quod diametros in contraria raüone diametrorum habeat. nam si in figura cylindri construxerimus I'4£? : 46? sue D: DK! Ξε EI?:I siu ΓΖἧ: ΓΑἅΑ͂', erit, συζυγοῦς ἑαυτῇ -Ῥ. 11. δέον] p, δὲ ὄν V, ὃ ὄν c. ἀπ», ἀ- e corr. m. 1 V, ἐπ᾽ vc. 12. ἐπίπεδα] ἐπί- euan. c. 16. τήν) om. p, sed lin. 17 habet. 18. Σ ΠῚ ET' c. 20. πρός] om, p. 21. παραλλήλους] παραλλήλο p. 26. τῇ] om. c. 27. ἀπό] Halley, om. Vc, £x p. 28. μερῶν] cp, μέρος v, om, H add. ^ m. 1, cui signo in mg. nunc quidem nihil re- spondet, 10 15 20 .92 ΠΕΡῚ KYAINAPOT TOMHE. πεπονϑυίας μέντοι τὰς διαμέτρους ἔχουσα ταῖς δια- μέτροις. ἐὰν γὰρ ἐπὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου καταγραφῆς κατα- δσκευάσωμεν. ὡς τὸ ἀπὸ τῆς EI ἢ τῆς ΓΖ πρὸς v0 ἀπὸ τῆς ΓΑ͂, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς I4 πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 40 ἢ τῆς ΓΚ, γενήσεται, ὡς τὸ ἀπὸ ἑκατέρας τῶν ΕΙ͂,, ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ͂. τουτέστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῶν ὁμοίων ἐλλείψεων τῶν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ μέρους ἠγμένων πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας συξυγοῦς διαμέτρου. οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ͂ πρὸς τὸ ἀπὸ ἑκατέρας τῶν 4Θ. ΓΚ, τουτέστιν οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας διαμέτρου τῶν ἀπὸ τῶν ἀντικειμένων ἠγμένων ὁμοίων ἐλλείψεων πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συξυγοῦς διαμέτρου" ὡς ἄρα τῆς ἑτέρας συξυγίας. ἡ διάμετρος πρὸς τὴν δευτέραν διάμετρον, οὕτως τῆς ἑτέρας συξυ- γίας ἡ δευτέρα διάμετρος πρὸς τὴν διάμετρον. Ἐπὶ δὲ τοῦ κώνου, ἐὰν πάλιν κατασκευάσωμεν, ὡς τὴν H4 πρὸς ΑΚ, οὕτως τὴν AII πρὸς τὴν ΠΣ, ἔσται, ὧς ἡ “Καὶ πρὸς τὴν KH, οὕτως ἡ ΠΣ πρὸς τὴν 2.4, τουτέστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς 4 K πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν HK, KA, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΠΣ, Z4 πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 42. ἀλλ᾽ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ τῆς AK πρὸς 10 ὑπὸ τῶν HK, ΚΑ, τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν BK, KI, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῶν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ 1. ἔχουσα] ἔχουσαι p. 8. ἐάν) -ὧν euan. c. 5. οὕτωρ) οὕτω c. οὔτως — 0. A] ins. inras. p. 6. ἑκατέρας] Halley, ἑκατέρων Vcp. 12. τῶν ἀπό] scripsi, om. Vcp, ἀπὸ Halley. ἀντικειμένων) ἀντικειμένως p. 17. τοῦ] cp, om. V. 18. AK] τὴν AK p. οὕτως — πρός] euan. p. 19. ἔσται] cp. ἔς V, ἔστω v. 20. τό (a1t.)] corr. ex τῷ m. 1 c. — Hic οὖ in seqq. quaedam euan. p. 22. 42] ZA p. DE SECTIONE CYLINDRI. 93 ut EI? uel DZ? ad ΓΑ“, hoc est ut quadratum diametri ellipsium similium ab eadem parte ductarum Φ ad quadratum alte- rius diameiri con- iugatae, ita I'4* ad 460? uel DLK?, hoc est quadratum alterius — diametri elipsium similium & partibus opposi- iis ductarum ad quadratum diametri coniugatae. ergo ut allerius paris dia- meitrus ad alteram diametrum, ita al- lerius paris altera diametrus ad. dia- metrum. In cono autem, Si rursus construxe- rimus AII : IIX e H4: AK, erit AK: KH --ΠΣ: ΣΑ͂ [Eucl. V, 18] siue AK? : HK »« K A —]IIX2«24:42*. uerum ut Q 10 16 20 25 94. ΠΕΡῚ KTAINAPOT ΤΌΜΗΣ. μέρους ὁμοίων δύο ἐλλείψεων ἤτοι τῆς .4N ἢ τῆς AM πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας συξυγοῦς διαμέτρου, ὡς δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΠΣ, X4, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν I'Z, ZB, πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 24, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας δια- μέτρου τῶν ἀπὸ τῶν ἀντικειμένων μερῶν ἠγμένων ἐλλείψεων πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συξυγοῦς διαμέτρου. ὡς ἄρα τῆς ἑτέρας συξυγίας ἡ διάμετρος πρὸς τὴν δευτέ- ραν διάμετρον, οὕτως τῆς ἑτέρας συξυγίας ἡ δευτέρα διάμετρος πρὸς τὴν διάμετρον. Καὶ γέγονε φανερὸν ἐκ τούτων. ὅτι ἐν παντὶ μὲν κυλίνδρῳ καὶ κώνῳ συνίστανται δύο συξυγίαι ἐλλεί- veov ὁμοίων μὲν ἀλλήλαις, ἀντιπεπονθυίας δὲ τὰς διαμέτρους ἐχουσῶν. καὶ ὅτι παρὰ τὰς τέσσαρας ταύ- τας ἄλλη ὁμοία οὐ συνίσταται πλὴν τῶν παραλλήλων αὐταῖς ἀεὶ γὰρ αἱ παράλληλοι τομαὶ ὁμοίας ποιοῦσιν ἐλλείψεις, ἐὰν ποιῶσι" καὶ ὅτι ἐπὶ μὲν τοῦ κυλίνδρου ἡ διὰ τῆς ΓΗ͂ ἀγωγὴ τοῦ ἐπιπέδου ὑπεναντία τέ ἐστι καὶ xóxAov ποιεῖ τὴν τομήν, ἐπὶ δὲ τοῦ κώνου, ἐὰν διὰ τοῦ Α τοῦ κύκλου ἐφάπτηταί τις ὡς ἡ ΑΧ, διὰ τὸ εἶναι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΧ τῷ ὑπὸ τῶν BX, ΧΙ ἴσον ἡ διὰ τῶν τῇ AX παραλλήλων εὐθειῶν ἐν τῷ τριγώνῳ ἀγωγὴ τῶν ἐπιπέδων ποιήδει κύκλους" ὑπεναντία γάρ ἐστι καὶ αὐτή, ὡς τῷ προσέχοντι γίνεται καταφανές" καὶ ὅτι τῇ δοθείσῃ ἐλλείψει ἐν κυλίνδρῳ σκαληνῷ καὶ κώνῳ τρεῖς ὁμοίας ἄλλας ἔστιν εὑρεῖν, μίαν μὲν αὐτῇ τῇ δοθείσῃ σύξυγον, δύο δὲ ἑαυταῖς μὲν συξύγους, ταῖς ὃὲ λοιπαῖς ὁμοίας κατὰ ἀντιπεπόνϑησιν τῶν διαμέτρων᾽ — 1. 4M] M euan. p. 2. ὡς δέ] bis c. 6. ἐλλείψεων) om. c. 77. δευτέραν] p, om. Vc. 11. κώνῳ] κώνῳ σκαληνῷ Halley. 17. ἀγωγή] scripsi, ἀγωγῆς Vcp. 19. τοῦ κύκλου .DE SECTIONE CYLINDRI. 95 AK? : HK 5« K A sue AK? : BK »« KT' [Eucl. ΠῚ, 36], itàà quadratum diametri duarum ellipsium ab eadem parte similium aut ΖΝ aut 4M ad quadratum alierius diametri coniugaiae, et ut ΠΣ» Z4 siue DZ» ZB [Eu III, 86] ad Σ᾽ 45, ita quadratum alterius diametri ellipsiium ἃ partibus oppositis ductarum ad quadratum diametri econiugatae. ergo ut alterius paris diametrus ad alteram diametrum, ita allerius paris altera diametrus ad diametrum. Et ex his manifestum est, in omni ocylindro conoue duo paria ellipsium construi inter se similium, diametros autem in contraria proportione habentium, el praeter has quattuor nullam aliam construi similem praeter sectiones iis parallelas (semper enim sectiones parallelae similes ellipses efficiunt, si omnino efficiunt), οὐ in cylindro planum per ΓΗ͂ ductum contrarium esse οὖ sectionem efficere cireulum, in cono autem, & per 4 circulum contingat recta aliqua uelut 4X, plana per rectas rectae 4X in triangulo parallelas eireulos efficere, quia 4 X? — BX»« ΧΙ [Eucl. III, 36]; nam et ipsa contraria sunt, ut cogitanti adparet;!) el fieri posse, ut datae ellipsi m cylindro scaleno eonoque similes tres aliae inueniantur, una cum ipsa d&ia coniugata, duae autem inter se coniugatae, reliquis autem similes ita, ut diametri in contraria proportione sint; quare etiam fieri potest, ut datae 1) Quia BX: 4X — AX: XI', erit A ABX c» AI'X; itaque L TAX — ABX. — tig] ἐφάπτηταί τις τοῦ κύκλου Ῥ. 20. có(alt.)] p, τοῦ Vc. 21. τῇ] p, τῆς Vc. —— 20. 0o8clog] γον, -s[- euan. V. 96 ΠΕΡῚ KYTAINAPOT TOMBHZ. ὥστε καὶ τῇ δοϑείσῃ δυνατὸν τρεῖς ὁμοίας πορίδασϑαι" δεῖ δὲ τὴν δοϑεῖσαν μήτε ὑπεναντίαν εἷναι" ταύτῃ γὰρ οὐδεμία συνίσταται ὁμοία πλὴν τῶν παραλλήλων" μήτε τὴν διάμετρον αὐτῆς παράλληλον εἶναι τῇ διὰ ὅ τῶν E καὶ Α' ἀγομένῃ εὐθείᾳ ἐν τῇ καταγραφῇ τοῦ 10 1 2 2 Qx 0 Qx κώνου" μονήρης γὰρ καὶ αὕτη διὰ τὸ τὴν διὰ τοῦ E τῇ 44 παράλληλον ἀγομένην ἐφαπτομένην τοῦ κύκλου πίπτειν ἐκτὸς καὶ μὴ εἶναι τῷ E σημεῖον σύξυγον ὡς τῷ A τὸ O ὴἣ τῷ Z τὸ H. Περὶ μὲν οὖν τοῦ προτεϑέντος ἡμῖν προβλήματος ἀπὸ πλειόνων ἀρκείτω καὶ τὰ εἰρημένα, ὥρα δ᾽ ἂν εἴη μετελθεῖν, ἐφ᾽ ὅπερ ἀρτίως ἐπηγγειλάμην᾽ ἀφορμὴ δὲ μοι τῆς μελλούσης σκέψεως οὐκ ἄκαιρος, ἔστι δὲ ῆδε. Πείϑων ὃ γεωμέτρης ἐν συγγράμματι ἑαυτοῦ τὰς παραλλήλους ἐξηγούμενος, οἷς μὲν Εὐκλείδης εἶπεν, οὐκ ἠρκέσϑη, σοφώτερον δὲ δι’ ὑποδείγματος αὐτὰς ἐσαφή- vi6Gs* φησὶ γὰρ τὰς παραλλήλους εὐϑείας εἷναι τοιοῦτον, οἵας ἐν τοῖς τοίχοις ἢ τῷ ἐδάφει τὰς τῶν κιόνων σκιὰς ὁρῶμεν ἀποτελουμένας ἤτοι λαμπάδος τινὸς ἀπ᾽ àv τικρὺ καιομένης ἢ λύχνου. τούτων ὃὲ εἰ καὶ πᾶσι πλεῖστον παρέχει κατάγελων., ἀλλὰ ἡμῖν οὐ καταγέλα- στον αἰδοῖ τοῦ γεγραφότος" φίλος γὰρ ἁνήρ. ἀλλὰ δκεπτέον, ὅπως τὸ τοιοῦτον ἔχει μαϑηματικῶς" οἰκεία ὃὲ ἡ σκέψις τοῖς ἐνταῦϑα προτεϑεωρημένοις" δι᾽ αὖ- τῶν γὰρ ἀποδειχϑήσεται τὸ προκείμενον. 6. μονήρης] μῦνήρης V. 9. τῷ (pr)] corr. ex τό m. 1 c. N|vep, corr. ex Z m. 1 V. 12. ἀρτίως] cp, -o- e corr. Y, ἀντίως v. 18. μοι] om. p. 14. iiw -v euan. p. 1. τοιοῦτον] Vc, τοιαύτας p? 18. οἵας] euan.p. 280. τούτων] Vc, DE SECTIONE CYLINDBI. 9T ellipsi tres similes inueniantur; oportei autem, datam elipsim neque contrariam esse (huic enim similis nulla construitur praeter parallelas), neque diametrum elus rectae per E et .4 in figura coni ductae parallelam esse; nam haec quoque singularis est, quia recta per E rectae 471 parallela ducta extra circulum cadit, quippe quae eum contingat, nec punctum est cum E coniugatum ut O cum XA uel H cum Z. De problemate igitur nobis proposito e pluribus iam ea sufficiant, quae diximus, tempus autem fuerit ad id transgredi, quod nuper [p. 58, 25] significaui; locus uero mihi ad hanc disquisitionem digrediendi non ineptus, est autem hic. Pitho geometra in opere quodam suo parallelas explicans iis, quae Euclides dixit, non contentus erat, sed per exemplum eas subtihus declarauit; dicit enim, parallelas rectas esse tale aliquid, quales umbras columnarum in muris uel in solo effici uidemus face uel lumine e parte opposita ardente. haec irridendi eisi omnibus oecasionem praebet plurimam, nobis eerte irridendum non est propter reuerentiam scriptoris; homo enim amicus. sed uidendum, quomodo hoc mathematice se habeat. et quaestio est ab iis non aliena, quae hic praemissa sunt; nam quod proposuimus, per ea demonstrabitur. τοῦτο p. 21. πλεῖστον] πλεῖ πλεῖστον V. ἡμῖν] vcp, -tv euan. V. 22. ἁνήρ] ἀνήρ V, ὁ ἀνήρ c. 26. ἀποδειχϑήσεται YCp, -ἤσε- e corr. (ex ἢ..) m. 1 V. Serenus Antinoensis, ed. Heiberg. (í 10 15 20 25 98 ΠΕΡῚ ETAINAPOT TOMHZ. x9". AL ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου κυλινδρικῆς ἐπιφανείας ἐφαπτόμεναν εὐθεῖαι κατ᾿ ἀμφότερα τὰ μέρη πᾶσαι x«9' ἑνὸς παραλληλογράμμου πλευρῶν τὰς ἐπαφὰς ποιοῦνται. ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσεις μὲν οἵ 4, B χύκλοι, ἄξων δὲ ἡ 48 εὐϑεῖα, καὶ εἰλήφϑω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ I', καὶ ἀπὸ τοῦ Γ' ἤχϑωσαν αἱ ΓΖ. ΓΕ εὐϑεῖαι ἐφαπτόμεναι τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφανείας ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κατὰ τὰ ΖΔ, E σημεῖα. λέγω, ὅτι và E, 4 τῶν ἐπαφῶν σημεῖα ἐπὶ μιᾶς εὐθείας ἐστί. κατήχϑω ἀπὸ τοῦ Γ᾽ σημείου ἐπὶ τὴν AB πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΖ, καὶ διὰ τῆς ΓΖ ἤχϑω ἐπίπεδον παράλ- ληλον τῷ τοῦ Α κύκλου ἐπιπέδῳ καὶ ποιείτω τομὴν ἐν τῷ κυλίνδρῳ τὸν περὶ τὸ Ζ κύκλον, ὥστε κύλιν- δρον ὑποστῆναι, οὗ βάσεις οἱ B, Z κύκλοι, ἄξων δὲ ἡ ΒΖ εὐϑεῖα. καὶ διὰ τῆς ΓΖ καὶ τοῦ ἄξονος ἐκ- βεβλήσϑω ἐπίπεδον ποιοῦν ἐν τῷ κυλίνδρῳ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος παραλληλόγραμμον τὸ HO, καὶ τῇ ΖΓ πρὸὺς ὀρϑὰς ἤχϑω ἡ ΓΚ ἐν τῷ τοῦ Ζ κύκλου ἐπιπέδῳ οὖσα, καὶ διὰ τῆς I'K καὶ ἑκατέρας τῶν ΓΖ, ΓΕ διεκβεβλήσϑω ἐπίπεδα τέμνοντα τὸν κύλινδρον καὶ ποιείτω διὰ τῆς τομῆς ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κυλίνδρου τὰς 44 M, NES γραμμάς, ἐν δὲ τῷ τοῦ παραλληλογράμμου ἐπι- πέδῳ τὰ AMI, NAI εὐθείας διάμετροι ἄρα τῶν 1. κϑ'] om. V. 6. βάσεις] p, βάσις Vc. 10. τά (pr)] p om.Vc. 14. 4 «óxAov| vc p, «xóx4ov V. 1. κυλίνδρῳ] xv|xv- Aévóoo c. τό] vcp, -ó e corr. m. 1 V. Z]p, 4Z Vvc. 17. BZ| p, ΓΖ Vc. 18. τό] p, τῷ Vc. 19. ΖΓ] ΓΖ οἵ 22. ποιείτω] p, corr. ex |eiro m. 2 V, εἴτω v, εἴ Toc DE SECTIONE CYLINDRI. 99 XXIX. Rectae ab eodem puncto superficiem cylindricam contingentes ab utraque parte omnes per latera unius parallelogrammi contingunt. sib cylindrus, cuius bases sint circuh Α΄, B, axis autem recta 4B, οὖ sumatur extrinsecus punctum aliquod I, a I' autem ducantur rectae ΓΖ, ΓΕ superficiem cylindri ad eandem partem contingentes in punetis 77, E. dico, E et 7f puncta contactus in | una recta po- sila esse. ducatur a puneto Γ᾽ ad A B perpen- dicularis ΓΖ, et per ΓΖ planum duca- tur plano cir- cul 4 par- alelum effi- ciatque in cy- πάτο sectionem circulum circum Z descriptum, ita αἱ existat cylindrus, euius bases sint circuli B, Z, axis aulem recta ΒΖ. et per ΓΖ axemque planum dueatur in cylindro efficiens parallelogrammum per arem positum HO, ad ΖΓ autem perpendicularis ducatur I'K in plano cireuli Z posita, per I'K autem οἱ utramque ΓΖ, ΓΕ plana produeantur cylindrum Secantia efficiantque per sectionem in superficie eyindn lineas 4244M, NES, in plano autem par- q* 10 1ὅ 20 2b 100 ΠΕΡῚ KTAINAPOT TOMHZ. τομῶν εἰσιν ci 4M, N A εὐϑεῖαι. κατήχϑωσαν τοίνυν ἐπὶ vàg 4M, N A διαμέτρους αἱ 420, EII τεταγμένως καὶ προσεκβεβλήσϑωσαν ἐπὶ ϑάτερον μέρος τῆς ἐπιφα- νείας κατὰ τὸ P καὶ Σ. ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται τῆς AAMP γραμμῆς ἡ ΓΖ κατὰ τὸ 4. καὶ δέδεικται ἡ τοιαύτη τοῦ κυλίνδρου τομὴ ἔλλειψις οὖσα, ἀλλ᾽ οὐ κύκλος, καὶ κατῆκται τεταγμένως ἡ 40, ὡς ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΜ, οὕτως ἡ 40 πρὸς τὴν ΟΜ, ὡς δέ- δεικται τῷ ᾿Απολλωνίῳ ἐν τῷ α’ τῶν Κωνικῶν. καὶ διὰ τὰ αὐτά, ὡς ἡ NI' πρὸς τὴν ΓΗ͂, οὕτως ἡ NII πρὸς τὴν ΠΗ͂. ἐπεὶ δὲ ἡ NH τῇ OM παράλληλός ἐστιν, ὧς ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΜ, οὕτως ἡ NT πρὸς τὴν ΓΙ καὶ ὡς ἄρα ἡ 40 πρὸς τὴν ΟΜ, οὔ- vog ἡ NII πρὸς τὴν ΠΙΙ ἡ ἄρα τὰ II, O σημεῖα ἐπιξευγνύουσα εὐθεῖα ἐν τῷ HO ἐπιπέδῳ ἐστὶ καὶ παράλληλος ἑκατέρᾳ τῶν ΒΑ. ΘΜ. καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν 40, EII τῇ ΓΚ παράλληλός ἐστιν, αἱ 40, ΕΠ ἄρα καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι. ἐὰν δὴ διὰ τῶν 40, EII εὐθειῶν ἀχϑῇ ἐπίπεδον, τεμεῖ τὸ OH παρ- αλληλόγραμμον κατὰ τὴν OII γραμμήν. καὶ ἔσται v0 IIEAO ἐπίπεδον παράλληλον ἐπιπέδῳ τινὶ τῶν διὰ τῆς ΒΑ ἀγομένων καὶ τεμνόντων τὸ HO: τὸ ἄρα IIEAO ἐπίπεδον τομὴν ποιήδει ἐν τῷ κυλίνδρῳ παρ- αλληλόγραμμον, ὡς ἐδείχθη ϑεωρήματι τρίτῳ. καί ἐστιν ἡ ΕΖ γραμμὴ κοινὴ τομὴ τοῦ ΠΕΖ41Ο ἐπιπέδου καὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου ἐπιφανείας" ἡ Ez ἄρα εὐϑεῖά ἐστι καὶ πλευρὰ τοῦ παραλληλογράμμου. ὁμοίως δὴ δείκνυται καὶ ἐπὶ πασῶν τῶν ἐφαπτομένων, καὶ ὅτι 2. ΕΠῚ PII c. 4. τό] Vc, τά p. 5. 44MP] c, P obscura in V, 44 ME v, A44 M p. τὸ 4, καὶ δέδεικται] ab- sumpserunt uermes in p. 9. τῷ (pr)] om. p. α΄] πρώτῳ c. DE SECTIONE CYLINDRI. 101 allelogrammi rectas 4MI',; NAI; rectae igitur AM, ΝΕ diametri sunt sectionum. iam ad diametros AM, NJ ordinate ducantur Z0, ἘΠῚ producanturque ad alteram partem superficiei ad P, 2. quoniam igitur ΓΖ lineam 421 MP in 4 contingit, οὐ demon- Strauimus, eiusmodi sectionem cylindri ellhppsim esse, non circulum, ordinateque ducta est 2/0, erit AT: I'M — 40:0M, ui ab Apollonio demonstratum est in IL. libro Coni- corum [36]. eademque de causa NI: I'5— ΝΠ: ΠΗ. quonam aulem NH, ΘΜ parallelae sunt, erit ADT:ITM-—NI':I'X[Eucl VI, 2; V, 18]; quare eliam 40:0M — NII:1IA&. itaque recta puncta II, O coniungens in plano HO est parallelaque utrique B4, ΘΜ. et quoniam utraque 7/0, EII rectae ΓΚ parallela est, 240 et ΕΠ etam inter se parallelae sunt [Eucl. I, 30| si igitur per rectas 40, ΕΠ planum ducitur, parallelogrammum 6H secundum lneam OII secabit, planumque IJ1EZ(0O parallelum eri plano alicui eorum, quae per B.4 ducuntur et ΗΘ secant; planum igitur JE O0 sectionem efficiet 1n eylindro parallelogrammum, ut in prop. III de- monstratum est. et linea Ez1 communis esi sectio plani ΠΕ “10 cylindrique superficiei; itaque E44 recta est latusque parallelogrammi. iam eodem modo eliam in omnibus contingentibus demonsiratur, et Kovixàv] κωνικῶν 1s" ϑεωρήματι p. 14. σημεῖα] om. p. 18. εἰσὶ παράλληλοι] παράλληλοί εἰσιν p. 19. ΘΗ] ΗΘ p. 24. ϑεωρήματι τρίτῳ] ἐν θεωρήματι y" p. 26. κοινὴ τομή] Om. p. b 102 ΠΕΡῚ KTAINAPOT TOMBHZ. πάλιν ἐπὶ ϑάτερα μέρη αἱ ἁφαὶ κατὰ τὸ P καὶ 2 γίνονται καί εἰσιν ἐπὶ μιᾶς εὐθείας παραλλήλου τῇ ΕΖ. πᾶσαι ἄρα αἵ ἐφαπτόμεναι xo" ἑνὸς παραλληλο- γράμμου πλευρῶν τὰς ἁφὰς ποιοῦνται" ὃ προέκειτο δεῖξαι. λ΄. Τούτου δειχϑέντος ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ABI'4, καὶ παρὰ τὴν AB αὐτοῦ βάσιν ἤχϑωσαν αἵ ΕΖ, ΗΘ, καὶ εἰλήφϑω τι σημεῖον τὸ Καὶ μὴ ὃν ἐν τῷ 10 τοῦ παραλληλογράμμου ἐπιπέδῳ. καὶ ἐπιξευχϑεῖσαι αἵ 1ὅ 20 25 KE, KZ, KH, ΚΘ ἐκβληϑεῖσαι προσπιπτέτωσαν ἐπι- πέδῳ τινὶ παραλλήλῳ ὄντι τῷ 48 ΓΖ24 κατὰ τὰ 4, M, Ν, A σημεῖα. τὸ δὴ διὰ τῶν ΚΑ, EZ εὐϑειῶν ἐκ- βαλλόμενον ἐπίπεδον τεμεῖ καὶ τὸ ΛΜΝ ἐπίπεδον καὶ ποιήσει ἐν αὐτῷ κοινὴν τομὴν τὴν AM εὐϑεῖαν παράλληλον οὖσαν τῇ EZ: ὁμοίως δὲ καὶ τὸ διὰ τῶν ΚΝ, ΗΘ εὐϑειῶν ἐπίπεδον ποιήδει παράλληλον τὴν ΝΗ͂ τῇ ΗΘ. ἐπεὶ οὖν τὸ AKN τρίγωνον τέμνεται ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν 48ΒΓ24,.4Ν5Ξ. Μ, αἴ ἄρα κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσιν ἀλλήλαις, τουτ- ἔστιν ἡ NA τῇ ΗΕ’ διὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ ἡ EM τῇ ΘΖ παράλληλος. ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς τὴν K 4, οὕτως ἡ ΗΚ πρὸς τὴν ΚΝ. ἀλλ᾽’ ὡς μὲν ἡ ΗΚ πρὸς τὴν ΚΝ, οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς τὴν NÀ, ὡς δὲ ἡ EK πρὸς ΚΑ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΑΜ' καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΖ πρὸς τὴν AM, οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς τὴν NS. καὶ ἐναλλάξ' 4. ὃ προέκειτο δεῖξαι) om. p. 6. 21 om. V. 7. παρ- αλληλόγραμμον] vcp, -ov euan. V. 8. αὐτοῦ βάσιν] βάσιν αὐτοῦ p. 10. τοῦ] om. c. 12. παραλλήλῳ] vcp, -0o- corr. ex 4m.1 V. 18. σημεῖα] in hoc uocabulo des. p. 14. τεμεῖ — ἐπίπεδον] om. c. 4MN S] fort. 4MXN. | .DE SECTIONE ΟΥ̓ΠΙΝΘΗΙ. 103 rursus ex altera parte contactus in P, Σ' fieri et in una recia rectae Ef parallela positos esse. ergo omnes rectae contingentes per latera unius parallelo- grammi conüngunt; quod erai propositum. XXX Hoc demonstrato sit parallelogrammum 4.8 ΓΖ, el basi eius 4B parallelae ducantur EZ, HO, sumaturque punctum aliquod K in plano parallelo- grammi non positum, et ductae K E, KZ, KH, ΚΘ productae cum plano aliquo eoneurrant plano 48Β ΓΖ, parallelo in punctis 4, M, N, A. itaque planum per ΚΑ. EZ rectas ductum etiam planum 4MNA secabit efficietque in eo communem sectionem 74. M rectam rectae EZ parallelam [Eucl. XI, 16]; et eodem modo etiam planum per rectas ΚΝ, HO ductum efficiet NX rectae HO paralllam. quoniam igitur triangulus 4K N a planis parallelis 4BI'4, 4NM secatur, communes eorum secliones parallelae sunt [Eucl XI, 16], h. e. NA4 et HE; eadem de causa aulem eliam XM rectae ΘΖ parallela. — quare [Eucl VI, 2; V, 18] EK: ΚΑ — HK: ΚΝ. est autem HK: KN — ΗΘ: NES ei EK: KA — EZ: AM [Eucl VI, 4]; quare etiam EZ: 4M — ΗΘ: ΝΗ͂. el permutando [Eucl. V, 16], οὐ EZ -— ΗΘ; itaque eliam 44M — NX. uerum eaedem parallelae sunt 104 ΠΕΡῚ ΚΥΛΙΝΔΡΟΎ' ΤΟΜΗΣ. καί ἐστιν ἴση ἡ ΕΖ τῇ HO- ἴση ἄρα καὶ ἡ 4M i ΝΞ. εἰσὶ δὲ καὶ παράλληλοι᾽ παράλληλος ἄρα καὶ ἡ MEA εὐθεῖα τῇ AN. Ἐὰν δὴ τὸ μὲν K σημεῖον ὑποϑώμεϑα εἶναι τὸ 5 φωτίζον, τὸ δὲ AT' παραλληλόγραμμον τὸ ἐπιπροσϑοῦν ταῖς ἀκτῖσιν, εἴτε x«9' αὑτὸ εἴη εἴτε ἐν κυλίνδρῳ, συμβήσεται τὰς ἀπὸ τοῦ K φωτίζοντος ἀκτῖνας ἐκβαλ- λομένας δρίξεσϑαι τῇ τε ΜΖ καὶ τῇ NA εὐϑείᾳ, καὶ τὸ μεταξὺ τῶν M A4, E N παραλλήλων ἐσκιασμένον ἔσται. 10 ὅτι μὲν οὖν παράλληλος καὶ ἡ 4.4 τῇ ΓΒ καὶ ἡ NA τῇ ΞΜ, δέδεικται" οὐ μὴν καὶ οὕτω φανοῦνται" τῶν γὰρ 4M, ΝΕ διαστάσεων ἡ ἐγγύτερον τῆς ὄψεως μείξων φαίνεται" ταῦτα δὲ παρειλήφαμεν ἐκ τῶν Ὀπ- τικῶν. 15 ΣἼἘἘπειδὴ δὲ παρακείμενόν ἐστι καὶ περὶ τοῦ κώνου ϑεωρῆσαι τὸ ὅμοιον διὰ τὸ κοινὸν εἶναι τὴν ἔλλειψιν τοῦ τε κώνου καὶ τοῦ κυλίνδρου. ἔσκεπται δὲ περὶ τοῦ κυλίνδρου. φέρε καὶ περὶ τοῦ κώνου δκεψώμεϑα. λα΄. 80 Ἐὰν τριγώνου ληφϑῇ σημεῖον ἐκτός, καὶ ἀπ᾽’ αὐτοῦ ἀχϑῇ τις εὐθεῖα τέμνουσα τὸ τρίγωνον, ἀπὸ δὲ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν ἀχϑῇ τις ἑτέρα εὐϑεῖα τέμνουσα τὴν διηγμένην οὕτως. ὥστε ἔχειν, ὡς ὅλη ἡ διηγμένη πρὸς τὴν ἐκτὸς τοῦ τριγώνου. οὕτως τῆς ἐντὸς ἀπει- 26 λημμένης τὸ μεῖξον τμῆμα πρὸς τὸ ἔλασσον καὶ πρὸς τῷ ἐκτὸς τοῦ τριγώνου κείμενον, ἥτις ἂν ἀπὸ τοῦ ληφϑέντος σημείου ἀχϑῇ εὐθεῖα τέμνουσα τὸ τρίγω- vov, ἀνάλογον ἔσται τετμημένη ὑπὸ τῆς ἠγμένης ἀπὸ 4. εἶναι] νο, -v- euan. V. 8. MA] ΝᾺ Halley, N55] M5 Halley. 9. MA, SN] NA, MAE Halley (male). — éow- DE SECTIONE CYLINDRI. 105 [Eucd. XI, 9]; ergo etiam ΜΞ, AN parallelae [Eucl. I, 33]. lam si punctum Κ illustrans esse supposuerimus, parallelogrammum | autem .4lI' radiis officiens, siue per se exstat siue in cylindro, eueniet, ut radii a Καὶ ilustranti egredientes rectis ΜΖ, NX terminentur, eb spatium inter parallelas M 4, & N adumbratum erit. iam et 274, ΓΒ et NA, ἘΜ parallelas esse, demonstratum est; sed iia non adparebunt; nam distantiarum 4M, ΝΞ oculo propior maior adparet; haec autem ex Opticis transsumpsimus [Eucl. Optic. 6]. Quoniam autem consentaneum est idem etiam in cono pertractare, quia ellipsis coni cylindrique com- munis est, in cylindro autem quaesitum est, iam in cono quoque quaeramus. XXXI. Si extra triangulum punctum sumitur, ab eoque recta ducitur triangulum secans, ἃ uertice autem ad basim alia recta ducitur rectam secantem ita secans, αὐ gib, αὖ tota recta secans ad partem extra triangulum positam, ita rectae intra iriangulum abscisae pars maior ad minorem, quae parti extra iriangulum positae propior est, quaecunque recta a puncto sumpto ducitur triangulum secans, a recta a uertice ad basim ducta secundum eandem proportionem secta erit. et 81 omnes rectae ab eodem puncto ita ductae secundum «cuévov] Halley cum Comm., ἐσκιασμένων Vc. 19. λα om. V. 26. τῷ] τό Vc, corr. Halley. 28. ἔσται τετμημένη͵ scripsi), τετμημένη Vc, τέτμηται Halley. 10 1ὅ 20 2b 106 ΠΕΡῚ KTAINAPOT TOMHZ. τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν εὐθείας. κἂν πᾶσαι αἱ οὕτως ἠγμέναι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου ἀνάλογον τμη- ϑῶσιν, ἡ τέμνουσα αὐτὰς εὐθεῖα ἐν τῷ τριγώνῳ ἀγο- μένη διὰ τῆς κορυφῆς τοῦ τριγώνου ἐλεύσεται. τριγώνου γὰρ τοῦ Α4ΒΓΙΓΓ εἰλήφϑω τι σημεῖον ἐχ- τὸς τὸ 4, καὶ ἀπὸ τοῦ Z4 διήχϑω εὐϑεῖα τέμνουσα τὸ τρίγωνον ἡ Z4EZ, ἀπὸ δὲ τῆς 44 κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν ἀχϑήτω ἡ 4HO0 τέμνουσα τὴν Z4, ὥστε εἶναι; ὡς τὴν Z4 πρὸς τὴν 4E, οὕτως τὴν ZH πρὸς τὴν ΗΕ, καὶ διήχϑω τις ἑτέρα εὐθεῖα ἡ 4 Κα 4. λέγω, ὅτι, ὡς ἡ ΜΖ πρὸς τὴν ΔΚ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὴν AK. ἤχϑωσαν διὰ μὲν τῶν E, K σημείων τῇ AB παράλληλοι αἱ EN, KA, διὰ δὲ τῶν E, Z τῇ M4 παράλληλοι αἱ ΕΟ, ZIIP. ἐπεὶ τοῦ Α ΜΚ τριγώνου ᾿ παρὰ τὴν ΑΜ πλευράν ἐστιν ἡ ΕΝ, ὡς ἄρα ἡ ΝΕ πρὸς τὴν ΕΚ, οὕτως ἡ M. πρὸς τὴν 4 K, τουτέστιν οὕτως ἡ Z.4 πρὸς τὴν AP. πάλιν ἐπεὶ ἡ ZA τῇ KA παράλληλός ἐστιν, ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν KE, οὕτως ἡ E.4 πρὸς τὴν AZ. ἐπεὶ οὖν, ὡς μὲν ἡ NE πρὸς τὴν ΕΚ, οὕτως ἡ ZA πρὸς τὴν AP, ὡς δὲ ἡ ἘΚ πρὸς τὴν KA, οὕτως ἡ E.4 πρὸς τὴν AZ, καὶ δι’ ἴσου ἄρα ἐν τεταραγμένῃ ἀναλογίᾳ, ὡς ἣ ΕΝ πρὸς τὴν Καὶ Ξ, οὕτως ἡ EA πρὸς τὴν AP, τουτέστιν ἡ EO πρὸς τὴν IIP. ἐπεὶ οὖν ὃ τῆς ΜΖ πρὸς τὴν AK λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς Z4 πρὸς τὴν 45 λόγῳ, ὁ δὲ τῆς Z4 πρὸς τὴν A4 λόγος σύγχειται ἔκ τε τοῦ 8. ἡ] e corr. m. 1 c. 10. 4KA4] Vc, A4KAM Halley cum Comm. 11. 4K] AK Vc, corr. Comm. 14. ἐπεῆ V, ἐπεὶ οὖν corr. m. 1 ex ἕπεὶ τοῦ c. 18. KE] KZ Voc, cor. Comm. 22. τεταραγμένῃ] τετραγμένη V. 25. Z4] c, Ze DE SECTIONE CYLINDBI. 101 eandem proporlionem secantur, recta eas secans in inangulo ducta per uerticem trianguli ueniet. nam exira iriangulum A4BI' punctum aliquod sumatur 4,. ei à 71 recta ducatur 4 ΕΖ iriangulum secans, a uer- tice autem 4 ad basim duca- tur 4H 0 rec- tam ZZ 1a secans, ut sit ZA4:4E — ZH: HE, ducaturque alia rectà 4 K 4. dico, esse Ma4a:4K — MA: AK. ducantur per puncta E, K rectae 4B parallelae EN, KA, per E, Z autem rectae M^ parallelae EO, ZIIP. quoniam in triangulo 4MK lateri 4M parallela est, EN, erit NE: EK — MA: AK [Eucl. VI, 4| — ZA: AP [Eud. VI, 2; V, 18] rursus quonam Z4, ΚΑΙ parallelae sunt, eri& ΕΚ: K X τὸ E44: 42Z [Eucl. VI,4]. quoniam igitur NE: EK — Z4: AP et ἘΚ: ΚΕ —E4:42, ex aequo οὐἱὺ in ratione perturbata [Eucl V, 23] EN: ΚΞ — EA: AP — EO: ΠΡ [Eucl. VI, 4]. quoniam igitur M Z4: K 2— 24:4 ΚΞ [Eucl4VI,2; V,18] e Z4: 48 —(ZA4: EA) »« (Es: 4.3), erit etiam cor.m.1 V, Ed v. — 4HEH|vc,corr.ex 4Z m. 1 V. 26. τὴν 458] Halley, ΓΖ Ἐἰ c et in ras. m. 1 V. 108 ΠΕΡῚ ETAINAPOT ΤΟΜΗΣ. τῆς Ζ4 πρὸς τὴν ΕΖ καὶ τοῦ τῆς ΕΖ πρὸς 4,3, καὶ ὁ τῆς ΜΖ πρὸς 4Κὶ λόγος ἄρα σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς Z4 πρὸς τὴν ΕΖ καὶ τοῦ τῆς ΕΖ πρὸς τὴν 45. ἀλλ᾽ ὃ μὲν τῆς Z4 πρὸς τὴν E λόγος ὃ αὐτός ἐστι 5 τῷ τῆς ZH πρὸς τὴν HE διὰ τὴν ὑπόϑεσιν, ὃ δὲ τῆς ΕΖ πρὸς τὴν 45, τουτέστιν ὃ τῆς EN πρὸς τὴν AK, ὁ αὐτὸς ἐδείχϑη τῷ τῆς OE πρὸς τὴν ΠΡ' ὃ ἄρα τῆς MA πρὸς τὴν 4Κὶ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς ZH πρὸς H E λόγου καὶ τοῦ τῆς OE πρὸς τὴν ΠΡ. πάλιν 10 ἐπεὶ ὃ τῆς ΜΑ πρὸς τὴν AK λόγος ὃ αὐτός ἐστε τῷ τῆς ΖΠ πρὸς τὴν ΠΡ, ὃ δὲ τῆς ΖΠ πρὸς τὴν ΠΡ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς ZII πρὸς τὴν OE λόγου. τουτέστι τοῦ τῆς ZH πρὺς τὴν HE, καὶ τοῦ τῆς OE πρὸς τὴν ΠΡ, καὶ ὁ τῆς MA ἄρα πρὸς τὴν 16 ΜΚ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς ΗΖ πρὸς τὴν HE λόγου καὶ τοῦ τῆς ΟΕ πρὸς τὴν ΠΡ. ἐδείχϑη δὲ καὶ ὁ τῆς MA πρὸς τὴν A4K λόγος ἐκ τῶν αὐτῶν συγ- κείμενος ὡς ἄρα ἡ M πρὸς τὴν 4K, οὕτως ἡ MÁ πρὸς τὴν AK. 20 ὁμοίως δὲ δειχϑήσεται, κἂν ἄλλαι διαχϑῶσιν ἀπὸ τοῦ 4 πᾶσαι γὰρ ὑπὸ τῆς 46 διαιρεϑήδονται τὸν εἰρημένον τρόπον᾽ ὕπερ ἔδει δεῖξαι. Κἂν αἱ ἀπὸ τοῦ 41 διαχϑεῖσαι ἀνάλογον ὦσι τετμη- μέναι, ἵν᾽ dj, ὡς μὲν ἡ Ζ4 πρὸς τὴν AE, οὕτως ἡ ZH 26 πρὸς τὴν HE, ὡς δὲ ἡ ΜΖ πρὸς τὴν 4 Κι, οὕτως ἡ M. πρὸς τὴν ΑΚ, ἡ τὰς év τῷ τριγώνῳ ἀπειλημμέ- νας εὐθείας, οἷον τὰς ΖΕ, ΜΚ, ἀνάλογον τέμνουσα ͵ εὐϑεῖα διαγομένη διὰ τῆς κορυφῆς ἥξει τοῦ τριγώνου. 1. πρὸς 4,3] V, πρὸς τὴν 4E C. καὶ ὁ — 8. 48) om.c. 15. 4AK| AK Vc, corr. Comm. 248. δια ϑεῖσαι) C, COIT. eX διαχϑῶσι m. 1 V, διαχϑῶσαι v. 26. ἡ] Her d Tj Vc. DE SECTIONE CYLINDBHI. 109 MA:AK —(ZA:EA)»«(EA:4). uerum ex hypo- theg Z4: ΕΖ — ZH: HE, demonstrauimus autem, esse ΕΖ: 45 siue [Eucl. VI 4] EN: 35K —OE:IIP; itaque ΜΖ : 4K —(ZH:HE)»«(OE:IIP). rursus quonam ΜΖ: ΔΚ — ZII: ΠΡ [Eucl. VI, 4] et ZII : IIP —(ZII: OE) »« (OE: IIP) — (ZH: HE) x (OE: IIP) [Eucl. VI, 4], enit etiam MA: AK — (HZ: HE) »« (OE: IIP). demonstrauimus auiem, eliam rationem Mf: 4 Καὶ ex isdem compositam esse; itaque Mz: ΖΙ Καὶ —M.A:AK. eodem autem modo demonsirabitur, etiam 51 aliae ἃ Δ ducuntur; omnes enim ab 470 eo, quo diximus, modo diuidentur; quod erat demonstrandum. Et si rectae ἃ 2f ductae secundum eandem pro- porhonem sectae sunt, ita ut 8it Z4: 4 E— ZH: HE et Md: 44K — MA: AK, recta rectas in triangulo abscisas, ut ZE, MK, secundum eandem pro- portionem secans pro- ducta per uerticem trianguli ueniet. nam si fieri potest, exira eum uenial per punctum 6, οὐ ducatur recta 4 H 9I. quoniam igitur recta 4 7 a uer- tice ducta rectam Z41 ita secat, ut sit Z4:4E-— ZH: HE, ex eo, quod supra demonstratum est, etiam M. se- eundum eandem proportionem secat. itaque MZ:A4AK — MT:UVTK; 110 ΠΕΡῚ KTAINAPOT ΤΟΜΗΣ. εἰ γὰρ δυνατόν, ἡκέτω ἐκτὸς κατὰ τὸ Φ σημεῖον, καὶ διήχϑω ἡ AH εὐθεῖα. ἐπεὶ οὖν κατὰ τὸ προ- δειχϑὲν εὐθεῖά τις ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἡ Α Ψ' ἀγομένη τέμνει τὴν Ζ4 εὐθεῖαν, ὥστε εἶναι, ὡς τὴν Ζ4 πρὸς ὅ τὴν 4Ε, οὕτως τὴν ΖΗ πρὸς τὴν HE, καὶ τὴν ΜΖ ἄρα ἀνάλογον τέμνει. ὡς ἄρα ἡ M πρὸς τὴν 4Κ, οὕτως ἡ MI πρὸς τὴν ΨΚ' ὅπερ ἀδύνατον᾽ ὑπέκειτο γάρ, ὡς ἡ ΜΖ πρὸς τὴν 4 Κὶ, οὕτως ἡ ΜΩ πρὸς τὴν AK. ἡ ἄρα AH ἐκβαλλομένη οὐχ ἥξει δι’ ἄλλου 10 σημείου πλὴν τοῦ 41’ ὅπερ ἔδει δεῖξαι. λβ΄. “ἰ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου κωνικῆς ἐπιφανείας ἐφαπτόμεναι εὐθεῖαν κατ᾽ ἀμφότερα τὰ μέρη πᾶσαι x«9' ἑνὸς τριγώνου πλευρῶν τὰς ἐπαφὰς ποιοῦνται. 15 ἔστω κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὃ περὶ τὸ Α΄ κέντρον κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ B σημεῖον, ἄξων δὲ ἡ AB εὐ- ϑεῖα, σημείου δέ τινος τοῦ I' ληφϑέντος ἐχτὸς τοῦ κώνου ἤχϑωσαν ἀπὸ τοῦ D αἱ ΓΖ, ΓΕ εὐϑεῖαι ἐφ- απτόμεναι τῆς τοῦ κώνου ἐπιφανείας ἐπὶ τὰ αὐτὰ 20 μέρη. λέγω, ὅτι τὰ E, 4 σημεῖα τῶν ἐπαφῶν ἐπὶ μιᾶς εὐθείας ἐστί. κατήχϑω ἀπὸ τοῦ Γ σημείου ἐπὶ τὴν AB πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΖ, καὶ διὰ τῆς ΓΖ ἤχϑω ἐπίπεδον παράλ- ληλον τῷ τοῦ 4 κύκλου ἐπιπέδῳ καὶ ποιείτω τομὴν 25 ἐν τῷ κώνῳ τὸν περὶ τὸ Ζ κέντρον κύκλον, ὥστε χῶνον ὑποστῆναι, οὗ βάσις μὲν ὃ Z κύκλος, ἄξων δὲ ὁ ZB, καὶ διὰ τῆς ΓΖ καὶ τοῦ ἄξονος ἐχβεβλήσϑω 11. 48^] om. V. 94. κύκλου émimíóm|] vc, -ov &- corr. ex o in scrib. V. DE SECTIONE CYLINDRI. 111 quod fieri non potest; supposuimus enim, esse Md:4K — MA: AK. ergo 4H producta per nullum aliud punctum ueniet quam 4; quod erat demonstrandum. XXXII. Rectae ab eodem puncto superficiem conicam ex utraque parte contingentes omnes per latera unius trianguli contingunt. | sib conus, cuius basis sit circulus circum 4 centrum descriptus, uertex autem punctum B, axis autem recta 418. et sumpto extra conum puncto aliquo I' à Γ dueantur rectae ΓΖ, ΓΕ superficiem coni ex eadem parte contingentes. dico, puncta contactus E, 4 in una recta esse. ducatur a puncto Γ ad AB perpendicularis ΓΖ, et per ΓΖ planum ducatur plano circuli 4 parallelum .effidatque in cono sectionem cireulum cireum Z centrum descriptum, ita ut conus existat, cuius basis 112 ΠΕΡῚ KTAINAPOT ΤΟΜΗΣ. ἐπίπεδον ποιοῦν ἐν τῷ κώνῳ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρί- yovov τὸ BHO, καὶ τῇ ΓΖ πρὸς ὀρϑὰς ἤχϑωο ἡ ΓΚ ἐν τῷ τοῦ Ζ κύκλου ἐπιπέδῳ οὖσα, καὶ διὰ τῆς ΓΚ καὶ ἑκατέρας τῶν ΓΖ, DE ἤχϑω ἐπίπεδα τέμνοντα 5 τὸν κῶνον καὶ ποιείτω διὰ τῆς τομῆς ἐν μὲν τῇ ἐπι- φανείᾳ τοῦ κώνου τὰς 44M, ΝΕ“ γραμμάς, ἐν δὲ τῷ τοῦ BHO τριγώνου ἐπιπέδῳ τὰς ADI, NI e ϑείας᾽ διάμετροι ἄρα τῶν 44Μ, ΝΕ“ τομῶν εἰσιν αἱ AM, NA εὐθεῖαι. ἤχϑωσαν τοίνυν ἐπὶ τὰς AM, 10 NA διαμέτρους αἱ 40, EII τεταγμένως καὶ προδεκ- βεβλήσϑωσαν ἐπὶ ϑάτερον μέρος τῆς ἐπιφανείας κατὰ τὸ P καὶ 2. ἐπεὶ obv ἡ ΓΖ εὐϑεῖα τῆς 44 M γραμ- μῆς ἐφάπτεται κατὰ τὸ 4d σημεῖον, καὶ κατῆκται τεταγ- μένως ἡ 40, ὡς ἄρα ἡ AI' πρὸς τὴν ΓΜ, οὕτως ἡ 16 40 πρὸς τὴν OM" καὶ διὰ τὰ αὐτά, ὡς ἡ NI' xoc τὴν ΓΞ, οὕτως ἡ NII πρὸς τὴν IIA ἡ ἄρα τὰ Ο καὶ II σημεῖα ἐπιξευγνύουσα εὐθεῖα ἐκβαλλομένη ἥξει διὰ τῆς κορυφῆς διὰ τὸ πρὸ τούτου. διήχϑω τοίνυν ἡ OIIB. καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν EZ, 4Ρ τῇ ΓΚ ἐστι 20 παράλληλος, αἱ ἄρα 4}, EZ παράλληλοί τέ εἶσιν ἀλλήλαις καὶ ἐν ἑνί εἰσιν ἐπιπέδῳ. τὸ οὖν διὰ τῆς BIIO καὶ τῶν EZ, 4 ἐπίπεδον ἐκβαλλόμενον τὴν τομὴν ποιήσει τρίγωνον ἐν τῇ τοῦ κώνου ἐπιφανείᾳ" τὰ ἄρα E καὶ 44 σημεῖα ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ ὄντα τοῦ 26 κώνου ἐπὶ πλευρᾶς ἐστι τριγώνου τοῦ τέμνοντος τὸ BHO τρίγωνον κατὰ τὴν BIIO εὐϑεῖαν. ὁμοίως δὲ δεώκνυται ἐπὶ τῶν ἐφαπτομένων πασῶν καὶ τῶν κατὰ τὸ P καὶ X ἐφαπτομένων τὸ αὐτὸ συμβαῖνον. πᾶσαι 16. τὰ] τό Vc, corr. Halley. — 22. BIIO] βόπο c. 926. BIIO] vc, et IIO e corr. m. 1 V. 28. P] vc, non liquet V. DE SECTIONE CYLINDBI. 113 sib circulus Z, axis autem ZB, et per ΓΖ axemque planum ducatur in cono efficiens BHO triangulum per axem positum, et ad ΓΖ perpendicularis ducatur ΓΚ in plano circuli Z posita, per ΓΙ autem et utramque ΓΖ. ΓΕ plana ducantur conum secantia effieiaantque per sectionem in superficie coni lineas AA4M, NEA, in plano autem trianguli BHO rectas AT, NI; diametri igitur sectiounnum 42M, NEX sunt rectae 4M, NA iam ad diametros 4M, NX ordinate ducantur Z/O, EII producanturque ad alteram partem superficiei ad P, Z. quoniam igitur recta ΓΖ lineam 44 M in puncto Zf contingit, ordinateque ducta est 40, erit 4I: I'M — 40:0M [Apollon. I, 36]; οὐ eadem de causa eri ΝΓ: ΓΞ -- ΝΠ: ΠΗ͂; itaque propter propositionem praecedentem recta puneta O, II coniungens producta per uerticem ueniet. ducatur igitur OIIB. ei quoniam utraque EZ, 4P rectae I'K parallela est, Z/P et EZ/ inter se parallelae sunt [Eucl. XI, 9] et in uno plano positae. itaque plaaum per BIIO et EZ, 41} productum in super- file coni sectionem efficiet triangulum [Apollon. I, 3]; puneta igitur E, Ζ in superficie coni posita in latere sunt trianguli triangidum BHO secundum rectam BIIO secantis. eodem autem modo in omnibus contingentibus idem euenire demonstratur, etiam in reelis in P, 2 contingentibus. ergo omnes rectae a I' superficiem conicam contingentes in latera unius inanguli cadunt; quod erat demonstrandum. Serenus Antinoensis, ed. Heiberg. 8 10 15 20 2b 114 ΠΕΡῚ KTAINAPOT TOMHZ. ἄρα αἱ ἀπὸ τοῦ Γ ἐφαπτόμεναι τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας καϑ' ἑνὸς τριγώνου πλευρῶν πίπτουσιν: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. λγ. Τούτου δὴ δειχϑέντος ἔστω τρίγωνον τὸ 48Γ καὶ παρὰ τὴν ΒΓ βάσιν αἱ 4E, ΖΗ, καὶ εἰλήφϑω τι σημεῖον τὸ Θ μὴ ὃν ἐν τῷ τοῦ τριγώνου ἐπιπέδῳ. καὶ ἐπιξευχϑεῖσαι αἱ ΘΖ, ΘΖ, OH, OE ἐκβληϑεῖσαι προσ- πιπτέτωδσαν ἐπιπέδῳ τινὶ παραλλήλῳ ὄντι τῷ ΑΒΓ ἐπιπέδῳ κατὰ τὰ K, 4, M, Ν σημεῖα" τὸ δὴ διὰ τῶν ΕΖ. ΚΘ εὐθειῶν ἐπίπεδον ἐκβαλλόμενον τεμεῖ καὶ τὸ KAMN ἐπίπεδον καὶ ποιήσει ἐν αὐτῷ κοινὴν το- μὴν τὴν ΚΝ εὐϑεῖαν παράλληλον οὖσαν τῇ ΕΖ. ὁμοίως δὲ καὶ τὸ διὰ τῶν ZH, 4Θ ἐπίπεδον ἐκβαλλό- μένον ποιήσει παράλληλον τῇ ZH τὴν ΑΜ. ἐπεὶ οὖν τὸ ΚΘ. ἐπίπεδον τέμνεται ὑπὸ παραλλήλων ἐπιπέδων τῶν ABI, K AMN, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ αἱ K A, 4Z παράλληλοί εἰσιν ἀλλήλαις. διὰ ταὐτὰ δὲ καὶ ἡ ΝΜ τῇ HE παράλληλός ἐστιν. ἐκβληϑεῖσαι ἄρα αἵ KA, ΜΝ συμπεσοῦνται κατὰ τὸ A. ἐπεὶ οὖν δύο αἵ Καὶ, AN δυσὶ ταῖς 44, AE παράλληλοί εἰσιν, len ἄρα ἡ πρὸς τῷ 5 γωνία τῇ πρὸς τῷ 4. πάλιν ἐπεὶ δύο αἱ AK, ΚΝ δυσὶ ταῖς 44, 4E παράλληλοί εἰσιν, ἡ ἄρα ὑπὸ τῶν ΕΚ, ΚΝ γωνία τῇ ὑπὸ 424, ΖΕ ἴση. τὰ ἄρα ΚΝ, ABI' τρίγωνα Ouowt ἐστιν ἀλλήλοις. Ἐὰν οὖν πάλιν τὸ μὲν O σημεῖον ὑποϑώμεϑα τὸ φωτίζον εἶναι, τὸ δὲ ABI' τρίγωνον τὸ ἐπιπροσϑοῦν 4. ày'] om. V. 6. ABI'] v, seq. spatium 4 litt. c; seq. spatium 4 litt. et in lin. proxima 5 litt. V, mg. m. rec.: in apographo nullum erat spatium. 14. ró] postea ins. m. 1 c. 21. ἄρα om. c. 22. τῷ (utrumque)] scripsi, τό Vc. DE SECTIONE CYLINDRI. 115 XXXIII. lam uero hoe demonsirato sib triangulus 4BI' basique BI' parallelae ZZ E, ZH, sumaturque punetum aliquod Θ᾽ in plano trianguli non positum, et ductae 064, ΘΖ, ΘΗ. OE productae cum plano aliquo plano 4 B I' parallelo in punctis K, 4, M, N concurrant; pla- num igitur per rec- tas E7f, KO ductum eliam planum KAMN secabit ef- fieieique 1n eo com- munem sectionem rectam K N rectae ΕΖ parallelam [ Eucl. XI, 16]. similiter au- lem etiam planum per -: ΖΗ, 49 productum efficiet 4 M rectae ZH parallelam. quoniam igitur planum K 0 A4 a planis parallehs 4BI', KAMN secatur, communes eorum sectiones K 4, 4 Z inter se parallelae sunt [ Eucl. XI, 16]. eadem autem de causa eliam NM, HE parallelae sunt. productae igitur Κα, MN in ,5 concurrent. quoniam igitur duae rectae K X, E N duabus Z4, AE parallelae sunt, erit / αὶ — 4 [Eucl. XI, 10]. rursus quonam duae rectae EK, ΚΝ duabus 44, ΖΕ parallelae sunt, erit / SK N — 44Ε [Eucl. XI, 10]. ergo trianguli '$K N, A4BI' inter se similes sunt. 8* 116 ΠΕΡῚ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ΤΟΜΗΣ. ταῖς ἀκτῖσιν, εἴτε καϑ' αὑτὸ ὃν τὸ τρίγωνον εἶτε ἐν κώνῳ, συμβήσεται τὰς ἀπὸ τοῦ Θ φερομένας ἀχτῖνας ἐκπίιπτούσας διὰ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ποιεῖν τὸ ΚΝΞ τρίγωνον τῆς σκιᾶς ὅμοιον ὃν τῷ ABI. 5 Ταῦτα sí καὶ ὀπτικῆς ϑεωρίας ἔχεται καὶ δοκεῖ διεὰ τοῦτο τῆς παρούσης πραγματείας ἀλλότρια εἶναι, ἀλλ᾽ οὖν ἐκεῖνό γε φανερὸν γέγονεν, ὅτι ἄνευ τῶν περὶ τῆς τοῦ κυλίνδρου καὶ τῆς τοῦ κώνου τομῆς ἐνταῦϑα δειχϑέντων, τῆς ἐλλείψεως λέγω καὶ τῶν ἁπτομένων 10 αὐτῆς εὐθειῶν, ἀδύνατον ἦν καταστῆσαι τὸ τοιοῦτον πρόβλημα' ὥστε οὐκ ἀλόγως. ἀλλὰ διὰ τὴν χρείαν ἐπεισῆλϑεν ὁ περὶ τούτων λόγος. 2 ς T , τ' 1. καϑ' αὑτό] vo, καϑαυ V. 6. πραγματείας] c, πραγμα Vv. 12. τούτων] τούτου c. In fine: τέλος τοῦ α΄ m. rec. V. Deinde σερήνου ἀντινσέως φιλοσόφου περὶ κυλίνδρου τομῆς :— Ve, τὸ B add. m. rec. V; τέλος τοῦ περὶ κυλίνδρου τομῆς σερήνου ÀÁmbr. Α 101 sup. DE SECTIONE CYLINDRI. 117 Si igitur rursus supposuerimus, Θ᾽ punctum ilustrans esse, triangulum autem 44BI' radus offi- cientem, siue per se exstat siue in cono, eueniet, ut radii a € progredientes per triangulum 4 BI' cadentes ΚΝ inangulum umbrae efficiant triangulo ABI similem. | Haee etiam si ad disputationem opticam pertinent ideoque ab hac disquisitione aliena esse uidentur, hoc cerle adparuit, sine iis, quae hie de sectione cylindri el coni demonstrata sunt, ellipsi scilicet. rectisque eam eontingentibus, problema eiusmodi ad finem perduci non potuisse; quare non sine causa, sed propter usum de his mentio incidit. DE SECTIONE CONI. ———— e 10 1 Qt 20 ΠΕΡῚ K9NOT TOMBHB2. Τῆς ἐν τοῖς κώνοις τομῆς, ἄριστε Κῦρε, ὅταν διὰ τῆς κορυφῆς αὐτῶν γίνηται, τρίγωνα μὲν ὑφιστάσης ἐν τοῖς xóvoiwg, ποικίλην δὲ καὶ γλαφυρὰν ϑεωρίαν ἐχούσης καὶ μηδενὶ τῶν πρὸ ἡμῶν, ὅσα γε ἐμὲ εἰδέναι, πραγματευϑείδσης ἔδοξέ μοι μὴ καλῶς ἔχειν ἀνεξέργα- στον ἀφεῖναι τὸν τόπον τοῦτον, εἰπεῖν δὲ περὶ αὐτῶν, ὅσα γε εἰς ἐμὴν ἀφῖχται κατάληψιν. σχεδὸν μὲν οὖν τά ys πλείω καὶ βαϑυτέρας δοκοῦντα δεῖσϑαι γεω- μετρίας ἡγοῦμαι λόγου τετυχηκέναι παρ᾽ ἡμῶν, οὐκ ἂν δὲ ϑαυμάσαιμι, εἰ καί τι τῶν ὀφειλόντων λεχϑῆναι παρείκων ὀφϑείην ἅτε πρῶτος ἐγχειρήσας τῇ τούτων ϑεωρίᾳ᾽ ὥστε εἰκὸς ἢ σὲ καϑέντα εἰς τὴν αὐτὴν σχέψιν ἢ τῶν ὕστερον ἐντευξομένων τινὰ δρμώμενον ἐνθένδε τὸ παροφϑὲν ἡμῖν προσϑεῖναι. ἔστι δὲ ἃ καὶ ἑκόντες παραλελοίπαμεν ἢ διὰ τὸ δαφὲς ἢ διὰ τὸ ἄλλοις δὲε- δεῖχϑαι" αὐτίκα τὸ μὲν ἐν παντὶ κώνῳ τρίγωνον εἶναι τομήν, εἰ διὰ τῆς κορυφῆς τμηϑείη, διὰ τὸ δεδεῖχϑαν ἄλλοις ὡς οὕτως ἔχον ἡμεῖς παραλιμπάνομεν, ἵνα μηδὲν ἀλλότριον τοῖς ὑφ᾽ ἡμῶν εὑρεϑεῖσι συντεταγμένον ἦ. τὰ δ᾽ ἐπιπολαιότερα καὶ τοῖς πολλοῖς εὔληπτα γραφῆς οὐκ ἠξιώδαμεν, ἵνα μὴ τῶν ἐντυγχανόντων τὴν προῦ- Titulum om. Ve, σερήνου ἀντινέως φιλοσόφου περὶ κώνου τομῆς Ῥ. 11. ϑαυμάσαιμι] ϑαυμάσαιτό τις Ῥ. 19. παρεῖ- DE SECTIONE CONI. Quum sectio conorum, optime ΟΥ̓́Θ, in conis inangulos efficiens, 81 per uerticem eorum fit, uariam subtilemque materiam disputandi praebeat nec a quoquam ante nos, quod sciam, periractata sit, mihi plaeuit hune locum incultum non relinquere, sed de ea re dicere, quae percepi. credo igitur, pleraque et fere quae altiore geometria egere uideantur a nobis perstrieba esse, sed non mirabor, si quid eorum, quae iraelanda erant, omisisse inueniar, quippe qui ad haec tractanda primus adcesserim; quare consentaneum est, aub te eandem quaestionem ingressum aut aliquem eorum, qui postea legent, hine profectum addere, quae nos praetlermisimus. quaedam uero etiam de industria omisimus, aul quia manifesta sunt aut ab alus demonstrata; uelut statim in omni cono triangulum esse sectionem, si per uerticem secetur, quia ab alis [Apollon. I, 3] demonsiratum est ita se habere, nos omittimus, ne quid alienum 118, quae a nobis inuenta sunt, sit immixtum. quae uero futiliora sunt et a uulgo faelle comprehenduntur, perscribere detrectauimus, ne xov] παρήκων p. πρῶτος] vcp, πρὠῶς V. 18. καϑέντα]) καϑιέντα Haley. 16. ἄλλοις] ἐν ἄλλοις p. 17. κώνῳ) vcp, post κώ- ras. 1 litt. V. eO 10 15 20 122 IIEPI KONOT TOMHZ. οχὴν τῆς διανοίας ἐκλύσωμεν. ἰτέον δὴ ἐπὶ τὴν τῶν προκειμένων ἀπόδειξιν. , α΄. Ἐὰν τεσσάρων εὐθειῶν ἡ πρώτη πρὸς τὴν δευτέραν μείξονα λόγον ἔχῃ ἥπερ ἡ τρίτη πρὸς τὴν τετάρτην, τὸ ὑπὸ πρώτης καὶ τετάρτης μεῖξόν ἐστι τοῦ ὑπὸ δευ- τέρας καὶ τρίτης. εὐθεῖα γὰρ ἡ 44 πρὸς τὴν B μείξονα λόγον ἐχέτω ἥπερ ἡ Γ πρὸς τὴν ΖΕ. λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν A, A4 E μεῖξόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν B, Γ. ἐπεὶ ἡ 4 πρὸς B μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ D πρὸς 4Ε, ἔστω, ὡς ἡ 4 πρὸς B, οὕτως ἡ Γ πρὸς ZZ: τὸ ἄρα ὑπὸ 4, 412 ἴδον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν B, I: μεῖξον δὲ τὸ ὑπὸ 4. 4Ε τοῦ ὑπὸ A4, AZ καὶ τοῦ ὑπὸ B, Γ' ἄρα μεῖξόν ἐστι τὸ ὑπὸ 4, AE. β΄. Ἐὰν τριγώνου ὀρϑογωνίου ἀπὸ τῆς ἑτέρας τῶν γωνιῶν ἐπὶ μιὰν τῶν περὶ τὴν ὀρϑὴν ἀχϑῆῇ εὐϑεῖα, ἡ ἀχϑεῖδα πρὸς τὴν ἀπολαμβανομένην ὑπ᾽’ αὐτῆς πρὸς τῇ καϑέτῳ μείξονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ἐξ ἀρχῆς ὑπο- τείνουσα τὴν ὀρϑὴν πρὸς τὴν τμηϑεῖσαν πλευρὰν ὑπὸ τῆς ἀχϑείδης. τριγώνου γὰρ ὀρϑογωνίου τοῦ ABI' ὀρϑὴν ἔχον- τος τὴν 4 γωνίαν ἀπὸ μιᾶς τῶν γωνιῶν τῆς Γ΄ ἐπὶ 1. δή) δὴ οὖν p. 3. α΄ mg. p, mg. m. rec. V, om. v6; et sic deinceps. 5. ἔχῃ] pe, ἔχει V v. 6. ὑπό (pr.)] ὑπὸ τῆς Ῥ. 11. j(pr)] γὰρ ἡ p. Β] τὴν B p. 12. 4E] τὴν 4E p. 18. ὑπό (pr)] ὑπὸ τῶν p. τῷ] p, τι V, corr. ex τό m. 1 6, τῶν v. 14. ὑπό (pr.)] ὑπὸ τῶν p, ut semper (in rectangulis). τοῦ (alt.)] p, τό Vvc. 18. τῶν] pc, à Y, DE SECTIONE CONI. 123 legentium animi intentionem delassemus. iam uero ad demonstrationem propositorum ueniamus. I. $i quattuor rectarum prima ad secundam maiorem rationem habet quam tertia ad quartam, rectangulum - - 1g. primae quartaeque maius est rect- angulo secundae tertiaeque. 4 B| DP sib enim 4: B D:4E. dico, | u esse 4 »« ZE BI. | quonam 4:B^ LI:4E, st | 7[ diBer:iZ;itaque 4»«4Z —B»I [πο]. VI, 16]. uerum Ax 4d4ED5AIX42 ergo etiam 44 »« ΖΕ)» B»« I: II. Si trianguli rectanguli ab altero angulo ad alte- rum laterum rectum angulum comprehendentium recta ducitur, recta ducta ad rectam ab 1 ea de perpendiculari abscisam ma- N iorem rationem habet quam latus ab initio sub recto angulo sub- 4 EN tendens ad latus ἃ recta ducta NCX sectum. «ἝΝ 7 nam triangul rectangulh 48 Γ angulum .4 rectum habentis ab altero angulo Γ ad 4B recta ducatur ΓΖ. dico, esse D4:44— ΓΒ: BA. — —— τῷν. ἀχϑῇ]) γωνίαν εὐθειῶν ἀχϑῇ p. 19. ἀπολαμβανομένην) pc, ἀπολαμβανομένη V. — 24. A] πρὸς τῷ 4 p. ΓῚ πρὸς τῷ I' p. 124 ΠΕΡῚ K€SNOT ΤΟΜΗΣ. τὴν AB ἤχϑω τις εὐθεῖα ἡ I'd. λέγω. ὅτι ἡ ΓΖ πρὸς 4.44 μείξονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΓΒ πρὸς B A. ἤχϑω παρὰ τὴν ΓΒ ἡ AE. ἐπεὶ ὀρϑή ἐστιν ἡ ὑπὸ 4 ATI, ἀμβλεῖα ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΕ Γ᾽ μείξων ἄρα ἡ 4T 5 τῆς 4Ε. ἡ ἄρα I4 πρὸς 4144 μείξονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ EZ πρὸς 41.4, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΓΒ πρὸς BA. , γ΄. 'E&àv κῶνος ὀρϑὺὸς διὰ τῆς κορυφῆς ἐπιπέδοις τμηϑῇς τῶν γινομένων ἐν ταῖς τομαῖς τριγώνων τὰ ἴσας ἔχοντα 10 βάσεις ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα. ἔστω κῶνος, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ 44 σημεῖον. βάσις ὃὲ ὁ περὶ τὸ B κέντρον κύκλος, τοῦ δὲ κώνου διὰ τῆς κορυφῆς τμηϑέντος ἐπιπέδοις γεγενήσϑω τὰ ὑπὸ τῆς τομῆς γενόμενα τρίγωνα᾽ ὅτι γὰρ τρίγωνα ποιοῦσιν 1ὅ αἱ τοιαῦται τομαί, ἐν ἄλλοις δείκνυται. γεγενήσϑω δὴ τὰ 4ΓΖ. 4ΕΖ2 ἴσας ἔχοντα τὰς I4, EZ βάσεις. λέγω, ὅτι τὰ AI, AEZ τρίγωνα ἴσα ἐστίν. ἐπεὶ γὰρ αἵ τε βάδεις ἴσαι ἀλλήλαις, ἴσαι δὲ καὶ αἴ AI, 44, AE, AZ, καὶ τὸ τρίγωνον ἄρα τῷ τρι- 20 γώνῳ ἴσον. δ΄. - Ἐν τοῖς ὀρϑοῖς κώνοις τὰ ὅμοια τρίγωνα ἴσα ἀλλή- λοις ἐστίν. 2, 4A] τὴν 44 p. 8. ἐπεί] καὶ ἐπεί p. 4. 447) A4AT' γωνία p. ἡ pra] ἐστὶν ἡ p. ὅ. ΓΔ] vp, ΓΖ ve DAV, ΓΑ οβ. 4A] viv 44 p. 9. τα] τάς c. 10. di- λήλοις ἐστὶν ἴσα] ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν p. 11. 4] πρῶτον c. 14. γενόμενα] γινόμενα Halley. 16. τοιαῦται τομαί] τομαὶ αὗται p. 16. ἰσας] p, ἴσα c et extr. pag. V. 17. ἴσα] ἴσα DE SECTIONE CONI. 125 ducatur rectae ΓΒ parallela //E. quoniam ( 24 Γ rectus est, | Z4EI' obtusus est [Eucl. I, 16]; itaque ADI 4E [Eucl. I, 19]. quare ΓΖ: 44)» ῈΕ4: 44 [Eucl. V, 8], h. e. [Eucl. VI, 4| » DB: B A. IIT. Si conus rectus per uerlicem planis secatur, iri- angulorum in sectionibus ortorum, qui aequales habent bases, inter se sunt aequales. Sibi conus, culus uertex sii punctum 4, basis autem circulus circum centrum B descriptus, 4 cono autem per uerticem planis secto efficiantur trianguh per seclionem orti; nam tiriangulos efficere eius modi sectiones, in aliis demonstratur [| Apollon. I, 3]. Dr Ζ itaque effecti sint 4I71, 4Ε2 aequales habentes bases ΓΖ, EZ. dico, triangulos A4I', 4EZ aequales esse. quoniam enim οὗ bases inter se aequales et ADT — d d-—AE-42,elüam tnangulus triangulo aequalis est. [Eucl. I, 8]. A IV. In conis rectis trianguli similes inter se aequales sunt. ἀλλήλοις p. 18. ἀλλήλαις] ἀλλήλαις εἰσίν p. ἴσαι (alt.)] εἰσί p. 19. 42] 4Z ἴσαι ἀλλήλαις p. — 20. ἴσον] ἴσον ἐστίν p. δι 10 15 τῷ σι 126 ΠΕΡῚ KO9NOT TOMBHBZ. ἔστω γὰρ ἐπὶ τῆς προκειμένης καταγραφῆς τὸ 4 ΓΖ τρίγωνον τῷ 4 ΕΖ ὅμοιον. λέγω, ὅτι καὶ ἴσον ἐστέν. ἐπεὶ γάρ, ὡς ἡ 4Γ πρὸς I1, οὕτως ἡ AE πρὸὺ: EZ, καὶ ἐναλλὰξ ἄρα. καί εἰσιν ἴσαι αἱ ΓΑ. EA: ἴσαι ἄρα καὶ αἱ I4, EZ. τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων βάσεων τρίγωνα ἐν τοῖς ὀρϑοῖς κώνοις ἴσα ἐστίν" ἴσα ἄρα τὰ 4Γ4. AEZ τρίγωνα. , ε΄. '"Eàv κῶνος ὀρϑὺὸς ἐπιπέδοις τμηϑῇ διὰ τῆς κορυφῆς τῷ μὲν διὰ τοῦ ἄξονος, τοῖς δὲ ἐκτὸς τοῦ ἄξονος, ὁ δὲ ἄξων τοῦ κώνου μὴ ἐλάττων T) τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως, τῶν γινομένων ἐν τῷ κώνῳ τριγώνων μέγιστον ἔσται τὸ διὰ τοῦ ἄξονος. ἔστω κῶνος. οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α, βάσις δὲ ὃ περὶ τὸ B κέντρον κύκλος, ἄξων δὲ ὁ AB. τμηϑέντος δὲ τοῦ κώνου διὰ τῆς κορυφῆς γεγενήσϑω τρίγωνα διὰ μὲν τοῦ ἄξονος τὸ 4 ΓΖ4, ἐκτὸς δὲ τοῦ ἄξονος τὸ AEZ, καὶ κείσϑω παράλληλος ἡ ΕΖ τῇ I4, ὃ δὲ ἄξων, τουτέστιν ἡ 4B εὐθεῖα. μὴ ἐλάττων ἔστω τῆς BI. λέγω, ὅτι τὸ AI τρίγωνον μεῖξόν ἐστι τοῦ AEZ τριγώνου. ἐπεξεύχϑω ἡ BE, καὶ ἀπὸ τοῦ B κάϑετος ἤχϑω ἐπὶ τὴν EZ ἡ BH: δίχα ἄρα τέτμηται ἡ EZ κατὰ τὸ Η. ἐπεξεύχλϑω ἡ AH- ἡ AH ἄρα κάϑετός ἐστιν ἐπὶ τὴν EZ: ἰσοσκελὲς γὰρ τὸ Ε42. ἐπεὶ οὖν ἡ AB οὔκ ἐστιν ἐλάττων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ΒΕ, ἐλάτ- tov δὲ ἡ ΕΗ τῆς BE, ἡ ἄρα AB μείξων ἐστὶ τῆς 8. γάρ] γάρ ἐστιν p. 4. EZ] cp; ES V, mg. Z m.1 euan. ΕΑ] CEA Vc, 4E p. 1. AEZ] Comm,, A4 EZ Vcp. DE SECTIONE CONI. 121 nam in figura proposita [p. 125] trianguli 4T, AEZ similes sint. dico, eosdem aequales esse. quonam enim A4I':I4 τὸ 4E: EZ, permutando [Eucl. V, 16]. et I4 — E 4; itaque etiam I71 — EZ. trianguli autem in aequalibus basibus positi in conis reclis aequales sunt [prop. III]; ergo 4IZ71 — AEZ. V. Si conus rectus per uerticem secatur planis, uno per axem, alis extra axem, et axis coni non minor est radio basis, triangulorum in cono ortorum maxi- mus est triangulus per axem. sib conus, cuius uertex sit 4, A basis autem circulus cireum B | centrum descriptus, axis autem A4 B. cono uero per uerticem secto trianguli effecti sint per axem 4 ΓΖ, exira axem autem A EZ, ponaturque EZ rectae I'4 parallela, axis autem, siue recta 4B, ne sit « ΒΓ. dico, esse Δ AI AEZ. ducatur B E, et ἃ B ad EZ perpendicularis ducatur BH; EZ igitur in H in duas partes aequales secta est [ Eucl. III, 3]. ducatur 4H; 4H igitur ad EZ perpendicularis est; nam Εἰ 4.2 aequicrurius est. quoniam igitur 4B radio BE minor non est, uerum EH « BE, erit 483 EH. ——— — 20. A4] p, AT V c. 29. κάϑετος — 23. τὴν EZ] ἐπὶ τὴν ΕΖ κάθετος ἤχϑω p. 26. EAZ] AEZ p. 128 ΠΕΡῚ KS9NOT TOMHZ. EH. ἀφῃρήσθω τοίνυν τῇ EH ἴση ἡ BO, καὶ ἐπε- ξεύχϑω ἡ ΗΘ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἡ μὲν ΕΗ τῇ ΒΘ, κοινὴ 0$ ἡ ΒΗ, δύο ἄρα δυσὶν ἴσαι. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΗΒ τῇ ὑπὸ ΗΒΘ ἴση ὀρϑὴ γὰρ ἑκατέρα" καὶ βάσις ἄρα ἡ ΕΒ τῇ ΘΗ ἴση ἐστί, καὶ ὅμοια τὰ τρίγωνα ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς EH, οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς ΘΒ. ἡ δὲ ΗΘ πρὸς ΘΒ μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΗΑ πρὸς AB, ὡς προεδείχϑη᾽ ὀρθογώνιον γὰρ τὸ ABH. καὶ ἡ BE ἄρα πρὸς EH, τουτέστιν ἡ ΓΒ πρὸς EH, μείζονα 10 λόγον ἔχει ἥπερ ἡ AH πρὸς 4B: τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν I4, BA μεῖξόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν EZ, HA 0ià τὸ πρῶτον λημμάτιον. ἀλλὰ τοῦ μὲν ὑπὸ I, BA ἡμισύ ἐστι τὸ 4Γ24 τρίγωνον, τοῦ δὲ ὑπὸ EZ, HA ἥμισυ τὸ 4ΕΖ τρίγωνον" καὶ τὸ AIL ἄρα τρίγωνον τοῦ AEZ μεῖξόν ἐστι. καὶ πάντων ἄρα τῶν ἴσας βάσεις ἐχόντων τῇ ΕΖ καὶ διὰ τοῦτο ἴσων ὄντων μεῖξόν ἐστι τὸ AI. ὁμοίως δὲ δείξομεν καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων το- μῶν τῶν ἐκτὸς τοῦ ἄξονος᾽ μέγιστον ἄρα τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον. ex 1 σι , 20 6. Ἔστι τὸ αὐτὸ καὶ ἄλλως καϑολικώτερον δεῖξαι, ὅτι καὶ ἁπλῶς τῶν τριγώνων τὸ μείξονα βάσιν ἔχον μεῖξόν ἐστι. τμηϑέντος γὰρ τοῦ κώνου γενέσϑω τὰ A41, 424 26 τρίγωνα, ὥστε τὰς ΓΖΩ͂, Z4 βάσεις συμβάλλειν ἀλλή- λαις κατὰ τὸ Z πέρας, καὶ ἔστω μείζων τῆς 24 ἡ I4 1. τῇ] τῆς Ῥ. ἡ ΒΘ — 2. ἴση] om. Vc, ἡ B6 καὶ ἐπε- ξεύχϑω ἡ ΗΘ. καὶ ἐπεὶ loq μέν ἐστιν p. 2. μέν om. p. B6] 9 ecorr. m. 1 c. 8. ἴσαι] ἴσαι εἰσί p. — 4. ἴση) ἴση .DE SECTIONE CONI. 129 auferatur igitur BO — EH, ducaturque HO. iam quonam EH — ΒΘ, et BH communis, duo latera duobus aequalia sunt. et [ EH B — H BO; nam uter- que rectus est; quare etiam EB — ΘΗ [Eucl. I, 4], et trianguli similes; itaque [Eucl. VI, 4] BE: EH — H0:0B. uerum H0:0B— HA: AB, ut supra demonstratum est [prop. IIl]; nam ΑΒΗ rectangulus est. quare eliam BE:EH siue ΓΒ: EH» AH: AB; itaque D4»xBA45EZ»«HA4 propler primum lemma |prop. 1l sed A AIAd-kV4IdxBAÀA,AAEZ—1EZ-«HA [Eucl. I, 41]; quare etiam 4I AEZ. itaque 4 ΓΖ eliam omnibus triangulis bases habentibus rectae EZ aequales ideoque aequalibus [prop. III] maior est. et eodem modo demonstrabimus etiam in reliquis sectio- nibus extra axem. ergo triangulus per axem maxi- mus est. VI. Licet idem aliter quoque uniuersalius demonstrare, omnino triangulorum, qui maiorem habeat basim, maiorem esse. secto enim cono effecti sint trianguli AI, AZ 4A, iia ut bases ΓΖ, Ζ4 in termino 7f concurrant, sitque ici» p. ὅὄὅ. τῇ OH] βάσει τῇ HO p. ὡς] καὶ ὡς p. 9. Post EH (alt.) add. τουτέστι ἡ Γά πρὸς EZ Halley cum Comm. .10. ἤπερ] εἴπερ c. AH] HA p. τὸ ἄρα — 11. HA] cp, bis V. 11, ΒΑ] 6 corr. p. 18. ἐστι — ἥμισυ] mg. p (xei- μενον). 14. Ante τό del. ἐστι p. AEZ] EZ in ras. p. 16. 4EZ] AEZ τριγώνου p. 19. τρίγωνον] cp, τριγώνου V. 26. ἔστω] ἐστι Vcp, corr. Halley cum Comm. Serenus Antinoensíis, ed. Heiberg. 9 130 ΠΕΡῚ KONOT TOMH. εἶτε διὰ τοῦ κέντρου οὖσα εἴτε μή. λέγω, ὅτι vb ATA τοῦ 424 μεῖξόν ἐστιν. ἤχϑωσαν ἐπὶ τὰς Z4, I4 κάϑετοι αἱ 48, AH, ἐπὶ δὲ τὴν 44 ἡ ΒΘ. ἐπεὶ οὖν I4 τῆς Z4 μείξων 6 ἐστί, καὶ ἡ ἡμίσεια ἄρα ἡ ΒΩ τῆς 4H μείξων" τὸ ἀπὸ Β4 ἄρα τοῦ ἀπὸ 4H μεῖξόν ἐστι. λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΑ λοιποῦ τοῦ ἀπὸ ΑΗ ἔλαττόν ἐστι" τὸ ἄρα ἀπὸ 48 πρὸς τὸ ἀπὸ Β4 ἐλάττονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ ἀπὸ AH πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΖ. ἀλλ᾽ ὡς τὸ ἀπὸ AB 10 πρὸς τὸ ἀπὸ B, οὕτως ἡ 4€ πρὸς 6,1: καὶ $j 40 ἄρα πρὸς 0): ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ AH πρὸς τὸ ἀπὸ Η 4. γενέσϑω, ὡς τὸ ἀπὸ AH πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΖ, οὕτως ἡ 4Κ πρὸς ΚΖ, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ HK: κάϑετος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΗΚ ἐπὶ τὴν A44, ὡς 16 δειχϑήδεται. καὶ ἐπεὶ ὑπόκειται ἡ AB τῆς Β4 οὐκ ἐλάττων, ἥτοι μείξων ἐστὶν ἡ AB τῆς B ἢ ἴση. ἔστω πρό- τερον μείξων᾽ μείξων ἄρα καὶ ἡ 4 τῆς 644. τετμήσϑω ἡ 44 δίχα κατὰ τὸ 4. ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ὑπὸ 4€, 04 20 τοῦ ἀπὸ 4.4 ἔλαττόν ἐστι τῷ ἀπὸ 40, τὸ δὲ ὑπὸ AK, KA τοῦ ἀπὸ 4:11 ἔλαττόν ἐστι τῷ ἀπὸ AK, καί ἐστι μεῖξον τὸ ἀπὸ AK τοῦ ἀπὸ 40, μεῖξον ἄρα τὸ ὑπὸ 40, 04, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΒΘ, τοῦ ὑπὸ AK, KA, τουτέστι τοῦ ἀπὸ HK: ἡ ΘΒ ἄρα ustov τῆς ΗΚ. 26 καί εἰσιν αἱ BO, HK ὕψη τῶν ABA, AHA τριγώνων" μεῖξον ἄρα τὸ 484 τοῦ 4 H4: ὥστε καὶ τὰ διπλάσια" 2. τοῦ --- ἐστιν] μεῖξόν ἐστι τοῦ 424) (Z corr. ex I) p. 5. μείξων] μείζων ἐστί p. 6. ἀπό (pr)] ἀπὸ τῆς p, ut semper. 8, ἐλάττονα λόγον] p, ἔλαττον ἀνάλογον Vc. 9. H 4] Vp, Nd c. 11. τό] Vp, τά c. 20. ὑπό] sic p. 21. τῷ] P *ó Vc. 234, 9B] BO p. μείξων] μείξων ἐστί c. DE SECTIONE CONI. 131 I4»Z2 siue per centrum ducta siue non per cen- irum. dico, esse AI 4Z.. dueantur ad Z 7f, ΓΖ perpendiculares 4B, 4H, ad 44 autem ΒΘ. quoniam igitur ΓΖ» ZZ, erit etiam dimidia BZ 7 4 H; quare BA? 4 H*. itaque quod relinquitur [ Eucl. I, 41] BA? — AH*?; quare enit A4 B*: Bf? — AH?:H 4). uerum A4B': B1? — 40:047 quare etiam 40:04-— AH*: H*. fiat AK: KA — AB HA, dueaturque HK; etiam HK igitur ad 44 per- pendieularis est, ut de- monstrabitur [prop. VII]. el quoniam supposuimus [p. 126, 18], non esse AB « BA, erit aut 4B» B4 aut 4B — ΒΖ. sit pnus 4B — B4; itaque etiam 40 — ΘΖ. iam 44 In 4 in duas partes aequales secetur. quoniam igitur 405« 64 — A* — A0? et AK 5« Kl — 442 —— AK? [Eucl.IL,5], et 4K?— 40?, erit 402«0647 AK»« KA siue [Eucl. VI, 8 coroll.] B9? — HK?; itaque 9B HK. et ΒΘ, ΗΚ altitudines sunt triangulorum 4 ΒΖ, AH; itaque 482.» AH [cfr. Eucl. VI, 1]; quare etiam 1) Nam 46 : ΘΖ — 46? : ΒΘ" [Eucl. VI, 8 coroll.; V def. 9], εἰ 48? : B8? — AB? : ΒΔ (Eucl. VI, 8, 4]. 9* 5 10 15 20 26 132 ΠΕΡῚ KSNOT TOMHEZ. τὸ ἄρα 4I τοῦ 424 μεῖξόν ἐστιν. ἀλλὰ τῷ AZ A ἴσον ἕκαστον, οὗ ἡ βάσις ἴση ἐστὶ τῇ Z4: τὸ ἄρα 4 ΓΖ παντὸς τριγώνου μεῖξόν ἐστιν, οὗ ἡ βάσις ἴση ἐστὶ τῇ Z4. εἰ 03 ἡ AB τῇ BA ἴση, ἴση ἄρα καὶ ἡ 4Θ τῇ 84 ὁμοίως ἄρα τὸ ὑπὸ 4, ΘΖ. τουτέστι τὸ ἀπὸ ΒΘ, μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ AK, K 4, τουτέστι τοῦ ἀπὸ ΗΚ. ἡ ἄρα BO μείξων ἐστὶ τῆς KH, καὶ τὸ ABA τρί- yovov τοῦ 4 ΗΖ τριγώνου μεῖξον. ὁμοίως δὲ δειχϑή- ὅὄεται, κἂν ἄλλας βάδεις διαγάγωμεν" ὥστε τὸ οὕτως ἔχον μείξονα βάσιν τρίγωνον ucitóv ἐστι τοῦ ἔχοντος ἐλάσσονα. ξ΄. Ὅτι δὲ ἡ ΗΚ κάϑετός ἐστιν ἐπὶ τὴν 44, δείκνυται οὕτως. τριγώνου γὰρ ὀρϑογωνίου τοῦ 4H. διῃρήσϑω ἡ βάσις ὑπὸ τῆς ΗΚ, ὥστε εἷναι, ὡς τὸ ἀπὸ AH πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΖ. οὕτως τὴν AK πρὸς KA. λέγω, ὅτι κάϑετός ἐστιν ἡ ΗΚ ἐπὶ τὴν 44. εἶ γὰρ μή. ἔστω ἡ H4 κάϑετος" ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ HA πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΖ. οὕτως ἡ 4.4 πρὸς τὴν A4. ἦν δέ, ὡς τὸ &xó 4H πρὸς τὸ ἀπὸ H4, οὕτως ἡ AK πρὸς ΚΩ͂ ἔσται ἄρα, ὃς ἡ 4.4 πρὸς 444, οὕτως ἡ AK πρὸς ΚΩ͂ ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα κάϑετός ἐστιν ἡ HA. ὁμοίως δὲ δείκνυται, ὅτι οὐδὲ ἄλλη πλὴν τῆς HK: ἡ ἄρα HK κάϑετός ἐστιν ἐπὶ τὴν A A. 1. 4Γ4 — ἐστιν] 4 ΓΖ μεῖξόν ἐστι τοῦ 424 p. τοῦ -- 3. 4 ΓΖ] om. c. 2. τὸ ἄρα --- 4. Z4] om. p. 8. ΒΘ] p, ABO Vc. KH])HKp. 18. ξ7 », mg.m.rec. V. 16. AH 4] AHA ὀρϑὴν ἔχοντος τὴν πρὸς τῷ H γωνίαν p. 171. βάσις] τὴν ὀρϑὴν γωνίαν ὑποτείνουσα τουτέστι(ν) ἡ 4d p. AH] HAp. DE SECTIONE CONI. 133 dupla; itaque 4I471— 424. uerum irangulo 4Z 4 aequales sunt omnes trianguli, quorum bases aequales sunt rectae Zf. ergo 4171 maior est omni triangulo, eujus basis aequalis est rectae ZZ. sin 4 B — ΒΖ, erit etiam 40 — 01; eodem igitur modo [Eucl. II, 5] 40 »« ΘΩ͂» AK »« ΚΩ͂ sue [ἔπε]. VI, 8 coroll] ΒΘ ^» ΗΚ". itaque BO ^ KH et Δ ABA AH. similiter autem demonstrabitur etiam, si alias bases duxerimus; quare triangulus ita basim habens maiorem maior est triangulo minorem habenti. VII. Uerum HK ad 42 perpendicularem esse, ita de- monstratur. nam irianguli rectangulh 41H71 basis ab HK ita dividatur, αὖ sit 4H?: Hf? — AK: ΚΩ͂. dico, HK ad 471 perpendicularem esse. nam si minus, sit HA per- H pendieularis; quare EZ Tr A 4 p.191 not] erat autem 4 4Η5: Η.4"-- AK: ΚΖ; Kaque 4.4: 442 — AK: ΚΩ͂; quod absurdum est. itaque H4 perpendicularis non est. similiter autem demonstratur, ne aliam quidem praeter H K perpendi- eularem esse; ergo H K ad 44 perpencieuure est. — —— — ———— ΒΟΓ, p. 29. ἦν — 24. ΚΔ mg. m. 1 j ἀρείμενονν 22. δέ] δὲ xol p. 28. K4] KA p. AA] 4 A4] KA p. οὕτως] om. p. 24. AK] 44A p. x AA p. ἄρα] ἄρα ἡ HA p. 295.75 HA] ἐπὶ τὴν 44 p. δείχνυται] δειχϑή- σεται p. ἄλλῃ] ἄλλη τις p. ἡ ἄρα HK] ἡ HK ἄρα p. 10 15 20 2b 134 ΠΕΡῚ K9NOT TOMHZ. η΄. Ἐὰν ἐν κώνῳ ὀρϑῷ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον μέγιστον T, πάντων τῶν ἐχτὸς τοῦ ἄξονος συνισταμένων τριγώνων. ὁ ἄξων τοῦ κώνου οὐκ ἐλάσσων ἔσται τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως. ἔστω κῶνος, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ 4, ἄξων δὲ ἡ AB εὐθεῖα, βάσις δὲ ὁ περὶ τὸ B κέντρον κύκλος. τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ AI μέγιστον ὃν πάντων τῶν ἐν τῷ κώνῳ συνισταμένων τριγώνων ἐκτὸς τοῦ ἄξονος. λέγω, ὅτι ἡ 4B οὔκ ἐστιν ἐλάττων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ἐλάττων. καὶ ἤχϑω ἐν τῷ κύκλῳ πρὸς ὀρϑὰς vij ΓΖΩ͂ ἡ BE. καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ABE γωνία ὀρϑή ἐστιν, ἡ ἄρα τὰ A4, E σημεῖα ἐπι- ξευγνύουσα εὐϑεῖα μείζων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς BE. ἐὰν ἄρα ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἀπὸ τοῦ A4 ὑπὸ τῇ ὑπὸ 4 B E γωνίᾳ ἐναρμοσϑῇ, μεταξὺ πεσεῖται τῶν B καὶ E σημείων. ἐνηρμόσϑω ἡ AZ ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, καὶ διὰ τοῦ Ζ παρὰ τὴν I ἤχϑω ἡ HO, καὶ ἐπε- ξεύχϑω ἡ ΒΗ͂' γενήσεται δή, ὡς ἐν τῷ ε΄ ϑεωρήματι ἐδείχϑη,. τὰ 4BZ, ΗΒΖ τρίγωνα Ouow, καὶ ἴσαι αἱ ὁμόλογοι, καὶ ὡς ἡ Z.4 πρὸς 4B, οὕτως ἡ BH πρὸς ΗΖ, τουτέστιν ἡ ΓΒ πρὸς ΗΖ. τὸ ἄρα ὑπὸ 48, ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ 42, ZH, τουτέστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ AHO τριγώνῳ᾽ ὅπερ ἀδύνατον᾽ 1. η p et mg. m. rec. V, om. Vc, et sic deinceps. 42. ἐν] om. c. 6. Post οὗ del. βάσις m. 1c. 14. σημεῖα] om. p. 16. τῇ ὑπό] scripsi, τὴν ὑπό p, vo Vc. 17. γωνίᾳ] γωνίαν p. 19. Z] e corr. p. 20. BH] H9 p. 22. ὁμόλογοι] ὁμό- λογοι πλευραί p. Α48]7 vep, corr. ex 40 m. 1. οὕτως] om. p. 24. AZ] Ζ e corr. p. ZH]p, SN Voc. vovt- ἔστι] τοῦτό ἐστι c. 2ῦ. ἀδύνατον) &- e corr. p. DE SECTIONE CONI. 135 Si in eono recto triangulus per axem ductus maior esí omnibus triangulis extra axem construetis, axis coni radio basis minor non erit. sil conus, culus uertex sit 44, axis autem .4 B recta, basis autem circulus cireum B centrum descriptus, eti E triangulus per axem duc- tus 4171 maior omnibus triangulis in cono extra axem consiructis. dico, AB radio minorem non esse. nam si fieri potest, sit minor, ducaturque in circulo ad I7/ perpendi- cularis BE. et quoniam angulus 4 B E rectus est [Eucl. XI def. 3], recta puncta 4, E coniungens maior est radio BE [Eucl. I, 19]. itaque si ab 4 sub angulo ABE recta inseritur radio aequalis, Inter puncta B, E cadet. inseratur A4/Z radio aequalis, et per Z rectae [ΓΖ] parallela ducatur HO, ducaturque BH; itaque, ut in prop. V demonstratum est, trianguli A4ABZ, HBZ similes fiunt [Eucl VI, 7], et latera correspondentia aequalia erunt, et Z4: AB— BH:HZ -- ΓΒ: ΗΖ. llaqe 4B »« BI'— 432 ;»« ZH, h. e. triangulus per axem ductus aequalis est triangulo 4H 0; quod fieri 136 ΠΕΡῚ K9NOT TOMHX. ὑπόκειται γὰρ τὸ 4 ΓΖά μέγιστον εἶναι. οὐκ ἄρα ἡ AB ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου. 9. Κῶνον óg8óv, οὗ ὁ ἄξων οὔκ ἐστιν ἐλάττων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάδεως. τεμεῖν διὰ τῆς κορυφῆς ἐπιπέδῳ ποιοῦντι τρίγωνον λόγον ἔχον δεδομένον πρὸς τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον. δεῖ δὴ τὸν διδόμενον λόγον ἐλάττονος εἶναι πρὸς μεῖξον. ἔστω κορυφὴ μὲν τοῦ κώνου τὸ 4, βάσις δὲ ὃ περὶ 10 τὸ B κέντρον κύκλος, τὸ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ATA, ἐν ᾧ κάϑετος ἡ AB ἐστι. δεῖ δὴ τὸν κῶνον τεμεῖν τριγώνῳ, ὃ λόγον ἕξει πρὸς τὸ AI τὸν ἐπι- ταχϑέντα᾽ ἐπιτετάχϑω δὲ ὁ τῆς K ἐλάττονος πρὸς μείξονα τὴν 4 λόγος. 16 ἐπεὶ τὸ 484] ὀρϑογώνιόν ἐστι, γεγράφϑω περὶ αὐτὸ ἡμικύκλιον, καὶ ἀπὸ τοῦ B κάϑετος ἤχϑω ἡ BE, καὶ ὡς ἡ K πρὸς 4, οὕτως ἔστω ἡ ΖΕ πρὸς EB, καὶ διὰ τοῦ Ζ παράλληλος ἤχϑω τῇ ΕΔ ἡ ΖΗ, διὰ δὲ τοῦ Η τῇ ΖΕ παράλληλος ἡ ΗΘ' ἴση ἄρα ἡ ΖΕ 20 τῇ ΗΘ. ἐπεὶ οὖν, ὡς ἡ K πρὸς 4, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς EB, τουτέστιν ἡ OH πρὸς BE, ὡς δὲ ἡ 6H πρὸς BE, οὕτως τὸ ὑπὸ HO, 44] πρὸς τὸ ὑπὸ BE, 44, ὡς δὲ τὸ ὑπὸ HO, 441 πρὸς τὸ ὑπὸ BE, A4, οὕτως τὰ ἡμίδη τὸ 4H τρίγωνον πρὸς τὸ ABA, 26 ὡς ἄρα ἡ K πρὸς 4, οὕτως τὸ 441 H πρὸς τὸ 4B4f σι 4, ὁ] om. p. 7. δή] p, δέ Vc. δεδομένον p. — 8. ἐλάττο- vog] p, ἐλάττονα V c. 9. ὁ] om. c. 10. κύκλος] vcp, -ος euan, V, add. m. rec. 18. δέ] δή». 16. ἐπεί] xol ἐπεί p. ABZ]|vcp, 4 posteains.m.1 V. 11. ΚΊ KAc. 22. οὕτως] οὕτω p, ut semper ante consonantes. 4{4Π vcp, 4 euam. V. 23. 4.1 (tert.)| 4 e corr. p. 24. τό - τουτέστι τό (-Ó e corr.) p. 484 B corr. ex Z p. 26. ὡς — AB.4] om. p. . DE SECTIONE CONI. 137 non potest; supposuimus enim, 4171 maximum esse. ergo 4B radio minor non est. IX. Conum rectum, euius axis radio basis minor non esi, per uerticem secare plano triangulum efficienti, qui ad triangulum per axem ductum rationem datam habeat. oportet autem, datam rationem esse minoris ad maius [prop. V]. sib uertex coni 4, basis autem circulus circum B centrum descriptus, triangulus autem per axem ductus ATA, in quo 4 B perpendi- eularis est. oportet igitur conum secare triangulo, qui ad 4I rationem habeat datam; data autem sit ratio K minoris àd 4 maius. quoniam .4BZ rect- angulus est, circum eum de- scribatur semicirculus, et 8 B perpendicularis ducatur BE, sitque ZE: EB — K: 4, el per Z rectae Ez par- alela ducatur ZH, per H autem rectae ZE parallela H8; itaque ZE — ΗΘ [Eucl. I, 84]. quoniam igitur K:A-— ZE: EB— OH: BE, et ΘΗ: BE — ΗΘ»« 44: BE» AA, et ut HO »5« 44: BE»« A4, ita dimidia A AHZf: ABA, ent Κα: 4 — 44H: ABZ; itaque 4HZ ad ABZ in 138 ΠΕΡῚ ΚΩΝΟΎ TOMHE. τὸ 4H4 ἄρα πρὸς τὸ 484 ἐν τῷ δοϑέντι λόγῳ ἐστίν. ἐὰν οὖν ἐν τῇ βάσει τοῦ κώνου ἐναρμόσωμεν διπλῆν τῆς ΗΖ καὶ διὰ τῆς ἐναρμοσϑείσης καὶ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου τὸ ἐπίπεδον ἐκβάλωμεν. ποιήσει ὅ τρίγωνον ἐν τῷ κώνῳ διπλάσιον τοῦ AH. σχήσει ἄρα τὸ συνιστάμενον τρίγωνον πρὸς τὸ 4 ΓΖ λόγον, ὃν τὸ AH 4 ἔχει πρὸς 4. Β4,, τουτέστιν ὃν ἡ K πρὸς A. , ε΄. Eàv κῶνος ὀρϑὺς διὰ τῆς κορυφῆς ἐπιπέδοις τμηϑῇ 10 τῷ μὲν διὰ τοῦ ἄξονος, τοῖς δὲ ἐκτὸς τοῦ ἄξονος, τῶν ὃὲ γενομένων τριγώνων ἐκτὸς τοῦ ἄξονος Ev ὁτιοῦν ἴσον ἦ τῷ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνῳ, ὃ τοῦ κώνου ἄξων ἐλάττων ἔσται τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως. τμηϑέντος γὰρ τοῦ κώνου γενέσϑω τρίγωνα διὰ i5 μὲν τοῦ ἄξονος τὸ AI, ἐκτὸς δὲ τὸ 4ΕΖ ἴσον ὃν τῷ AI, ἔστω δὲ παράλληλος ἡ ΕΖ τῇ I4 καὶ καϑ- evo, αἱ 48, AH, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ BE, BH. λέγω δή, ὅτι ἡ 4B 6 ἄξων ἐλάσσων ἐστὶ τῆς B & τοῦ κέντρου. 20 ἐπεὶ τὸ AEZ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ AI, καὶ τὰ διπλάσια ἄρα, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖ, HA ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ I, BA ὡς ἄρα ἡ I1 πρὸς EZ, τουτ- ἔστιν ἡ ΓΒ πρὸς EH, τουτέστιν ἡ ΒΕ πρὸς EH, οὕτως ἡ ΗΑ πρὸς AB. ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνα τὰ 205 BEH, HAB μίαν γωνίαν τὴν ὑπὸ EHB μιᾷ γωνίᾳ 4. ἐκβάλωμεν] cp, ἐκβαάλλωμεν Vv. 6. AH 4] p, 484 Ve. 6. τρίγωνον] τρίγωνον τὸ διπλάσιον τοῦ AH 4 p. πρὸς τὸ Al] supra scr. p. 7. πρός (8lt.)] om. c. 12. 2] P ἐστι Vc, ἔστω Halley. 18. ἐλάττων] ἐλάσσων c. τῆς (alt)] om. c. 18. δ] τουτέστιν Ó p. ἐκ) τῆς éx« p. — 20. ἐπεί] Vo, ἐπεὶ οὖν p. ἴσον] vcp; om. V, mg. m. 1 7: Ícov. 21. rovz- DE SECTIONE CONI. 139 dala ratione est. quare si in basi coni inserimus reciam duplo maiorem recta H1 et per insertam uerüicemque coni planum ducimus, in cono efficiet inangulum duplo maiorem quam 4H. ergo ir angulus ita constructus ad 44171 rationem habebit, quam 4H: 4384 siue K: 4A. X. Si conus rectus per uerticem planis secatur, uno per axem, alüs autem exira axem, et iriangulorum extra axem effectorum aliquis triangulo per axem ducto aequalis est, axis coni minor erit radio basis. secto cono effecti sint irianguli, per axem 414, exira eum autem AE Z iriangulo AI aequalis, sit autem EZ rectae ΓΖ parallela perpendicu- laresque 4 B, 4 H, et ducantur BE, BH. dico, axem 4B mi- norem esse radio B4. quoniam A AEZ — AI, eliam dupla, h. e. EZ» HA -- ΓΖΩ »« ΒΑ; quare DA: ΕΖ-ΞΞ ΗΑ: AB— ΓΒ: EH -- BE: EH. quoniam igitur duo triaxgudh BEH, HA4B unum ἐστι] ἴσον ἄρα ἐστί p. ἴσον ἐστί] om. p. 22, ΕΖ] τὴν EZyp. 28. EH (utrumque)] τὴν EH p. CQ 10 1 2 2 CQ 0 Qx 140 ΠΕΡῚ KSONOT TOMBE. τῇ ὑπὸ 4BH ἴσην ἔχει" ὀρϑὴ yàg ἑκατέρα" περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, ἑκατέρα δὲ τῶν λοιπῶν τῶν ὑπὸ EBH, AHB ἐλάττων ἐστίν ὀρϑῆς, ὅμοια ἄρα ἐστὶ τὰ τρίγωνα. ὡς ἄρα ἡ ΕΗ͂ πρὸς HB, οὕτως ἡ 4B πρὸς HB: ἴση ἄρα ἡ 4B τῇ ΕΗ. ἐλάτ- των δὲ ἡ EH τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς BE: καὶ ἡ AB ἄρα ἄξων οὖσα τοῦ κώνου ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ὃ προέκειτο δεῖξαι. ἐπεὶ τοίνυν ἐδείχϑη ἐπὶ παραλλήλων τῶν ΓΖ, EZ, φανερόν, ὧς, κἂν μὴ παράλληλοι ὦσιν, οὐδὲν διοίσει" ἐδείχθη γάρ, ὡς τὰ ἴσας ἔχοντα βάσεις τρίγωνα ἴσα ἐστί. , e. Τῶν αὐτῶν ὄντων δεικτέον, ὅτι, ἐὰν διαχϑῇ πάλιν ἐπίπεδον τέμνον τὸν κῶνον διὰ τῆς κορυφῆς καὶ ποι- obv ἐν τῇ βάσει εὐθεῖαν τῷ μεγέϑει μεταξὺ τῶν βά- 6:ov τῶν ἴσων τριγώνων, ἐκεῖνο τὸ τρίγωνον μεῖξον ἔσται ἑκατέρου τῶν ἴσων τριγώνων. ἔστω γὰρ ἐπὶ τῆς ὁμοίας καταγραφῆς τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ 4 ΓΖ ἴδον τῷ βάσιν ἔχοντι τὴν ΕΖ, καὶ διήχϑω τυχοῦσα ἡ K M μεγέϑει μεταξὺ τῶν ΓΖ, EZ καὶ ἑκατέρᾳ αὐτῶν κείσϑω παράλληλος, καὶ διήχϑω τὸ ἐπίπεδον. λέγω δή, ὅτι τὸ 4 ΚΜ τρίγωνον μεῖξόν ἐστιν ἑκατέρου τῶν 4Γ4, AEZ. τετμήσϑω γὰρ πάλιν δίχα ἡ KM τῷ 4, καὶ ἐπε- ξεύχϑωσαν αἱ 4.4. BK, B. ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ATA —M— .. .. ΟἼ᾿ο--.-. 1. 4ΒΗῚ AHB c. 8. EBH] EHB Vocp, corr. Comm. 5. HB] BH p. 7. ἐλάττων] p, ἔλαττον Vc. 8. κέντρου] cOrr. ex κώνου m. 1 c. Ó — δεῖξαι] V, om. cp. 11. τὰ τάς C. ἴσας} corr. ex ἴσα m. 1 p. 921. μεταξύ] bis p, se DE SECTIONE CONI. 141 angulum uni angulo aequalem habent / EH B — ABH (uterque enim rectus) et circum alios angulos latera proporüonalia, et uterque reliquorum EBH, AHB reco minor est, irianguli similes sunt [Eucl. VI, 7]. ilaqe EH: HB — AB: HB [Eucl. VI, 4]; quare AB — EH [Eucl.V,9]. uerum EH « BE [Eucl.1,19]; ergo eliam 4B axis coni minor est radio; quod opor- tebat demonstrare. quoniam igitur in parallelis ΓΖ, EZ demonstratum esi, manifestum, etiam si parallelae non sint, nihil interesse; demonstratum enim [prop. III], triangulos aequales bases habentes aequales esse. XI. lisdem positis demonstrandum, si rursus planum ducatur conum secans per uerticem et in basi efficiens reciam magnitudine mediam inter bases triangulorum aequalium, triangulum illum maiorem fore utroque inangulo aequali. sib enim in figura eadem triangulus per axem ductus 41'1 aequalis triangulo basim habent EZ, dueaturque recta aliqua K M magnitudime media inter I4, EZ et utrique earum parallela ponatur, ducatur- que planum. dico, triangulum 4K M maiorem esse utroque 4I, AEZ. nam rursud KM puncto “ in duas partes aequales secetur, ducanturque 44 4, BK, B 4. quoniam corr, 22. ἑκατέρᾳ] ἑκάτεραι V, ἑκάτερ c. 28. δή] om. p. 24. ἑκατέρου τῶν] in ras. p. 25. 4] p, 4 Vc. 26. éz& ἐπεὶ οὖν p. 142 ΠΕΡῚ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗ͂Σ. τρίγωνον τῷ AEZ τριγώνῳ, ἡ ἄρα 48 τῇ EH τῇ ἡμισεία τῆς ΕΖ ἴση ἐστίν, ὡς ἐν τῷ πρὸ τούτου συν- απεδείχϑη. μείξων δὲ ἡ KA τῆς ΕΗ’ καὶ τῆς AB ἄρα μείξων ἐστὶν ἡ Κα. κείσϑω οὖν τῇ ΚΑ ἴση ἡ 5 ΒΝ, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ ΑΝ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ τοῖς προ- εἰρημένοις ἔσται τὸ BK τρίγωνον τῷ ANB τριγώνῳ ἴσον τε καὶ ὅμοιον᾽ ὡς ἄρα ἡ ΒΚ πρὸς K 4, τουτέστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς Κὶ44, τουτέστιν ὡς ἡ I4 πρὸς KM, οὕτως ἡ ΜΝ πρὸς NB. ἡ ὃδὲ AN πρὸς NB ἐλάτ- 10 τονὰ λόγον ἔχει ἥπερ ἡ 4.4 πρὸς 48’ καὶ ἡ ΓΖ ἄρα πρὸς KM ἐλάττονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ 4.4 πρὸς AB. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ. BA ἔλασσόν ἐστι τοῦ ὑπὸ KM, 4.4, τουτέστι τὸ 4 ΓΖ ἔλαττόν ἐστι τοῦ AKM: μεῖξον ἄρα τὸ Α ΚΜ τοῦ 4 ΓΖ. 18 τὸ αὐτὸ δὴ δείκνυται καὶ ἐπὶ πάντων, ὧν ἡ βάσις μεγέϑει μεταξύ ἐστι τῶν I καὶ EZ: οὐδὲν δὲ διοίδει, κἂν μὴ παράλληλοι ὦσιν αἱ βάσεις. ὡς καὶ πρότερον ἐδείχϑη. ιβ΄. 20 Τὸν δοϑέντα κῶνον óg0óv, οὗ ὃ ἄξων ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως. τεμεῖν διὰ τῆς κορυφῆς, ὥστε τὸ γινόμενον τρίγωνον ἴσον εἶναι τῷ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνῳ. ἔστω ὃ δοθεὶς κῶνος, οὗ ἄξων μὲν ó 48, τὸ δὲ 25 διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ Al, καὶ δέον ἔστω e 2. πρό] veQt p. 5. ΜΝ] AN p. δή) -ἥ 6 οοΥτ. Ρ. 0. ANB] 4NB Vc, ANB p, corr. Comm. 9. AN (utrumque) AN p. 10. καὶ ἡ ΓΖ — 11. πρὸς AB] Vv, om. ep. 12. ΓΖ, ΒΗ ΓΒ, AB p. 18. ἔλαττον) ἔλασσον p. τοῦ] p, τό Vc. 16. ue p, & Vc. δέ] γάρ p. 20. τόν] p, om. Vc. ἐλάττων) comp. p, ἔλαττον Vc. DE SECTIONE CONI. 143 A AI'4 — AEZ, erit 4B-—34 EZ -— EH, ut in prae- cedenii simul demonstratum est [p. 140, 5]. uerum K A 7 EH [Eucl. III, 15]; quare etiam | KA AB. ponatur igitur BN — K A, ducaturque 4N. ita- que eadem de causa, qua in praecedentibus [ Eucl. I, 4], triangulus BK 4 iriangulo 4NB aequalis est et similis; quare [Eucl. VI, 4] BK:KA4-4N:NB - ΓΒ: ΚΑ-- ΓΖ: ΚΜ. uerum AN:NB«44:AB [prop. IT]; quare etiam ΓΖ: KM — 44:44B. itaque I4» BA- KM»« 44 [prop.I], ue 4I — AK M. ergo 44K M ^ ALDA. idem igitur demonstratur etiam in omnibus, quo- rum basis magnitudine media est inter ΓΖ et EZ; nec intererit, etiam si bases parallelae non fuerint, ut lam antea [p. 140, 9.sq.] demonstratum est. XII. Datum conum rectum, cuius axis minor sit radio basis, per uerticem ita secare, ut triangulus effectus inangulo per axem ducto aequalis sit. 81} datus conus, cuius axis sit 4 B, triangulus autem 10 15 20 144 ΠΕΡῚ KONOT TOMHZ. τεμεῖν τὸν κῶνον ἐπιπέδῳ ποιοῦντι τρίγωνον ἐν τῷ κώνῳ ἴδον τῷ 4 ΓΖ. ἤχϑω τῇ ΓΖΔ ἐν τῷ κύκλῳ πρὸς ὀρϑὰς διὰ τοῦ κέντρου ἡ EBZ. καὶ ἐπεὶ ἡ AB ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἔκ τοῦ κέντρου. ἐνηρμόσϑω ἡ 4H ὑποτείνουσα μὲν τὴν ὑπὸ 4BZ γωνίαν, ἴση δὲ οὖσα τῇ ἐκ τοῦ κέντρου" τοῦτο Ó$ ῥάδιον ποιῆσαι" καὶ διὰ τοῦ Η παράλληλος τῇ ΓΖ ἤχϑω ἡ ΘΗΚ' ἡ ΘΗΚ ἄρα κατὰ τὸ H δίχα τέτμηται καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΕΒΖ. διεκβεβλήσϑω τὸ διὰ τῶν ΘΚ, H A ἐπίπεδον ποιοῦν τὸ 40 Καὶ τρίγωνον. λέγω, ὅτι τὸ 40 K τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ALTA. ἐπεξεύχϑω ἡ ΒΘ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ AH τῇ B6, ὡς ἄρα ἡ 4H πρὸς HB, οὕτως ἡ ΘΒ πρὸς HB. ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνα τὰ BOH, HAB μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχει' ὀρθαὶ γὰρ αἴ ὑπὸ OHB, ABH: περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον. καὶ τὰ λοιπά, ὅμοια ἄρα τὰ ΒΘΗ͂, HAB τρίγωνα ὡς ἄρα ἡ ΒΘ πρὸς ΘΗ, τουτέστιν ὡς ἡ ΓΖ4 πρὸς ΘΚ, οὕτως ἡ HA πρὸς AB. τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΖ, B.A ἴσον τῷ ὑπὸ OK, H 4: καὶ τὰ ἡμίδεα. τὸ 4I τρίγωνον ἄρα ἴδον ἐστὶ τῷ 40 K τριγώνῳ᾽ ὕπερ ἔδει ποιῆσαι. ιγ΄. Ἐὰν κῶνος óg906 διὰ τῆς κορυφῆς ἐπιπέδοις τμηϑῇ; τῶν δὲ γενομένων ἐν τῷ κώνῳ τριγώνων τινὸς ἡ ἀπὸ 1. τόν] vcp, corr. ex τό m. 1 V. 2. AI'4] ἀπὸ D'4 Vc, ἀπὸ τῆς I4 p, corr. Comm. 9. τῇ] ἐστι τῇ p. 12. ἴση) ἴση ἐστίν p. B6 (alt.)] 6B p. 18. HB (alt.)] BH p. 14. ΒΘΗῚ Becorr. p BHO c" HAB] ΑΒΗ p. 15. αἱ] p, om. Vc. ΘΗΒῚ HB e corr. p. 16. περί7 cp, comp. V, sagt v. 11. HAB] ABH y. 18. ΘΗ] 6 X? p. 19. H ΑἹ corr. ex HB p. ἴσον) ἴσον ἐστί p. 20. τό -- ἄρα] τὸ ἄρα AI. τρίγωνον p. — 21. τριγώνῳ --- ποιῇσαι) om. p. DE SECTIONE CONI. 145 per axem ductus 4174, et oporteat conum secare plano triangulum in cono efficienti triangulo 4171 aequalem. dueatur in circulo per centrum ad ΓΖ perpendicu- lans EB Z. et quoniam 4B minor est radio, inseratur AH sub angulo 4BZ subtendens radioque aequalis; hoc autem facile fit; et per H rectae I1 parallela du- catur OHK; iaque OHK in H ab EBZ in duas partes aequales οὖ perpendiculariter secta est [Eucl. I, 29; III, 3]. ducatur pla- num per O K, H 4 iri- angulum efficiens 40K. dico, esse triangulum 49 K — 4 ΓΖ. ducatur BO. quoniam igitur 4H — BO, erit ΔΗ: ΗΒ -—0B:HB [Eucl. V, 1]. quoniam igitur duo trianguli B 9H, H.4B unum angulum uni angulo aequalem habent (nam uterque 9 HB, ABH rectius est) et circum alios angulos latera proportionalia, et cetera, trianguli B6 H, H 4 B similes sunt [Eucl. VI, 1]; quare [Eucl. VI, 4] ΒΘ: ΘΗ — H4: AB — Γ4:Θ Κ. iiaque ΓΖ »« ΒΑ — OK »« H4 [Eucl. VI, 16]; et eliam dimidia. ergo Δ 4“ — 40K; quod erat demonstrandum. XIII. Si conus rectus per uerticem planis secatur, ali- euius autem triangulorum in cono effectorum recta a Serenus Antinoensis, ed. Heiberg. 10 10 1ὅ 20 2 Ox 146 ΠΕΡῚ K9SNOYT TOMBHBZ. τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάϑετος ἴση ἧἦ τῇ ἡμισείᾳ τῆς βάσεως, τοῦτο μεῖζον ἔσται πάντων τῶν ἀνομοίων ἐν τῷ κώνῳ τριγώνων. ἐν γὰρ κώνῳ ὀρϑῷ τρίγωνον ἔστω τὸ AIA ἔχον τὴν AB κάϑετον ἴσην τῇ Β4 ἡμισείᾳ οὔσῃ τῆς L4 βάσεως. λέγω, ὅτι τὸ AI τρίγωνον μεῖξόν ἐστι πάντων τῶν ἀνομοίων ἐν τῷ κώνῳ συνισταμένων τρι- γώνων. εἰλήφϑω γὰρ ἄλλο τυχὸν τρίγωνον ἀνόμοιον αὐτῷ τὸ 4ΕΖ. ἐν à κάϑετος ἡ 4H, καὶ ἀπὸ μὲν τοῦ B ἐπὶ τὴν 44 κάϑετος ἤχϑω ἡ ΒΘ, ἀπὸ δὲ τοῦ H ἐπὶ τὴν AZ κάϑετος ἤχϑω ἡ HK. ἐπεὶ ἀνόμοιόν ἐστι τὸ 4Γ4 τῷ AEZ, ἀνόμοιον ἄρα καὶ τὸ 484 τῷ AHZ. καί ἐστιν ὀρϑογώνια, καὶ ἰσοσκελὲς τὸ ABA τὸ 4AHZ ἄρα ἀνισοδκελές. καὶ τὸ μὲν ἄρα ἀπὸ τῆς AB ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β4,, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς AH τῷ ἀπὸ τῆς ΗΖ ἄνισον. ἀλλ᾽ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ AB πρὸς τὸ ἀπὸ B, οὕτως ἡ 46Θ πρὸς ΘΖ, ὡς δὲ v0 ἀπὸ 4H πρὸς τὸ ἀπὸ HZ, οὕτως ἡ AK πρὸς KZ ἡ μὲν ἄρα 44] εἰς ἴσα τέτμηται. ἡ δὲ AZ, εἰς ἄνισα. ἐπεὶ οὖν αἱ 44, AZ ἴσαι εἰσί, καὶ ἡ μὲν εἰς ἴσα διήρηται, ἡ δὲ εἰς ἄνισα, τὸ ὑπὸ τῶν ἴσων τμημάτων τοῦ ὑπὸ τῶν ἀνίσων μεῖξόν ἐστι τὸ ἄρα ὑπὸ 404 μεῖξόν ἐστι τοῦ ὑπὸ 4 ΚΖ. ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ 464 ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ BO, τῷ δὲ ὑπὸ AKZ ἴσον τὸ ἀπὸ 4. éy] corr. ex ἐάν m. 1 c. ὀρϑῷ] bis c. δὅ. ἡμισείᾳ] ep, ἡμισέᾳ V. 7. συνισταμένων] vcp, σ- e corr. m. 1. 12. H K] corr. ex ΗΘ m. 1 c. ἐπεί] ἐπεὶ οὖν p. 15. ἀνισο- σκελές) ἀνισοσκελές ἐστι p. 17. ἀπό (alt.)| ἀπὸ víjg p. 18. ἀπό] ἀπὸ τῆς p. 20. τέτμηται] corr. ex τέμνεται c. — 21. AZ] Cp, corr. ex 42 m. 1 V, 4Z v. 22. διήρηται) διαιρεῖται p. DE SECTIONE CONI. 147 uertice ad basim perpendicularis dimidiae basi aequalis est, ille maior erit omnibus in cono triangulis non similibus. nam in cono recto triangulus sit 4171 perpendi- eularem 4B aequalem habens rectae Bf dimidiae basis ΓΖ. dico, triangulum AI maiorem esse ommni- bus triangulis non similibus in cono consiructis. sumatur enim alius ali- quis triangulus ei non similis AEZ, in quo perpendicu- laris sit 4 H, et à B ad 47 perpendicularis ducatur ΒΘ, ab H autem perpendicu- lans ad 42 ducatur HK. quoniam A4I'1 tnangulo AEZ similis non est, etiam 484] inangulo 4HZ similis non est. et rectanguli sunt, et 484] aequi- erurius; itaque 44 H Z aequicrurius non est. quare etiam AB? — B.4?, sed 4H? quadrato HZ? non aequale. es& autem [p. 131 not] 4B?: Bzf* — 40:04 et AH: HZ? — AK: KZ; itaque 4.4 in partes aequales secta est, 42 autem in inaequales. quoniam igitur 44, AZ aequales sunt, et altera in partes aequales secta est, altera in inaequales, rectangulum partium aequalium maius est rectangulo inaequalium [ Eucl.II,5 |; itaque 49 »« ΘΩ͂» AK»« KZ. uerum [Eucl. VI, 8,17] 28, 48 4] τῶν 40, 0.4 p, ut semper. | 25. B9 — ἀπό] p, om Ve. τῷ) p, τό Halley. —vó(alt.)) scripsi, τῷ e corr. p, τῷ Halley. 10* 10 1ὅ 20 26 148 ΠΕΡῚ KOSBNOT TOMHZ, HK: μεῖξον ἄρα τὸ ἀπὸ BO τοῦ ἀπὸ HK: μείξων ἄρα καὶ ἡ ΒΘ τῆς HK. ὡς δὲ ἡ ΒΘ πρὸς ΗΚ, οὕτως τό τε ὑπὸ BO, 44 πρὸς τὸ ὑπὸ HK, AZ, καὶ τὸ ἥμισυ πρὸς τὸ ἥμισυ, τουτέστι τὸ 4B. πρὸς τὸ 4ΗΖ᾽ μεῖξον ἄρα τὸ 4 Β2Ζ τοῦ 4H Z, καὶ τὰ διπλάσια τὸ 4Γ4 τοῦ AEZ. ὁμοίως δὴ δείκνυται, ὅτι πάν- τῶν τῶν ἀνομοίων μεῖξόν ἐστι τὸ AIV: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. . ιδ΄. . Τὸν δοθέντα κῶνον ὀρϑόν, οὗ ὃ ἄξων ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως, τεμεῖν διὰ τῆς κορυφῆς ἐπιπέδῳ, ὥστε τὸ γινόμενον τρίγωνον μεῖξον εἶναι πάντων τῶν ἀνομοίων αὐτῷ ἐν τῷ κώνῳ γινο- μένων τριγώνων. ἔστω ὁ δοϑεὶς κῶνος ὀρϑός, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ 4, βάσις δὲ ὃ περὶ τὸ B κέντρον κύκλος, ἄξων δὲ ὁ 48 ἐλάττων ὧν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως, καὶ δέον ἔστω τεμεῖν τὸν κῶνον, ὡς προστέτακται. ἤχϑω τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἐπίπεδον ποιοῦν τὸ ATA τρίγωνον" ἡ AB ἄρα κάϑετος ἐλάττων ἐστὶ τῆς BA. ἤχϑω ἐν τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ τῇ ΓΒ πρὸς ὀρϑὰς ἡ BE, καὶ ᾧ μεῖξον τὸ ἀπὸ τῆς 4B τοῦ ἀπὸ τῆς BA, τούτου ἥμισυ ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς ΒΗ͂, καὶ διὰ τοῦ Η παράλληλος ἤχϑω τῇ ΓΖ ἡ ZHO, καὶ ἐπεξζεύχϑωσαν αἱ AH, ΒΘ. ἐπεὶ τὸ ἀπὸ BA, τουτέστι τὸ ἀπὸ BO, τοῦ ἀπὸ BA μεῖξόν ἐστι δυσὶ τοῖς ἀπὸ BH, τὸ ὃὲ ἀπὸ AH 1. éxó(pr)] p, ὑπό Vc. ὅ. AHZ (alt.)] p, corr. ex AEZ m. 1 oc, AEZ V. 6. τό] τοῦ c. 7. AI'd] corr. ex AB4 m. 1 c. ὕπερ ἔδει δεῖξαι] om. p. 18. προστέτακται) προ- τέτακται C. 32. usifov] μεῖζόν ἐστι p. 26. ἐπεί ἐπεὶ οὖν p. DE SECTIONE CONI. 149 A40 »« 04 — BO? et. AK »5« KZ — HK*; itaque B0? HK? et BO — HK. esi autem BO0:HK — B0»« 44: HK» AZ, et dimidium ad dimidium siue 4B: 4HZ; itaque ABA AHZ et sumptis duplis 4I» A4EZ. iam eodem modo demonstratur, omnibus iriangulis non similibus maiorem esse .41'7; quod erat demon- sirandum. XIV. Datum conum rectum, cuius axis minor sit radio basis, per uerticem plano ita secare, ut triangulus effectus maior sit omnibus triangulis ei non similibus, qui in cono efficiuntur. sit datus conus rectus, cuius uertex sib 44, basis autem circulus circeum B centrum descriptus, axis aulem 4B minor radio basis, et oporteat conum secare, ut propositum est. ducatur planum per axem irianguülum AI efficiens; itaque 4 B « B A. ducatur in plano circuh ad I'B perpendicularis B E, sitque BH? — 41(4B? —— B.4?), et per H rectae ΓΖ parallela ducatur ΖΗΘ, ducanturque 4H, ΒΘ. quoniam BzZf! — B4? -- 2 B H* — B 6? et [Eucl.I,41] AH? — A B* -- ΒΗ", erit BO? — AH? 4- BH?. uerum 10 1 CQ 20 150 ΠΕΡῚ KQGNOT TOMBE. τοῦ ἀπὸ 4B μεῖξόν ἐστιν ἑνὶ τῷ ἀπὸ BH, τὸ ἄρα ἀπὸ BO τοῦ ἀπὸ AH μεῖξόν ἐστι τῷ ἀπὸ ΒΗ. ἔστι δὲ καὶ τοῦ ἀπὸ ΗΘ τῷ ἀπὸ ΗΒ μεῖξον τὸ ἀπὸ B6 ἑχατέρου ἄρα τῶν ἀπὸ 4H, HO τῷ αὐτῷ ὑπερέχει τὸ ἀπὸ BO- ἴσον ἄρα τὸ ἀπὸ AH τῷ ἀπὸ HO καὶ ἡ 4H τῇ ΗΘ. καί ἐστι καὶ ἡ ZH τῇ HO iow ἡ ἄρα AH ἴση ἐστὶ τῇ ἡμισείᾳ τῆς ZO. ἐὼν ἄρα διὰ τῶν ΖΘ, H A διεκβάλωμεν ἐπίπεδον, ἔσται τρίγωνον ἐν τῷ κώνῳ" γεγονέτω τὸ 4Z 0. ἐπεὶ οὖν τρίγωνόν ἐστιν ἐν κώνῳ τὸ 42Θ. οὗ ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς κάϑετος ἡ AH ἴση ἐστὶ τῇ ἡμισείᾳ τῆς βάσεως, τὸ 42Θ ἄρα μεῖξόν ἐστι πάντων τῶν ἐν τῷ κώνῳ γινομένων τριγώνων ἀνομοίων αὐτῷ" ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. [4 {. Τὸν δοϑέντα κῶνον διὰ τοῦ ἄξονος ἐπιπέδῳ τεμεῖν πρὸς ὀρϑὰς τῇ βάσει. | ἔστω ὃ δοϑεὶς κῶνος, οὗ κορυφὴ uiv τὸ 4 σημεῖον, βάσις δὲ ὃ περὶ τὸ B κέντρον κύκλος, ἄξων δὲ ὁ AB, καὶ δέον ἔστω τὸν κῶνον τεμεῖν διὰ τῆς 418 πρὸς ὀρϑὰς τῇ βάσει. εἰ μὲν οὖν ὀρϑός ἐστιν ὁ κῶνος, δῆλον, ὡς ij vt A B πρὸς ὀρϑάς ἐστι τῇ βάσει, καὶ πάντα τὰ διὰ τῆς AB ἐπίπεδα ἐκβαλλόμενα πρὸς ὀρϑάς ἐστι τῇ βάσει ὥστε τὸ 4Γ4 τρίγωνον διὰ τῆς 4B ὃν πρὸς ὀρϑάς 25 ἐστι τῇ βάσει. ἀλλὰ δὴ δσκαληνὸς ἔστω Ó κῶνος" ἡ ἄρα 48 οὔκ ἐστι πρὸς ὀρϑὰς τῇ βάσει. πιπτέτω τοίνυν ἡ ἀπὸ τῆς 4 8. τῷ] τό p. ΗΒ] BO p. :ó])vró p. B6| BHp. 6. HG (pr)) ΗΘ ἴσην. 8. διεκβάλωμεν 6}. διεκβαλλωμενΎΥ͂. "NES wm [ DE SECTIONE CONI. 151 eliam ΒΘ — H6? -ἰ HB? [Eucl.I, 47]. itaque B6? utrumque 4 H?, H9? eodem excedit; quare 4H? — ΗΘ“ el ΔΗ — ΗΘ. est autem etiam ZH — ΗΘ [Eucl.III,3]: quae 4H —14Z0. iam si per ZO, HA4 planum duxerimus, triangulus in cono efficietur; effectus sit 4Z0. quoniam igitur in cono triangulus est 4Z 0, in quo 4H ἃ uertice perpendicularis dimidiae basi aequalis est, 44Z6 maior est omnibus triangulis in cono effectis ei non similibus [prop. XIII]; quod opor- tebat fieri. — XV. Datum conum per axem plano secare ad basim perpendiculari. sit datus conus, cuius uerlex sib 44 punctum, basis autem circulus cireum B centrum descriptus, axis autem 4.8, et oporteat co- num per 4B ad basim perpendiculariter secare. jam si conus rectus est, adparet, 4B ad basim per- pendieularem esse, omnia- / N que plana per B.4 ducta ad 7 4 P basim perpendieularia esse [ Eucl. X1, 18]; quaretriangu- ua lus 4 I'4 per 4B ductus ad basim perpendicularis est. iam uero conus scalenus sit; 4B igitur ad basim perpendicularis non est. perpendicularis igitur ab 4 4 10. τό] p, mut. in τῷ m. 1 c, τῷ V. 19. τριγώνων — 18. ποιῆσαι) ὁμοίων αὐτῷ τριγώνων p. 17. σημεῖον] om. p. 26. om. c. b 10 15 20 25 152 ΠΕΡῚ KGONOT TOMBZ. κορυφῆς κάϑετος ἐπὶ τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον κατὰ τὸ E, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ BE, καὶ διεκβεβλήσϑω τὸ τοῦ ABE τριγώνου ἐπίπεδον ποιοῦν ἕν τῷ κώνῳ τὸ ATA τρίγωνον. λέγω, ὅτι τὸ AI πρὸς ὀρϑάς ἐστι τῇ βάδει τοῦ κώνου. ἐπεὶ γὰρ ἡ AE κάϑετός ἐστιν ἐπὶ τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον, καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς AE ἐπίπεδα ἐκχ- βαλλόμενα πρὸς ὀρϑάς ἐστι τῷ τῆς βάδεως ἐπιπέδῳ" καὶ τὸ 4[24 ἄρα τρίγωνον πρὸς ὀρϑάς ἐστι τῷ τῆς βάσεως ἐπιπέδῳ" ὅπερ ἔδει ποιῆσαι. [4 ι5. Ἐὰν κῶνος δκαληνὸς διὰ τοῦ ἄξονος ἐπιπέδῳ τμηϑῇ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει, τὸ γενόμενον τρίγωνον ἔσται σχαληνόν, οὗ ἡ μὲν μείζων πλευρὰ μεγίστη ἔσται πα- σῶν τῶν ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου ἐπὶ τὴν περι- φέρειαν τῆς βάσεως ἀγομένων εὐθειῶν, ἡ δὲ ἐλάττων πλευρὰ ἐλαχίστη πασῶν τῶν ὁμοίως ἀγομένων εὐϑειῶν, τῶν δὲ ἄλλων εὐθειῶν ἡ τῇ μεγίστῃ ἔγγιον τῆς ἀπώ- τερόν ἐστι μείξων. ἔστω κῶνος σκαληνός, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α, βάσις ὃὲ ὁ DEA κύκλος, ἄξων δὲ ὃ AB, τοῦ δὲ κώνου τμηϑέντος διὰ τοῦ ἄξονος πρὸς ὀρϑὰς τῷ ΓΕΖ κύκλῳ τὸ γενόμενον τρίγωνον ἔστω τὸ Α ΓΖ, προσνευέτω δὲ ὁ ἄξων ἐπὶ τὸ 4] μέρος. ἐπεὶ oov σκαληνοῦ ὄντος τοῦ κώνου οὔκ ἐστιν ἡ AB πρὸς ὀρθὰς τῷ IAE 2. BE] ΒΓ Vc, EB p, corr. Halley (eb Comm.). διεχ- βεβλήσϑω) ἐκβεβλήσϑω p. 8. ABE] AHE Vc, AEB y, corr. Comm. — 9. καί — 10. ézuméóo] bis V. — 10. ὅπερ ἔδει ποιῆσαι] om. p. — 18. ἀπώτερον] p, ἀπότερον Vc. 22. ΓΕΔ) AEZ corr. ex AET' m. 1 c. 23. mooovevévo] bis c. — 25. I4E] ΓΕΔ p. DE SECTIONE CONI 153 uertice ad planum basis in E cadat, ducaturque BE, et producatur planum trianguli 4 B E in cono efficiens irangulum 4Γ4. dico, 4“Γ4 ad basim coni perpen- dicularem esse. quoniam enim 4E ad planum basis perpendicu- laris est, etiam omnia plana per 4E ducta ad planum basis perpendicularia sunt [Eucl. XI, 18]; ergo etiam irangulus 4171 ad planum basis perpendicularis est; quod oportebat fieri. XVI. S81 conus scalenus per axem plano secatur ad ba- sim perpendiculari, triangulus effectus scalenus erit, euius latus maius maxima erit omnium rectarum, quae a uertice coni ad amb- itum basis ducuntur, minus autem latus mi- nima omnium recta- rum eodem modo ductarum, ceterarum autem rectarum ma- iori propior remotiore maior est. sit conus scalenus, culus uertex sib 4, basis autem circulus ΓΕΖ, axis autem 4 B, eb cono per axem secto ad cireulum I'Ezf perpendiculariter triangulus effectus sit 44, et axis ad zf uersus inclinatus sit. quoniam igitur in cono scaleno 4B ad circulum IAE perpendieularis non est, sit ad eum perpendicularis 4 9; eo 10 15 20 154 ΠΕΡῚ KSNOT TOMBZ. κύκλῳ, ἔστω πρὸς ὀρϑὰς αὐτῷ ἡ 4Θ' ἡ 4€ ἄρα iv τῷ τοῦ 4Γ4 ἐστιν ἐπιπέδῳ καὶ πεσεῖται ἐπὶ τὴν ΓΒΔ ἐκβληϑεῖσαν. ἐπεὶ οὖν μείξων ἡ ΓΘ τῆς 621, καὶ τὸ ἀπὸ ΓΘ ἄρα τοῦ ἀπὸ ΘΖ μεῖξον. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ Of: τὰ ἄρα ἀπὸ ΓΘ, O4 τῶν ἀπὸ 410, ΘΑ μείζονά ἐστι, τουτέστι τὸ ἀπὸ I'4 μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ 44. μείζων ἄρα ἡ 4Γ τῆς A4. λέγω δή, ὅτι ἡ 4Γ' καὶ πασῶν ἁπλῶς μεγέστη ἐστὶ τῶν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν περιφέρειαν τῆς βάσεως ἀγομένων εὐθειῶν, ἡ δὲ 414 ἐλαχίστη. ἤχϑωσαν γὰρ αἱ OE, OZ, ΘΗ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΓΘ μεγίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὴν περι- φέρειαν προσπιπτουσῶν, καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΓΙΓΓ ἄρα μέ- γιστόν ἐστι τῶν ἀπὸ OE, OZ, OH, ΘΖ. κοινὸν προσκείσϑω τὸ ἀπὸ ΘΑ͂: τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΘΑ͂ μεῖξόν ἐστιν ἑκάστου τῶν ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς EO, ZOA, HOA, 40 4, τουτέστι τὸ ἀπὸ AT ἑκάστου τῶν ἀπὸ 4E, AZ, AH, 44. καὶ ἡ 4Γ ἄρα μείξων ἐστὶν ἑκάστης τῶν AE, AZ, AH, 4.4. ὁμοίως δείκνυται, ὅτι καὶ τῶν ἄλλων μεγίστη ἄρα ἡ AT πασῶν τῶν, ὡς εἴρηται, ἀγομένων εὐϑειῶν ἐν τῷ κώνῳ. διὰ τῶν αὐτῶν δὲ δείκνυται, ὅτι καὶ ἡ μὲν 412] ἐλαχίστη; τῶν δὲ ἄλλων ἡ μὲν AE τῆς AZ μείξων, ἡ δὲ AZ 2. ΓΒ4]) [ΓΖ y. 8. ΓΘ] Θ e corr. p. 4. ueifov] μεῖζόν ἔστι p. 6. ΓΘῚ τῆς ΓΘ p. 40] τῆς 40». 11. Post ΘΗ͂ add. καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ AE, AZ, AH p. 14. ἀπό] ἀπὸ τῶν p. 15. τό (alt.)] p, om. Ve. 18. AE] supra add. - m. rec. V, τῆς 4E p. 20. δείκνυται] δειχϑή- σεται Ῥ. 21. Fidi ἀπὸ τοῦ A ἀγομένων p. 22. δὲ] 3 ς ὁμοίως p. δείκνυται) δειχϑήσεται p. .DE SECTIONE CONI. 155 40 igitur in plano AIZf est et in ΓΒ. productam cadet [cfr. Eucl. XI def. 4]. quoniam igitur ΓΘ.» ΘΖ, erit eliam 1I'8? — 0 /f?*. adiicia- tur commune 6 4: itaque Dl'9? -ἰ 04? — 40? -- 94 siue [Eucl. I, 47] I4? A Zf*. ergo A4I' 44A. iam dico, A41' omnino om- nium maximam esse rectarum, quae a uertice ad ambitum basis ducantur, 41,4] autem minimam. ducantur enim O E, ΘΖ, ΘΗ. quoniam igitur ΓΘ maxima est omnium, quae ἃ € ad ambi- tum cadunt [Eucl. III, 8], erit etiam OI" maximum quadra- torum ΘΕ", ΘΖ“, OH?, O4*. adiciatur commune Θ 4*; ita- que ΓΘ -|- 6 4? maius est quam E0? -- 04?, ZO? -- 64?, ΗΘ" - 6 4?, 40? -|- 0 A4*,3) hoc est [Eucl I, 47] AI"? maius quam A4E?, 42", AH?, | 445. ergo etiam ΑΙ Γ' maior quam 4 E, 42, AH, 4.4. similiter demonstrari potest, . Has figuras hab. V, om. p, nec ab initio ἃ Sereno positae fuisse uidentur (p. 164, 2—3). 1) Τῷ uertendum esse, ipsa ratiocinatio docet, sed τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς I'84 debuit esse (ΓΘ -]- 64)». neque tamen Halleius sequendus, qui scripsit: συναμφότερον ἄρα τὸ ἀπὸ τῶν ΓΘ,ΘΑ μεῖξόν ἐστι ἑκάστου συναμφοτέρου τοῦ ἀπὸ τῶν E 0,6 A κτλ. Qt 10 15 20 156 ΠΕΡῚ K9NOT TOMHZ. τῆς 4H, καὶ ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς 4Γ τῆς ἀπώτερόν ἔστε μείξων᾽ ὅπερ ἔδει δεῖξαι. i. Ἐὰν τριγώνου ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν τῆς βάσεως εὐθεῖα ἀχϑῇ, τὰ ἀπὸ τῶν πλευρῶν τετρά- γωνα ἴσα ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν τμημάτων τῆς βάσεως καὶ τῷ δὶς ἀπὸ τῆς ἠγμένης ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν εὐϑείας. ἔστω τρίγωνον τὸ ABI, οὗ δίχα τετμήσϑω ἡ βάσις κατὰ τὸ Zi, καὶ διήχϑω ἡ 44. λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ AB, AT' τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν Β4, AT καὶ τῷ δὶς ἀπὸ τῆς 4. εἰ μὲν οὖν ἰσοσκελές ἐστι τὸ 4 ΒΓΓ τρίγωνον, φα- νερὰ ἡ δεῖξις διὰ τὸ ἑκατέραν τῶν πρὸς τῷ 4 γίνεσϑαι ὀρϑήν. ἀλλὰ δὴ ἔστω ἡ ΒΑ τῆς 4Γ μείξων" μείξων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ Bz4 γωνία τῆς ὑπὸ 4241Γ. ἐκβεβλήσϑω ἡ 44, καὶ κατήχϑωδαν ἐπ᾽ αὐτὴν κάϑετοι αἱ ΒΕ, I'Z: ὅμοια ἄρα ἐστὶ τὰ EB 4, ΓΖ.“ ὀρϑογώνια διὰ τὸ παρ- αλλήλους εἶναι τὰς BE, ZI" ὡς ἄρα ἡ Β4 πρὸς AT, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς 4Z. ἴση δὲ ἡ Β4 τῇ Iw ἴδση ἄρα καὶ ἡ ΕΖ τῇ 4Z καὶ τὸ ὑπὸ 44, 4Ε τῷ ὑπὸ 424, AZ καὶ τὸ δὶς ὑπὸ 424, 4E τῷ δὶς ὑπὸ A4, 4Ζ. 1. ἀπώτερον] p, ἀπότερον Vc. ἐστι) om. p. 9. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] om. p. 6. βάσεως] βάσεος c. 10. ἀπό] ἀπὸ τῶν p. 11. 4B] BA p. ἐστί εἰσί p. 14. 78) vep, corr. ex τό m. 1 V. 4] 4 γωνιῶν p. γίνεσϑαι] εἶναι p. 16. τῆς ΑΓ μείζων} μείξων τῆς AT" p. 17. B44] p, B44 V vc, corr. m. rec. V. AADU] 44Γ p. 19. ΕΒ4) p: EB4A, ΓΒΔ Vc. ὀρϑογώνια]ὔ om. p. 20. εἶναι] om. c. ZI']rIecorr. m.1 c, ΓΖ p. 21. I4] 4T p. 29. τό] τῇ c, τῷ p. τῷ) ἄρα ἴσον ἐστὶ vó p. — 28. καί — 4Z] om.c τό] τῷ p. τῷ] ἴσον ἐστὶ τό p. DE SECTIONE CONI. 151 eam ceteris quoque maiorem esse; itaque “4 Γ΄ maxima esi omnium rectarum, quae in cono ducuntur, uti diximus. eodem autem modo demonstrari potest, 4 44 minmam esse ei ceterarum 4E» 4Z, 42)» AH, semperque propiorem rectae Αἱ Γ΄ remotiore maiorem esse; quod erat demonstrandum. XVII. Si in tnangulo a uertice ad punctum medium basis recta ducitur, quadrata laterum aequalia sunt quadratis partium basis et duplo quadrato rectae a uerlice ad basim ductae. sib. triangulus 4BI' cuius basis in z/ in duas parles aequales secetur, ducaturque 412. dico, esse AB? -- AI? — BZ? -- 4Γ5- ὃ 44. iam si triangulus 4BI' aequicrurius est, demon- Siratio manifesta esi, quia uterque angulus ad Z/ po- sibus rectus fit. 4 iam uero sib B.4 — AT'; ita- que eliam?) / Bz4 7» 44Γ [Eucl. I, 25]. producatur 4 4, 4 et ad eam perpendiculares du- 4 cantur BE, ΓΖ: itaque tin- anguli rectanguli EB, I'Z4 smiles sunt, quia BE, ZI' parallelae sunt?); itaque [Eucl. VI, 4] B: 4T — EZ:4Z. uerum ΒΖ — I4 ilaque etiam Ezf — 22 et 44 »« AE — A4 »« AZ εὐ 2441 »« 4E-——2424»« 42. quoniam igitur 1) H. e. ( Bz4 obtusus est, /, 414 Γ' acutus. hab 2. Immo quia et rectos angulos et angulos ad zf aequales aben Qt 10 1 ὄ 20 2 ὕ 158 ΠΕΡῚ ΚΟΝΟΥ ΤΟΜΗΣ. ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ἀπὸ τῆς 4B τῶν ἀπὸ 44, 48 μεῖξόν ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ A4, 4 E, τουτέστι τῷ δὶς ὑπὸ 44, 4 Z, τὸ δὲ ἀπὸ 4Γ' τῶν ἀπὸ 44, 4 ἔλαττόν ἐστι τῷ αὐτῷ τῷ δὶς ὑπὸ 44. 4Z, τὰ ἄρα ἀπὸ ΒΑ, AT ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ B, 4Γ' καὶ τῷ δὶς ἀπὸ τῆς 44] ὅπερ ἔδει δεῖξαι. "η΄. Ἐὰν τεσσάρων εὐθειῶν ἡ πρώτη πρὸς τὴν δευτέραν μείξονα λόγον ἔχῃ ἥπερ ἡ τρίτη πρὸς τὴν τετάρτην, καὶ τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας usífova λόγον ξξει ἤπερ τὸ ἀπὸ τῆς τρίτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς τετάρτης. κἂν τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας μείξονα λόγον ἔχῃ ἥπερ τὸ ἀπὸ τῆς τρίτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς τετάρτης. ἡ πρώτη πρὸς τὴν δευτέραν μείξονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ τρίτη πρὸς τὴν τετάρτην. ἔστωσαν εὐϑεῖαι αἱ 4, B, I, 4, ἐχέτω δὲ ἡ 4 πρὸς τὴν B μείξονα λόγον ἤπερ ἡ Γ πρὸς τὴν Z4. λέγω, ὅτε καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς B μείξονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 4. ἐπεὶ γὰρ ὃ τῆς A4 πρὸς τὴν B λόγος μείξων ἐστὶ τοῦ τῆς Γ πρὸς τὴν 4, καὶ ὁ τοῦ μείξονος ἄρα διπλά- όσιος μείξων ἐστὶ τοῦ τοῦ ἐλάττονος διπλασίου. ἔστι ὃς τοῦ μὲν τῆς 4 πρὸς τὴν B λόγου μείξονος ὄντος διπλάσιος ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς “ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς B λόγος, τοῦ δὲ τῆς Γ πρὸς τὴν 41 λόγου ἐλάττονος ὄντος διπλάσιος ὃ τοῦ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 4᾽ καὶ ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς 4 ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς B λόγος μείξων ἐστὶ τοῦ τοῦ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 4. 1. 4B] BA p. ἀπό (alt.)] ἀπὸ τῶν p. 8. 44, eh Comm.; 44, AI'Voc; τῶν ΓΖ, 4A, A e corr, p. 4. ἀπὸ .DE SECTIONE CONI. 159 AB? — 44? -- AB? - 2 44 5€ AE [Eucl. IT, 12] — 44?--4B?--244»« 42, εἰ AT? — 4.43 -- 4Γ3-:- ὃ 424 »« AZ, ent Β45- AI? — Β43 - AI? --244*; quod erat demonstrandum. XVIII. Si quattuor rectarum prima ad secundam maiorem raüionem habet quam tertia ad quartam, etiam qua- dratum primae ad quadratum secundae maiorem ratio- nem habebit quam quadratum tertiae ad quadratum T4 quariae. οὖ si quadratum primae ad quadratum secundae maiorem rationem habet quam quadratum tertiae ad qua- dratum quartae, prima ad secundam maiorem rationem habet quam tertia ad quartam. | ^ sint rectae 4, B, I, 4, sitque - 4: Β - Γ: A. dico, esse etiam “42: B? — Γ": Zf?. quonam enim 4: Β D:2, ert etiam maior raüio duplicata [cfr. Eucl. V def. 9] minore ratione duplieata maior. maior autem ratio 4: B duplicata 4: B? est et minor ratio Γ: 24 duplicata Γ΄: 413; ergo etiam 45: B? I? : 4?. — —ÓÓ —— a M M MÀ M HÀ À— — - ΄-. 4 — 1 ἀπὸ τῶν p. — 5. ἀπό (ρτ. ) ἀπὸ τῶν p. A44] B4p. 6. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] om. p. ἤπερ] om. c. ἀπὸ τῆς (pr.)] p, om. Voc. 21. λόγος] ^p, λόγον V. 28. τοῦ τοῦ] τοῦ c. 26. τοῦ | τό p. 26. ἐλάττονος ἐλάσσονος p. 21. 4] 4 160 ΠΕΡῚ ΚΟΝΟΥ ΤΟΜΗΣ. πάλιν δὲ τὸ ἀπὸ τῆς 4 πρὺς τὸ ἀπὸ τῆς Β μεί- Cove λόγον ἐχέτω ἥπερ τὸ ἀπὸ τῆς Γ' πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 24. λέγω, ὅτι ἡ 4 πρὸς τὴν B μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ Γ πρὸς τὴν A. 5 ἐπεὶ ὃ τοῦ ἀπὸ τῆς 4 πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς B λόγος μείξων ἐστὶ τοῦ τοῦ ἀπὸ τῆς Γ' πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 4 λόγου, καὶ ὁ τοῦ μείξονος ἄρα ἥμισυς τοῦ τοῦ ἐλάτ- τονος ἡμίσεος μείξων ἐστίν. ἔστι δὲ τοῦ μὲν ἀπὸ τῆς A πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β λόγου μείξονος ὄντος ἥμισυς ὁ 10 τῆς Α πρὸς τὴν B, τοῦ δὲ ἀπὸ τῆς Γ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 4 ἐλάττονος ὄντος ἥμισυς ὃ τῆς Γ' πρὸς τὴν 4f καὶ ὁ τῆς 4 ἄρα πρὸς τὴν B λόγος μείζων ἐστὶ τοῦ τῆς Γ πρὸς τὴν 4 ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Lo. 15 Ἐὰν δύο μεγέϑη ἴσα ἀνομοίως διαιρεϑῇ, τῶν δὲ τοῦ ἑτέρου τμημάτων τὸ μεῖξον πρὸς τὸ ἔλαττον μεί- ξονα λόγον ἔχῃ ἥπερ τοῦ λοιποῦ τὸ μεῖξον πρὸς τὸ ἔλαττον ἢ τὸ ἴσον πρὸς τὸ ἴσον, τῶν προειρημένων τμημάτων τὸ μὲν μεῖξον μέγιστον ἔσται τῶν τεσσάρων 40 τμημάτων. τὸ δὲ ἔλαττον ἐλάχιστον τῶν τεσσάρων. ἔστω δύο μεγέϑη ἴσα τὰ AB, I4, καὶ διῃρήσϑω τὸ uiv 48Β τῷ E, τὸ δὲ ΓΖ τῷ Z, ἔστω δὲ τὸ μὲν AE τοῦ ΕΒ μεῖξον,. τὸ δὲ ΓΖ τοῦ Z4 μὴ ἔλαττον, ὥστε τὸ AE πρὸς EB μείξονα λόγον ἔχειν ἤπερ τὸ ΓΖ πρὸς τὸ Z4. λέγω, ὅτι τῶν AE, EB, ΓΖ, Z4 μεγε- ϑῶν μέγιστον μέν ἐστι τὸ AE, ἐλάχιστον δὲ τὸ BE. ἐπεὶ τὸ AE πρὸς ΕΒ μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ ΓΖ πρὸς Z4, καὶ συνθέντι ἄρα τὸ AB πρὸς BE 2 OQ b. ἐπεί] ἐπεὶ γάρ p. 6. τοῦ τοῦ] scripsi, τοῦ Vcp. 8. ἐστίν) ἐστί p. τοῦ μέν] debuit dici τοῦ μὲν τοῦ. 18. ὕπερ DE SECTIONE CONI. 161 rursus autem sit 45: B? I": 253, dico, esse 4: B — I:A. quoniam 44?: B* — I": 453, etiam maior ratio dimidiata maior erii minore ratione dimidiata. uerum ratio maior “42: B? dimidiata est 4: B et ratio minor Γ᾿: 452 dimidiata est I': Z1; ergo etiam 4: B 5 I': 4f; quod erat demonstrandum. XIX. Si duae magnitudines aequales inaequaliter diui- - duntur, et alterius partium maior ad minorem maiorem ra&onem habet quam reliquae maior ad minorem uel aequalis ad aequalem, maior partium, quas diximus, maxima erit quattuor partium, minor autem minima earum. sint duae magnitudines aequales 4 B, I7, et diui- datur 4B puncto E, I'4 autem puncto Z, sitque 4 E p 4E» EB et ΓΖ non minor E ——————À quam ZZ, ita tamen, ut sit E—————;———À3 AE:EBDIZ:Z.Zf. dio, magnitudinum 4E, EB, ΓΖ, Z4 maximam esse 44 E, minimam autem BE. quonam AE: ΕΒ» lU'Z:Z4, eliam componendo ent 4B: ΒΕ» I4: 42 |[Pappus VII, 45], et per- ἔδει δεῖξαι] om. p. 18. ἤ] καί Vcp, corr. Halley cum Comm. 20. ἔλαττον) ἔλασσον p. 2422. τό (pr)] cp, τῶ corr. in τὸ m. 1V,«à v. 28. ΓΖ) l'4 Vcep, corr. Comm. 24. EB| τὸ E B p. μείξονα] vcp, corr. ex uet£ov m. rec. V (α euan. à m. 1?). TZ] p, AZ Vc. 25. τό] om. p. EB] vp, et V, sed ita, u& B litterae 4 similis sit; EA c. 41. ἐπεί) ἐπεὶ οὖν p. EB — 98. πρός (alt.)] mg. m. 1 p. 28. BE]e corr. m. 1 p. Serenus Antinoensis, ed. Heiberg. 11 Qx 10 15 20 162 ΠΕΡῚ K9NOT TOMHZ. μείξονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ I1 πρὸς Z1 Z, καὶ ἐναλλὰξ τὸ 4B πρὸς I4 μείξονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ EB πρὸς ΖΩ͂. καί ἐστιν ἴσον τὸ 48 τῷ I4: ἔλαττον ἄρα τὸ EB τοῦ Z4. τὸ δὲ Ζ4 τοῦ ΓΖ οὐ usifov: καὶ τοῦ ΓΖ ἄρα ἔλασσόν ἐστι τὸ ΕΒ. ἦν δὲ καὶ τοῦ AE ἔλαττον' ἐλάχιστον ἄρα τὸ EB. πάλιν ἐπεὶ τὸ AB τῷ I4 ἴσον, ὧν τὸ EB τοῦ 412 ἔλαττον, λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΑ“ λοιποῦ τοῦ ΓΖ μεῖξον. τὸ δὲ ΓΖ τοῦ Z4 οὐκ ἔλαττόν ἐστι καὶ τοῦ Ζ4 ἄρα μεῖξόν ἐστι τὸ 4. ἦν δὲ καὶ τοῦ EB μεῖξον" μέγιστον ἄρα ἐστὶ τὸ AE, τὸ δὲ ΕΒ ἐλάχιστον. ’ κ΄. Ἐὰν δύο τρίγωνα τάς τε βάδεις ἴσας ἔχῃ, ἔχῃ δὲ καὶ τὰς ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν τῆς βά- σεως ἠγμένας εὐθείας ἴσας. τοῦ δὲ ἑτέρου ἡ μείζων πλευρὰ πρὸς τὴν ἐλάττονα μείξονα λόγον ἔχῃ ἥπερ ἡ τοῦ λοιποῦ μείξων πρὸς τὴν ἐλάττονα ἢ καὶ ἴση πρὸς τὴν ἴσην. οὗ ἡ μείξων πλευρὰ πρὸς τὴν ἐλάττονα μεί- ξονα λόγον ἔχει. ἐκεῖνο ἔλαττόν ἐστιν. ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ABI, 4ΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς BI,EZ βάσεις, ὧν ἑκατέρα τετμήσϑω δίχα κατὰ và H καὶ 6 σημεῖα. καὶ ἐπιξευχϑεῖσαι αἱ AH, 40 ἴσαι ἔστωσαν ἔστω δὲ ἡ μὲν ΕΖ τῆς 4Ζ μείξων, ἡ δὲ ΒΑ τῆς 4Γ μὴ ἐλάττων, ὥστε τὴν ΕΖ πρὸς 4 usítove 9. EB] cp, et V, sed ita, ut B litterae 4 similis eil; EA v. 5. ἄρα] om. c. 7. τοῦ] vcp, corr. ex τό m. 1 V. 4Z] Z4 p. 10. μέγιστον] om. Vcp, corr. Halley cum Comm. ἐστί] om. c. 16. ἐλάττονα] ἐλάσσονα p. "n corr ex ἔχει m. 1 c, ἔχει v. 17. [on] ἡ ἴση c. 18. uelfova om.c. 21. τετμήσϑω δίχα] δίχα τετμήσϑω p. τα] p, τό Vc. | DE SECTIONE CONI. 163 mutando 48: Γά.» ΕΒ: 24 [Pappus VII, 41]. et AB — I4; itaque EB « ZZ. uerum Zzf non maior est quam ΓΖ: iiaque etiam EB « ΓΖ. erat autem eliam EB- 4E; minima igitur est EB. rursus quonam 4B — I7, quarum EB « ZZ, quae relin- quitur E.4 maior erit quam quae relimquitur ΓΖ. uerum. ΓΖ non minor est quam ZZ; itaque etiam AE Z4. erai aulem eliam 4E» EB; ergo AE maxima est, minima autem EB. XX. Si duo trianguli bases aequales habent, habent aulem etiam recias ἃ uerlice ad punctum medium basis ductas aequales, alterius autem maius latus ad minus maiorem ralionem habet quam reliqui latus maius ad minus uel aequale ad aequale, triangulus, euius latus maius ad minus rationem habet maiorem, minor est. sint duo irianguhn ABI, 4EZ bases ΒΓ, EZ aequales habentes, quarum utraque in punctis H, Θ in binas partes aequales secetur, ei ductae 4 H, 410 aequales sint; sit autem ΕΖ» 4/Z, B.4 aulem non ——— — οὐδ καὶ Θ σημεῖα] € p. 28. ἔστω δέ] ἔστωσαν c. 34. μή) p. | 11* 164 ΠΕΡῚ KSNOY TOMHZ. λόγον ἔχειν ἤπερ τὴν ΒΑ πρὸς AI. λέγω, ὅτι τὸ 4 EZ τρίγωνον ἔλαττόν ἐστι τοῦ ABI: ἐπεὶ γὰρ αἱ BI, ΕΖ ἴσαι τέ εἰσι καὶ εἰς ἴδα διήρηνται, ἔστι δὲ καὶ ἡ AH τῇ 4 ἴση, καὶ τὰ ἀπ' αὐτῶν ἄρα ἴσα ἐστί' τὰ ἄρα ἀπὸ BH, ΗΓ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΑΗ τοῖς ἀπὸ ΕΘ, ΘΖ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ O4 ἴσα ἐστίν. ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ BH, HI' μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ AH ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ B4, AI" τοῦτο γὰρ ἐδείχϑη" τοῖς δὲ ἀπὸ ΕΘ, ΘΖ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ O4 10 ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ ΕΖ, 42 καὶ συναμφότερον ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΑ, AI' συναμφοτέρῳ τῷ ἀπὸ ΕΖ, 412 ἴσον ἐστί. καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΖ πρὸς 4Z μείξονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ BA πρὸς AI, καὶ τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς Ezf πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 4 Z μείξονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ ἀπὸ Β 4 πρὸς τὺ 15 ἀπὸ 4Γ. ἐπεὶ οὖν δύο ἴσων μεγεθῶν τοῦ τε ἀπὺ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ, 4Γ καὶ τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς E, 42 τὸ μεῖξον τμῆμα πρὸς τὸ ἔλαττον, τουτ- ἔστι τὸ ἀπὸ EZ πρὸς τὸ ἀπὸ 4Z, μείξονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ τοῦ λοιποῦ τμῆμα πρὸς τὸ λοιπὸν τμῆμα; 20 τουτέστι τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὺς τὸ ἀπὸ AI, τὸ μὲν ἄρα ἀπὸ Ez μέγιστον ὃν μεῖξόν ἐστιν ἑκατέρου τῶν ἀπὸ BA, AI, τὸ δὲ ἀπὸ AZ ἐλάχιστον ὃν ἔλαττόν ἐστιν ἑκατέρου τῶν ἀπὸ BA, 4Γ διὰ τοῦ πρὸ τούτου ϑεῶω- ρήματος καὶ ἡ μὲν ΕΖ ἄρα ἑκατέρας τῶν B4, AT μείξων ἐστίν, ἡ δὲ 42 ἑκατέρας τῶν ΒΑ, 4Γ ἐλάττων. ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ B, διαστήματι δὲ τῷ ἴσῳ τῇ ΕΔ γραφόμενος κύκλος ὑπερπεσεῖται τὴν B4: γεγράφϑω ὁ Kf: καὶ ὃ κέντρῳ μὲν τῷ I, διαστήματι δὲ τῷ ἴσῳ τῇ 42 γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὴν AI" γεγράφϑω Cx 2 Qx 5. ἀπό) ἀπὸ τῶν p, αὖ semper. 7. 64] 46 p. 9. 84] ΖΘ p. 11. ἀπό (utrumque)] ἀπὸ rfjg p. 19. ἡ ΒΑ͂ πρόρ] DE SECTIONE CONI. 165 minor quam “4 Γ, ita tamen, ut sit E4:4Z 7 BA: AT. dico, esse Δ ZEZ « ABI: quoniam enim BI'— EZ, et in aequalia diuisae sunt, eb praeterea 4H — 210, etiam quadrata earum aequalia sunt; itaque BH? -- HI? --2A4H? — E60? - 092? -- 26492. uerum. B4? -- AI? — BH? --- HI? -24H*; hoc enim demonstratum est [prop. XVII]; et Ε45-. 42" -Ξ- ΕΘ: -- ΘΖ“ - 2964": quare etiam B 4? -|- 4I'* — EZf* -- 423. et quoniam ΕΖ: 42} BA: AT', erit etiam (prop. XVIII] EZ4?: 4Z? » BA4?: AI". quoniam igitur duarum magnitudinum aequalium B.4* -]- AI? et EZf* -- 425) maior pars ad minorem, hoc est EZf?: 21] Z?, maiorem rationem habet, quam reliquae pars ad partem reli quam, hoc est B .4*: 41I'?, maximum EZf* maius erit utroque B.4?, 4I'*, minimum autem 72/Z? minus erit utroque B.A4?, 4I" propter propositionem praeceden- iem [prop. XIX]; itaque etiam Ez/ utraque B.4, AT' maior est, Z/Z autem utraque B4, A4I' minor. cir- eulus igitur centro B, radio autem rectae E21 aequali descriptus rectam .B.4 excedet; describatur K 4. et eireulus centro I, radio autem rectae 7/Z aequali descriptus rectam .41' secabit; describatur MN. cir- *) Cfr. p. 165 not. τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς p (cfr. lm. 14—15). — 13. xol τὸ — 16. 4ΓῚ mg. p (κείμενον). 14. ἀπό] p, « ἀπό Vvc. 15. ἴσων] vcp, post [- ras. 1 litt. V. 91. ἀπὸ BA — 23. ἑκατέρου mg. p. 924. τῶν] vep, corr. ex τῶ m. 1 V. 28. τῶν] vcp, corr. ex τῶ m. 1 V. 26. τῇ E — 28. ἴσῳ] om. c. 29. 4Z] Z4 p. cx 10 15 20 t5 Qt 166 ΠΕΡῚ KOSNOT TOMBZ. ὁ MN. τέμνουσι δὴ ἀλλήλους οἱ K 4, ΜΝ κύκλοι, ὡς δειχϑήσεται. τεμνέτωσαν ἀλλήλους κατὰ τὸ A, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ A, SB, SH, SI" ἡ μὲν ἄρα BA τῇ ΕΖ ἴση. ἡ δὲ ΕΓΓ τῇ 4Z. ἦν δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ ἴση" καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΒΙ͂Γ τρίγωνον τῷ ΕΖ4Ζ ἴσον ἐστίν. ὥστε iow καὶ ἡ NH τῇ 40, τουτέστι τῇ ΑΗ ὀξεῖα ἄρα ἡ ὑπὸ MAH γωνία. καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΑ τῆς 4Γ οὔκ ἐστιν ἐλάττων. καὶ ἡ ὑπὸ AHB ἄρα γωνία τῆς ὑπὸ A4HI' οὔκ ἐστιν ἐλάττων" ἡ ἄρα ὑπὸ AHI' οὐ μείξων ἐστὺν ὀρθῆς. ἡ δὲ ὑπὸ Η45Ξ ἐλάττων ἐστὶν ὀρθῆς" αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΗ“, &AH δύο ὀρϑῶν ἐλάττονές εἰσιν οὐκ ἄρα ἡ 4X τῇ ΗΓ παρ- ἀἄλληλός ἐστιν. ἤχϑω δὴ διὰ τοῦ 4 τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ AIL καὶ ἐκβεβλήσϑω ἡ BAIL, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ ΓΠ᾽ τὸ ἄρα 4ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ΒΠΙΓ τριγώνῳ. τὸ ἄρα BAI μεῖξόν ἐστι τοῦ ΒΙΙ͂ Γ, τουτέστι τοῦ Ez Z: ὕπερ ἔδει δεῖξαι. Ὅτι δὲ τέμνουσιν ἀλλήλους οὗ ΚΑ, MN κύκλοι, δεικτέον οὕτωο. ἔστω γὰρ τῇ μὲν EA ἴση ἡ ΒΑΡ, τῇ δὲ AZ ἴση ἡ ΓΣ ἐπ᾽ εὐθείας οὖσα τῇ BI" ὅλη ἄρα ἡ BZ ἴση ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῇ EZ, Z4. ἐπεὶ οὖν συναμφό- τερος ἡ EZ, Z4 τῆς ΕΖ μείξων ἐστί, καὶ ἡ BZ ἄρα τῆς BP μείξων ἐστίν" ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ B, διαστήματι δὲ τῷ ΒΡ γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὴν ΒΣ. ἡ δὲ ΓΣ 8. BE] vp, corr. ex BZ m. 1 V, ΒΖ c. 4. lon] ἴση ἐστίν p. δ. ΒΞ ΓῚ vcep, corr. ex ΒΖΓ m. 1 V. Jy ΔΕΖ». 6. ἴση] om. p. — 460] 469 ἴση ἐστί p. 7. ἄρα ἄρα ἐστίν p. 8. καί — 9. ἐλάττων) om. c. 10. μείζων] -ov e corr. p. 11. l'HA] 4H Vcp, corr. Comm. A&AH]| H e corr. p. 18. Ànte BI'del. A c. 15. ἄρα (alt.)] δὲ p. 16. BAT'] BIIT' volyovov p. ΒΞ ΓῚ BET τριγώνου y. EAZ] 4EZ p. ὕπερ — 17. δεῖξαι] τὸ ἄρα 4 EZ ἕλαττόν DE SECTIONE CONI. 161 eui igitur K 4, MN inter se secant, ut demonsira- bitur. secent inter se in ,5, ducanturque 34, XB, AH, ΕΓ. itaque ΒΞ — EZ, RSI'— 42. erai autem eliam ΒΓ -ὸ EZ; quare etiam Δ BXI'— EA4Z [Eucl. I, 8; I, 4]. itaque etiam AH — 490 [Eucl. I, 4] — AH; L&AH igitur acutus est [Eucl. I, 5; I, 17]. et quon- iam ΒΑ͂ non minor est quam ΑΓ, etiam | AHB angulo A4HI' non minor est [Eucl I, 25]; quare LA4HI' non maior est recto. [| H 4,5 autem minor est, recto; itaque I'H 4 J- 5&4 H duobus rectis minores sunt; 4A igitur rectae H I' parallela non est [Eucl. I αἴτ. D]. per 44 igitur rectae BI' parallela ducatur AII, producaturque BAII, et ducatur ΓΙ, itaque A ABI'— ΒΠΓ [Eucl.I, 3T. ergo BAI' BAT, hoc est Β4Γ.» EZZ; quod erat demonstrandum. Cireulos autem KA, MN inter se secare, sic demon- strandum: sib enim BAP— EA, B fT z ΓΣ --42Ζ in producta BI'po- δια; ilaque BZ — EZ-- Z4. quoniam igitur EZ - Z4 » ΕΖ [Eucl. I, 20], erit etiam BZ » BP; dreulus igitur centro B, radio autem BP descriptus ἐστι τοῦ ABI" p. 18. κα΄ mg. m. rec. V. ὅτι] p, ὅτε V vc, corr. m. rec. V. 28. ἐστί] ἐστί, τουτέστι τῆς B P p. 24. BP] corr. ex BE p, BE vc et, E e corr., V; E4 Halley cum Comm. 25. Post BP del. μείξων ἐστί m. 1 V (non hab. v). ἡ δὲ l'Z] p, om. Vc. 10 1 2 ὄ e 168 ΠΕΡῚ KGNOT TOMBZ. ἴση οὖσα τῇ 412 ἐλάττων ἐστὶ τῆς ΓΑ͂' ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ D, διαστήματι δὲ τῷ I'Z γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὴν AI. τεμνέτω κατὰ τὸ T" ἥξει ἄρα διὰ τῆς PT περιφερείας. τέμνουσιν ἄρα ἀλλήλους καὶ οἱ Κα, MN κύκλοι. κα΄. Ἐὰν δύο τρίγωνα ἀνιδοδκελῆ τάς τε βάσεις ἴσας ἔχῃ, ἔχῃ δὲ καὶ τὰς ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτο- μίαν τῆς βάσεως ἠγμένας εὐθείας ἴσας, τοῦ ἐλάττονος ἡ μείξων πλευρὰ πρὸς τὴν ἐλάττονα μείξονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ τοῦ μείξονος μείξων πλευρὰ πρὸς τὴν ἐλάττονα. ἔστω τρίγωνα τὰ 48, ΕΖΗ ἴσας ἔχοντα τάς τὲ AI, ΕΗ βάσεις δίχα τετμημένας κατὰ τὰ 4 καὶ Θ σημεῖα, ἴσαι δὲ ἔστωσαν καὶ αἵ Bl, ZO, καὶ μεῖξον τὸ ΕΖΗ τρίγωνον, ἔστω δὲ ἡ μὲν AB τῆς ΒΓ usitov, ἡ δὲ ΕΖ τῆς ΖΗ. λέγω, ὅτι ἡ AB πρὸς ΒΓ μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ. εἰ γὰρ μή, ἤτοι τὸν αὐτὸν ἢ ἐλάττονα. ἔστω οὖν πρότερον, εἰ δυνατόν, ὡς ἡ 4B πρὸς BI, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ. ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ A4 B πρὸς vo ἀπὸ ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ZH καὶ συνϑέντι ἄρα καὶ ἐναλλάξ, ὡς συναμφότερον τὸ ἀπὸ A B, ΒΓ πρὸς συναμφότερον τὸ ἀπὸ EZ, ZH, οὕτω τὸ ἀπὸ ΒΙΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ. ἀλλὰ συναμφότερον τὸ 1. ἐλάττων] p, ἔλαττον Vc. 4. καί] om. p. 5. κί mg. m. rec. V. 6. x«'] p, κβ΄ mg. m. rec. V, om. Vc. 18. καί) om. p. 14. αἱ vep, é V. ΖΘ] corr. ex Z4 p. 16. τρίγωνον] τρίγωνον τοῦ ABI' p. 16. BI] τὴν BI p. 17. ZH] τὴν ZH p. 18. ἐλάττονα] ἐλάττονα ἔξει Halley. 20. οὕτως] om. p. 21. οὕτως] om. p. 22. καὶ ἐναλλαξ] om. p. πό] ἀπὸ τῆς p. 28. πρός] πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ οὕτω p. ἀπόΪ ἀπὸ τῆς p. οὕτω] πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ZH, καὶ DE SECTIONE CONI. 169 rectam BÀ secabit. I'Z autem rectae 241Z aequalis minor est quam 1'4; circulus igitur centro Γ᾽, radio autem 1'Z descriptus rectam 44I' secabit. secet in T ueniet igitur per arcum PT. ergo etiam circuli K 4, MN inter se secant. XXI. Si duo trianguli non aequiceruriüi bases aequales habent, habent autem etiam rectas a uerlice ad punctum medium basis ductas aequales, maius latus minoris ad minus maiorem rationem habet quam maius latus maioris ad minus. sint trianguli 4BI, ΕΖΗ bases A41, EH aequales habentes in binas partes aequales sectas in punctis B Ζ A E, T E H 4, 0, sit autem etiam B4 — ΖΘ, et triangulus ΕΖΗ maior sit, sii autem 48.» BI'et EZ» ZH. do, esse 4B: ΙΓ ΕΖ: ΖΗ. nam, si minus, aut eandem habent rationem aut minorem. prius igitur, si fieri potest, sit 4B: BI'— EZ: ZH. laque 4B*: BI? — EZ?*:ZH?; quare eliam com- ponendo [Eucl V, 18] et permutando [Eucl. V, 16] AB* 4- ΒΓ": EZ -- ZH? — BI?:ZH*. est autem ἐναλλάξ, ὡς συναμφότερον τὸ ἀπὸ τῆς AB, BI" πρὸς cvvaugó- τερον τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ, ΖΗ p. 110 IIEPI.KONOT ΤΟΜΗΣ. ἀπὸ ΑΒΓ συναμφοτέρῳ τῷ ἀπὸ ΕΖΗ ἴσον᾽ καὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ ἄρα τῷ ἀπὸ ΖΗ ἴσον. ὥστε καὶ λοιπὸν τὸ ἀπὸ AB λοιπῷ τῷ ἀπὸ ΕΖ ἴσον" ἴση ἄρα ἡ μὲν AB τῇ EZ, ἡ δὲ ΒΓ τῇ ΖΗ. ἀλλὰ καὶ αἵ βάσεις ἴσαι" 6 πάντα ἄρα πᾶσιν ἴσα. ἴσον ἄρα τὸ 4ΒΓ τρίγωνον τῷ ΕΖΗ ὕπερ ἄτοπον" ἦν γὰρ ἔλαττον τὸ ABI. οὐκ ἄρα ἡ 4B πρὸς ΒΓ λόγον ἔχει, ὃν ἡ ΕΖ πρὸς ZH. ἀλλ᾽, εἰ δυνατόν, ἐχέτω ἡ 4B πρὸς BI' ἐλάττονα λόγον ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς ZH: ἡ ΕΖ ἄρα πρὸς ZH 10 μεέξονα λόγον ἔχει ἥπερ ἣ 48 πρὸς ΒΓ. τὸ ἄρα ΕΖΗ τρίγωνον ἔλαττόν ἐότν τοῦ ABI' διὰ τὰ δειχ- ϑέντα᾽ ὅπερ ἄτοπον᾽ ὑπέκειτο γὰρ μεῖξον. οὐκ ἄρα ἡ 48 πρὸς ΒΓΓ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ. ἐδείχϑη δέ, ὅτι οὐδὲ τὸν αὐτόν" ἡ 4B ἄρα πρὸς 15 BI' μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς ZH. κβ΄. Τὸν δοϑέντα κῶνον σκαληνὸν τεμεῖν διὰ τῆς κορυ- φῆς ἐπιπέδῳ ποιοῦντι ἐν τῷ κώνῳ τρίγωνον ἰσοσκελές. ἔστω ὃ δοϑεὶς κῶνος σκαληνός, οὗ ἄξων μὲν ὃ 4 B, 20 βάσις δὲ 6 ΓΕΖ κύκλος, καὶ δέον ἔστω τεμεῖν αὐτόν, ὡς ἐπιτέτακται. τευμήσϑω πρῶτον διὰ τοῦ ἄξονος τῷ AI ἐπι- . φεέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὄντι τῷ DEA κύκλῳ, καὶ ἤχϑω ἡ AH κάϑετος, ἥτις πίπτει ἐπὶ τὴν ΓΖ βάσιν τοῦ ATA 26 τριγώνου, καὶ τῇ D'4 πρὸς ὀρϑὰς ἤχϑω ἐν τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ἡ EZ, καὶ διὰ τῆς ΕΖ καὶ τῆς 4 κορυφῆς ἐκβεβλήσϑω τὸ ἐπίπεδον ποιοῦν τὸ 4ΕΖ 1. &xó(pr)]&zó rep. ΕΖΗ) τῆς ΕΖ,ΖΗ͂». ἴσον] ἴσον ἐστίν. καί --- ἃ. ἴσον] om. c. 1. τό)ϊτῶρ. ῶ. τῷ]τόρ. σον DE SECTIONE CONI. 111 [pro. XVII] 4B* - BI? — EZ! -ἰ ΖΗ". itaque etiam BI? — ΖΗ". quare etiam reliquum 4 B? reli- quo EZ? aequale est [Eucl. V, 9]; itaque 4B — EZ, BI - ZH. uerum eliam bases aequales sunt; itaque omnia omnibus aequalia [Eucl. I, 8]. quare [Eucl. I, 4] A ABI' — EZH; quod absurdum est; erat enim ΑΒΓ minor. ergo non est 4B: ΒΓ -- EZ: ZH. uerum, si fieri potest, sib 4B: BI' EZ: ZH; itaque EZ:ZH » AB: BI: itaque Δ ΕΖΗ « ABI propler ea, quae demonstrauimus [prop. XX]; quod absurdum est; supposuimus enim, esse ΖΗ.» ABI. llaque non es& 4B: BI'X EZ: ZH. demonstrauimus autem, ne eandem quidem rationem eas habere; ergo ent 4B: ΒΓ EZ: ZH. XXII. Datum conum scalenum per uerticem secare plano in eono triangulum aequierurium efficienti. sit datus conus scalenus, cuius axis sit 4B, basis autem circulus ΓΕΖ, et oporteat eum secare, ut dietum est. primum per axem secetur plano 41'71 ad circulum DEZ perpendiculari, ducaturque 44 H perpendicularis, quae in ΓΖ, basim inangul 4I'7/ cadit [Eucl. XI def. 4], et ad ΓΖ perpendicularis in plano circuli ἴσον ἐστίν p. ἃ. AB (pr. )] 4B ἴσον ἐστί p ἴσον] om. p. 7. Mg. « m. rec. V. 9. ZH(yr)] p, EH M 11. pP τό Ye. Post ABT del. τριγώνου p. 16. "n p, om xy m. rec. V. 18. τῷ] om. c? 23. DEA BEA Vcp, corr. Comm. 24. ἥτις] gt V. πίπτει] πιπτέτω p.. 8326. διζ] supra scr. m. 1 c. — 27. τό (pr.)] om. Halley. 112 ΠΕΡῚ ΚΩΝΟΎ ΤΟΜΗΣ. τρίγωνον. λέγω. ὅτι τὸ AEZ τρίγωνον ἰσοσκελές ἐότιν. ; ἐπεξεύχϑωσαν αἱ EH, ΖΗ. ἐπεὶ ἡ ΓΖ τὴν EZ πρὸς ὀρϑὰς τέμνουσα δίχα αὐτὴν τέμνει. ἴση ἄρα ἡ EH τῇ ΖΗ. καὶ κοινὴ ἡ AH, καὶ ὀρϑὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ A4 HE, AHZ γω- vuv: καὶ ἡ ΕΑ ἄρα τῇ 10 42 ἴση ἐστίν. ἰσοσκελὲς ἄρα τὸ AEZ τρίγωνον. | éx δὴ τούτου φανερόν ἐστιν, ὅτι πάντα τὰ συν- ιστάμενα τρίγωνα τὰς βά- 15 σεις ἔχοντα πρὸς ὀρϑὰς τῇ ΓΖ ἰσοσκελῆ ἐστιν. οι κγ΄. Ἔτι δεικτέον. ὅτι. ἐὰν τὰ γινόμενα τρίγωνα τὰς βάσεις μὴ πρὸς ὀρϑὰς ἔχῃ τῇ I4, οὐκ ἔσται ἰσοσκελῆ. 20 ὕἡῥἅ-ποκείσϑω γὰρ ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἡ EZ μὴ πρὸς ὀρϑὰς τῇ I'Z1* αἱ EH, ΖΗ ἄρα ἄνισοί εἶσι. κοινὴ δὲ ἡ ΗΑ καὶ πρὸς ὀρϑὰς αὐταῖς᾽ καὶ αἱ ἄρα EA, AZ ἄνισοί εἰσι. τὸ EAZ ἄρα τρίγωνον οὔκ ἐστιν ἰσοσκελές. 26 κδ΄. Ἐν κώνῳ σκαληνῷ τῶν διὰ τοῦ. ἄξονος συνιστα- μένων τριγώνων μέγιστον μὲν ἔσται τὸ ἰσοσκελές, 8. ἐπεί] ἐπεὶ οὖν p. 6. ἄρα] ἄρα ἑστίν p. 7. AH HAyp. 12. πόρισμα mg.p. 14. τρίγωνα] om.p. 417. κγ᾽] κ DE SECTIONE CONI. 173 ducatur EZ, et per EZ uerlicemque 44 planum du- eatur iriangulum A4 EZ efficiens. dico, triangulum AEZ aequicrurium esse. dueantur EH, ZH. quoniam I'/ rectam EZ ad rectos angulos secans in duas partes aequales eam secat [Eucl III, 3]), erit EH — ZH [Eucl. I, 4]. communis autem 4 H, et uterque angulus 4 HE, 4HZ rectus; quare etiam E — 42 [Eucl I, 4]. ergo triangulus 44EZ aequicrurius est. hinc manifestum est, omnes iriangulos, qui con- struantur bases ad 1741 perpendiculares habentes, aequi- crurios esse. XXIII. Praeterea demonstrandum, si trianguli effecti bases ad ΓΖ perpendiculares non habeant, aequierurios eos non fore. nam in eadem figura supponatur EZ ad I41 non perpendicularis; E H, ZH igitur inaequales sunt. com- munis autem H.4 οὖ ad eas perpendicularis; quare etiam E.4, 4Z inaequales sunt. ergo triangulus E4Z aequicrurius non est. XXIV. In cono scaleno iriangulorum per axem con- Structorum maximus eri iriangulus aequicrurius, . 1) Neque enim necesse est, EZ per B cadere; sed ita est in figura codicum V yp. mg. m. rec. V, xy' mg. p, om. Vc. 22. κοινή — 28. εἶσι] om. p. 25. κδ΄] p, om. Vc. 114 ΠΕΡῚ ΚΩΝΟΥ͂ ΤΟΜΗΣ. ἐλάχιστον δὲ τὸ πρὸς ὀρϑὰς τῇ βάσει τοῦ κώνου, τῶν ὃς λοιτῶν τὸ τοῦ μεγίστου ἔγγιον μεῖξόν ἐστι τοῦ ἀπώτερον. ἐν γὰρ κώνῳ σκαληνῷ διὰ τοῦ 4.1Β ἄξονος ἔστω ὅ τρίγωνα, ἰσοσκελὲς μὲν τὸ AI'4, ὀρϑὸν δὲ πρὸς τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον τὸ 4 ΕΖ. λέγω, ὅτι πάντων τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων μέγιστον μέν ἐστι τὸ 4 ΓΖ, ἐλάχιστον δὲ τὸ AEZ. ἔστω γὰρ διὰ τοῦ ἄξονος ἠγμένον ἄλλο τρίγωνον 10 τὸ 4 HO. καὶ ἐπεὶ σκαληνὸς ὁ κῶνος, κεκλίσϑω ὁ 48 ἄξων ἐπὶ τὰ τοῦ Ζ μέρη μεγίστη μὲν ἄρα ἡ AE πλευρὰ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ 4 ἐπὶ τὴν περιφέρειαν ἀγομένων εὐθειῶν, ἐλαχίστη δὲ ἡ 4Z. ἡ μὲν ἄρα EA τῆς 4Η μείξων ἐστίν. ἡ δὲ Ζ4 τῆς 4O ἐλάττων. 15 ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνα τὰ AEZ, AHO ἴσας ἔχει βάσεις τὰς ΕΖ, ΗΘ καὶ τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχο- τομίαν τῆς βάδεως τὴν αὐτὴν τὴν AB, καὶ μείξονα λόγον ἔχει ἡ AE πρὸς AZ ἥπερ ἡ H.4 πρὸς 46, ἔλαττον ἄρα ἐστὶ τὸ AEZ τοῦ H.AO. ὁμοίως δὲ δείκ- 20 νυται, ὅτι καὶ πάντων τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων" ἐλάχιστον ἄρα τὸ EAZ πάντων τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων. πάλιν ἐπεὶ τῶν 4HO, 4Γ4 τριγώνων oi τε βάσεις ἴσαι καὶ ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχο- τομίαν τῆς βάσεως ἡ αὐτή, καὶ ἔχει ἡ ΗΑ πρὸς 48 25 μείξονα λόγον ἤπερ ἡ I4 πρὸς 44] ἴσαι γὰρ αἵ ΓΑ, 8. ἀπώτερον] p, ἀἁπότερον Vc. 10. ó(pr)] ἐστιν ὁ p. κεκλίσϑω)] p, κεκλείσϑω V vc. 11. μέν] vcp, supra scr. m.1 V. 14.4H] H sustulerunt uermes in c. 17. τήν (alt. ἣ τῇο. 19. HAO| ΛΗΘ». 21. ἐλάχιστον — 32. τριγώνων (pr.) bisp. 22. ἐπεί] p, ἐπί Vc. 28. ἴσαι] ἴσαι εἰσί p. 24. H 4| A e corr. p. . DE SECTIONE CONI. 175 minimus autem, qui ad basim coni perpendicularis est, reliquorum autem maximo propior remotiore maior est. nam in cono scaleno per axem 4B trianguli ducti sint, aequicrurius “ΓΖ. perpendicularis autem ad planum basis 4EZ. dico, omnium triangulorum per axem .— ductorum maximum esse AIZ4, minimum autem 4 EZ. sib enim alius triangulus per axem ductus 4HO. et quoniam conus sca- lenus est, axis 4B ad partes Z uersus inclinatus sit; latus igitur 4E maxima est omnium recta- rum ab 4Ἵ ad ambitum ductarum, minima autem 42 [prop. XVI]. itaque EA AH, Z4 « 40. quoniam igitur duo trianguli 4EZ, 4H6 bases EZ, ΗΘ aequales habent rectamque a uertice ad punctum medium basis eandem 4B, et AE: AL HA:249, enti A 4EZ« HAO [prop XX]. similiter autem demonstratur, etiam omnibus triangulis per axem duetis minorem eum esse; ergo E.4Z minimus est omnium iriangulorum per axem ductorum. rursus quoniam triangulorum 4H 0, 4 ΓΩ͂ ei bases aequales 176 ΠΕΡῚ KGNOT TOMBz. 44: τὸ HAO ἄρα τρίγωνον ἔλαττόν ἐστι τοῦ IL'424 τριγώνου. ὁμοίως δὲ δείκνυται, ὅτι καὶ πάντα τὰ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνα τοῦ ΓΑ 4 ἐλάττονά ἐστι. μέγιστον ἄρα πάντων τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων τὸ ATA, ἐλάχιστον δὲ τὸ 4ΕΖ᾽ ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ὁμοίως δὲ δείκνυται, ὅτι καὶ τὸ τοῦ μεγίστου ἔγγιον μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπώτερον. Q , X€ . Ἐν và δοθέντι κώνῳ δκαληνῷ ἀπὸ τῆς κορυφῆς 10 ἐπὶ τὴν περιφέρειαν τῆς βάσεως εὐθεῖαν ἀγαγεῖν, πρὸς ἣν ἡ μεγίστη λόγον ἔξει δοϑέντα᾽ δεῖ δὴ τὸν δοϑέντα λόγον μείζονος μὲν εἶναι πρὸς ἐλάττονα. ἐλάττονα δὲ εἶναι τοῦ ὃν ἔχει ἡ μεγίστη τῶν ἐν τῷ κώνῳ πρὸς τὴν ἐλαχίστην. 166 δεδόσθω κῶνος, οὗ βάσις ὃ BI' κύκλος καὶ διά- μετρος τοῦ κύκλου ἡ BI, κορυφὴ δὲ τὸ 44 σημεῖον. πρὸς ὀρϑὰς δὲ τῷ ΒΓ κύκλῳ τὸ ABI' τρίγωνον με- γίστη μὲν ἄρα ἡ B.4 τῶν ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου εὐθειῶν, ἐλαχίστη δὲ ἡ AI. ἐπιτετάχϑω δὴ ἀπὸ τοῦ 4 20 ἐπὶ τὴν περιφέρειαν τοῦ κύκλου ἀγαγεῖν εὐθεῖαν, πρὸὺς ἣν ἡ ΒΑ λόγον ἕξει. ὃν ἔχει ἡ 4 εὐθεῖα μείζων οὖδα πρὸς τὴν E ἐλάττονα" ἐχέτω δὲ ἡ 4 πρὸς E λόγον ἐλάττονα τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΒΑ͂ πρὸς AI. κατήχϑω ἐπὶ τὴν ΒΙΓΓ κάϑετος ἡ AZ, καὶ ἐκβε- βλήσϑω ἡ BZH, καὶ ὡς ἡ 4 πρὸς E, οὕτως ἐχέτω ΕΘ Qt 1. Η4Θ] HO c. ἔλαττον) corr. ex ἔλασσον m. 1c. 8. ΓΑ4) 4Γ4 p. ἐλάττονα] p, ἔλαττον V vc (fuit correctum in V?). b. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] om. p. 7. ἀπώτερον] p. ἀπότερον Vc. 8. κε΄] p et m. rec. V, om. Vc. DE SECTIONE CONI. 171 sunt et recía a uertice ad punctum medium basis ducta eadem, οὐ H4: 40 7 D4:421 (nam I'A4 — 4A 4), ent ^A HAGO —I'44 [prop XX]. «similiter autem demonstratur, eliam omnes triangulos per axem ductos irangulo 1'421 minores esse. ergo 41' maximus esti omnium triangulorum per axem ductorum, minimus aulem 4 2: quod erat demonstrandum. similhter autem demonstratur, etiam triangulum maximo propiorem remotiore maiorem esse. XXV. In dato cono scaleno a uertice ad ambitum basis rectam ducere, ad quam maxima rationem habeat datam; oportet igitur, datam rationem maioris esse ad minus, minorem autem esse ea, quam habet maxima in cono recta ad minimam. , datus sib conus, cuius basis sit circulus BI' dia- metrusque circuli BI', uertex autem 44 punctum, et ad circulum BI' perpendieularis triangulus ABI maxima igitur rectiarum ἃ uertice coni ductarum est B.4, minima autem A4I'[prop. XVI]. iam sit pro- positum, ut ab 4 ad ambitum circuli rectam ducamus, ad quam B.4 rationem habeat, quam habet maior recta 7/4 ad minorem E; sit autem Z: E« ΒΑ: AT. ducatur ad BI' perpendicularis 4Z, producatur- que BZH, et ut 41: E, ita sit B.4 ad aliam aliquam, sitque ad 4 H, quae sub angulo 4Z H inseratur. itaque 11. δή] p, δέ Vc. 16. ὁ] uiv ó p. καὶ διάμετρος] διάμετρος δέ p. 16. BI'] B e corr. p. A] e corr. p. 22. 4] p, H4 Vc. Serenus Antinoensis, ed. Heiberg. 12 10 1ὅ 20 178 ΠΕΡῚ ΚΩΝΟΎ TOMHX. ἡ BA πρὸς ἄλλην τινά, ἐχέτω δὲ πρὸς τὴν AH, ἥτις ἐνηρμόσϑω ὑπὸ τὴν ὑπὸ AZH γωνίαν. ἡ BA ἄρα πρὸς ΔΗ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ AB πρὸς AI* μείξων ἄρα ἡ Η 4 τῆς 4Γ καὶ ἡ ΗΖ τῆς ΖΓ. ἐπεὶ οὖν, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Zl πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς E, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Β4 πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 4H, μεῖξον ἄρα τὸ ἀπὸ B4 τοῦ ἀπὸ AH, τουτέστι τὰ ἀπὸ ΒΖ. ZA τῶν ἀπὸ AZ, ΖΗ. κοινὸν ἀφῃρήσϑω τὸ ἀπὸ A4Z- λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΖ τοῦ ἀπὸ ΖΗ μεῖζον, καὶ ἡ ΒΖ τῆς ΖΗ. ἦν δὲ καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΖΗ ἐλάττων' ἡ ἄρα ΖΗ τῆς μὲν ΖΓ μείξων ἐστί, τῆς δὲ ZB ἐλάττων. ἐνηρ- μόσϑω τοίνυν τῷ κύκλῳ τῇ ΖΗ ἴση ἡ ZO, καὶ ἐπε- ξεύχϑω ἡ 40. ἐπεὶ οὖν ἡ ΘΖ τῇ ZH ἴση, κοινὴ δὲ ἡ ZA καὶ πρὸς ὀρθὰς ἑκατέρᾳ αὐτῶν, καὶ βάσις ἄρα ἡ 0.4 τῇ AH ἴση. ἐπεὶ οὖν, ὡς ἡ 4 πρὸς E, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς AH, τουτέστιν ἡ ΒΑ πρὸς 40, ἡ δὲ A πρὸς E ἐν τῷ δοϑέντι λόγῳ ἐστί, καὶ ἡ B. ἄρα πρὸς 46Θ ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ ἐστίνυ dj 40 ἄρα διῆκται, πρὸς ἣν ἡ ΒΑ λόγον ἔχει τὸν ἐπιταχϑέντα" ὕπερ ἔδει ποιῆσαι. 2. AZH] p, AHZ V et corr. ex AZ m. 1 c. 8. ἡ 48] om. p. 4. HA] p, HI' Vc. EZ) p, HI'Vc. Zr ΓΖ p. 6. AH| AH, μεῖξον δὲ ἀπὸ τῆς 44 τοῦ ἀπ τῆς E p. ἄρα! ἄρα καί p. 7. AH] BH p. ἀπό (tert.)] ἀπὸ τῶν p. ἀπό (pr.)) ἀπὸ τῶν p. 9. usifov] μεῖξόν ἐστι p. 18. Ts )] supra scr. m. 1c. ἴσῃ] loq ἐστί y. 16. ἴση] ἴση ἐστ P 17. ἐστί --- 18. λόγῳ] m. c. 18. 4 (alt.)] Yep, suppl. m. rec. V. ἄρα] ἄρα — V, t add. m. rec.; mg. ,M 1 sic in apographo. forte melius 4 δέδεικται ὡς πρὸς τὴν ΒΑ —*. 19. διῆκται)] vcp, διῆ- suppl. m. rec. πρός] vCp, -ρός suppl m. rec. V. ἤν) ν, om. c, ἡ v εὐ suppl m. rec. V. ἡ BA] p, B4 VN, nf. c. ἐπιταχϑέντα] vep, -τα- suppl. m. rec. V. 20. ὅπερ ἔδει ποιῆσαι] om. p. DE SECTIONE CONI. 179 BA: 4H« AB: AI; quare H4 Ὁ 4Γ [Eucl. V, 10] εἰ HZ ^ ZI' [Eucl. I, 47]?). quoniam igitur 43: Eb BAT AH? ent B.4?- 4H, hoc est [Eucl. I, 47] B2*--Z4*» AZ* -- ΖΗ" auferatur, quod commune est, 44 Z^; itaque quod relin- MES quitur BZ? ^ ZH? et ΒΖ» ZH. erai autem eliam DZ« ZH; quare ZU« ZH« ZB. in circulum igitur rectae ZH aequalis inseratur ΖΘ, ducaturque 440. 1) Itaque tertiam figuram solam respicit. 12* 1 e 15 180 ΠΕΡῚ KSNOT TOMHZ. , XS. Ἔστω τρίγωνον δοϑὲν τὸ ABI' σκαληνὸν μείξονα ἔχον τὴν 4B τῆς AT, ἡ δὲ ΒΓ βάσις τετμήσϑω δίχα κατὰ τὸ 4, καὶ διήχϑω ἡ 424, καὶ ἡ μὲν Ez πρὸς ὀρϑὰς ἔστω τῇ ΒΓ ἴση οὖσα τῇ 44, ἡ δὲ AZ κάϑετος ἐπὶ τὴν ΒΓ. μεῖξον τοῦ ΑΒΓ ἄλλο τρίγωνον συστή- ὄασϑαι τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν τῆς βάσεως ἴσην ἑκατέρᾳ τῶν ΖΕ, 41.4 καὶ προσέτι λόγον ἔχον πρὸς τὸ ABI, ὃν ἡ Θ πρὸς H μείξων πρὸς ἐλάττονα" ἐχέτω δὲ ἡ Θ πρὸς Η λόγον μὴ μείξονα ἥπερ ἡ 4Ε πρὸς 4Ζ. κέντρῳ τῷ 4, διαστήματι δὲ τῷ 444 γεγράφϑω κύχλος" ἥξει δὴ καὶ διὰ τοῦ E*- ἔστω δὴ ὃ EA. ἐπεὶ οὖν ὃ τῆς € πρὸς H λόγος οὐ μείξων ἐστὶ τοῦ τῆς 4E πρὸς 4122, ἤτοι ὃ αὐτός ἐστιν ἢ ἐλάττων. 1. xs'/] p et m. rec. V, om. Vc. Praemittit p: τριγώνου δοθέντος σκαληνοῦ καὶ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν τῆς βάσεως γμένης εὐθείας ἄλλο usifov τρίγωνον συστή- σασϑαι, ὥστε ἴσην μὲν ἔχειν τὴν βάσιν καὶ τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν τῆς βάσεως τῇ τοῦ δοθέντος τριγώνου, λόγον δὲ ἔχειν πρὸς τὸ δοϑὲν τρίγωνον, ὃν εὐθεῖά τις μείξων πρὸς ἐλάττονα᾽ δεῖ δὴ τὰς τοιαύτας εὐθείας λόγον ἔχειν πρὸς ἀλλήλας μὴ μείξονα τοῦ ὃν ἔχει ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ δοθέντος τριγό- γου ἐπὶ τὴν διχοτομίαν τῆς βάσεως ἠγμένη τῆς ἀπὸ τῆς κορυ- φῆς ἐπὶ τὴν βάσιν πιπτούσης καϑέτουι — 2. τρίγωνον δοϑέν] τὸ δοθὲν σκαληνὸν τρίγωνον p. σκαληνόν] ὁ. Ρ.(. 8. 4ΓῚ ΒΓ Vep, corr. Comm. ἡ δὲ ΒΓ' βάσις] καίρ. — BI'] B euan. c. δίχα] ἡ BI' βάσις δίχα p. 4. καί (ε1}.}] om. p. ἡ μέν — 6. συστήσασθαι] ἤχϑω δὲ ἀπὸ τοῦ A4 καὶ κάϑετος ἐπὶ τὴν ΒΓ βάσιν ἡ AZ, καὶ δέον ἔστω ἄλλο μεῖξον τρίγωνον συστήσασϑαι ἐπὶ τῆς BI'p. 8. ἑκατέρᾳ --- 4 4] ἔχον τῇ 441 p. 9. ABT] ABT τρίγωνον p. 6 — 10. ἐλάττονα] € μείξων πρὸς ἐλάτ- τονα τὴν H p. 10. H] vv H p. 1]. ἤπερ) τοῦ ὃν ἔχει p. 4E] 44A p. AZ] corr. ex 44Z m. 1 c. 12. κέντρῳ) ἤχϑω ἀπὸ τοῦ 4 πρὸς ὀρθὰς ἡ 4 E καὶ κέντρῳ p. κέντρῳ — 44] om. c. γεγράφϑοω — 18. EA] κύκλου περιφέρεια .DE SECTIONE CONI. 181 quonam igitur ΘΖ — ZH, el communis Z.4 et ad utramque earum perpendicularis [Eucl. XI def. 3], erit eliam basis 60.4 — 4H [Eucl. I, 4]. quoniam igitur 4:E— BA: AH — BA: 40, et 4: E i — data ralüone est, eliam B4: 4€ in data est ratione. ergo ducia οδὺ 40, ad quam B.4 rationem habeat pro- positam; quod oportebat fieri. XXVI. Sit datus triangulus scalenus 4 B I' habens 4B AT, et basis BI' in z/ in duas partes aequales secetur, ducaturque 47/1, Ez1 auiem rectae 2144 aequalis ad BI' perpendicularis sit, 42 aulem ad BI' perpendicularis. θὲ j| construendus alius triangulus triangulo | ABI' maior, qui rectam a uertice ad B Z punctum medium ba- 4 D . . sis ductam utrique 4E, 44 aequalem habeat et praeterea ad “ΒΓ ratio- nem, quam 0:.H maior ad minorem; sib autem 0: H non maior quam ΖΕ: AZ. centro 47, radio autem 721.4 circulus describatur; ueniet igitur etiam per E; sit igitur E Δ. iam quoniam 0 : H non maior est quam ΖΕ: 4Z, δαὺ eadem est aut minor. E γεγράφϑω ἡ EA ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ 4E τῇ 44 wol p. 13. δὴ 6| c, bis Vv (ὁ alt. loco del. m. rec. V). 14. οὖν] om. p. 6| vcp, corr. ex zin scrib. V. ΗἹ τὴν Hp. 16. 4E] 44A iro, τῆς 4E p. 182 ΠΕΡῚ K9NOT TOMBZ. ἔστω πρότερον Ó αὐτός, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ EB, EI. ἐπεὶ οὖν, ὡς ἡ Θ πρὸς H, οὕτως ἡ ΕΖ πρὺς AZ, ὡς δὲ ἡ ΕΖ πρὸς AZ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΖ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ 4Z, BI, ὡς ἄρα y Θ πρὸς H, οὕτως ὅ τὸ ὑπὸ Ez, ΒΙΓ πρὸς τὸ ὑπὸ AZ, BI. ἀλλὰ τοῦ μὲν ὑπὸ ΕΖ, ΒΓΙΓ ἥμισύ ἐστε τὸ ΕΒΓ τρίγωνον, τοῦ δὲ ὑπὸ 4Z, ΒΓ ἥμισύ ἐστι τὸ ABI τρίγωνον" καὶ τὸ BEI ἄρα πρὸς τὸ ΒΑΓ λόγον ἔχει, ὃν ἡ Θ πρὸς Η, τουτέστι τὸν ἐπιταχϑέντα. ἀλλὰ δὴ ἐχέτω ἡ O πρὸς Η ἐλάττονα λόγον ἥπερ 7) ΕΖ πρὸς 4Ζ, γενέσϑω δέ, ὡς ἡ € πρὸς H, οὕτως 1j ΚΩ͂ πρὸς 4Ζ.,. καὶ διὰ τοῦ K τῇ D παράλληλος ἤχϑω ἡ KA, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἴ AB, AI. ἐκεὶ οὖν, ὡς ἡ Θ πρὸς H, οὕτως ἡ ΚΩ͂ πρὸς AZ, ὡς δὲ 15 ἡ ΚΖ πρὸς AZ, οὕτως τὸ ΒΑΓ τρίγωνον πρὸς τὸ BAT τρίγωνον, τὸ ἄρα ΒΑΓ πρὸς τὸ BAT vóv ἐπι- ταχϑέντα ἔχει λόγον τὸν τῆς € πρὸς Η᾿ ἔχει δὲ καὶ τὴν A4 ἴσην τῇ 44: ὃ προστέτακται ποιῆσαι. 1 e xf. 20 Τὸν δοϑέντα κῶνον σκαληνὸν τεμεῖν διὰ τοῦ übo- νος ἐπιπέδῳ ποιοῦντι τρίγωνον ἐν τῷ κώνῳ, ὃ τὸν δοθέντα λόγον ἕξει πρὸς τὸ ἐλάχιστον τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων δεῖ δὴ τὸν δοϑέντα λόγον μείξονος ὄντα πρὸς ἔλαττον μὴ μείζονα εἶναι τοῦ ὃν ἔχει τὸ 2ὅ μέγιστον τρίγωνον τῶν διὰ τοῦ ἄξονος πρὸς τὸ ἐλά- χιστον. ἔστω ὃ δοϑεὶς κῶνος δκαληνός, οὗ ὁ ἄξων ὁ AB, 2. ὧς] supra scr. p. ΗἸ τὴν H p. 8. AZ (utrumque) τὴν AZ p. 4. ὡς ἄρα — 6. 42, BI'] om. p. e. ΕΒΓ cor ex ΑΒΓ m. 1 c. — Post τρίγωνον del. καὶ τὸ ΒΕΓ τρί- DE SECTIONE CONI. 183 sii prius 0: H — AE: AZ, ducanturque EB, EI. quoniam igitur 0 : H — ΕΖ : AZ, et | Ε4:.42 -Ξ Ε4 »« ΒΓ: 42»«.«8ΒΓ, ent Θ: H — Ε4;».« ΒΓ: AZ »« BI: est autem EBDI-—i4EZ4»2»«BI, ABI --- 1 42)»-ς ΒΓ [Eucl I, 4l] quare etiam BEI': BAI' —— 09: H, boc est rationi propositae. iam uero sii 9: H « EZ: AZ, fiatque K24:4Z-—390:H, ei per K rectae ΓΖ parallela ducatur K 4, dueanturque 4B, ΑΓ. quoniam igitur 0:H—K4:4A4Z, εἰ ΚΑ: AZ — Δ Β4Γ: BAT [cfr. Eucl. VI, 1], erit BAI': ΒΑΓ — 0: H, hoc est rationi propositae; habet autem etiam 44 — 44; quod propositum erat. XXVII. Datum conum scalenum per axem secare plano iriangulum in cono efficienti, qui ad minimum trian- gulorum per axem ductorum datam habeat rationem; oportet igitur, datam rationem maioris ad minus non maiorem esse ea, quam habet maximus triangulus per axem ductus ad minimum. sit datus conus scalenus, cuius axis sit 4B, basis yovov m. 1c. ἢ. ἐστι] om.p. 8. BET] EBIT' p. ΒΑΓ ἀπὸ τῆς ΑΒΓ p. 9. H| τὴν H p. 10. ἐχέτω] bis V. Wm τὴν H p. ἐλάττονα λόγον ἤπερ] λόγον ἐλάττονα τοῦ ὃν ἔχει p. 11. EA4) AE p. δέ] δή p. H] τὴν H yp. οὕτως] om. p 12. 42] τὴν 42 p. 18. K 4] K e corr. p. 14. H] τὴν H p. 16. ΒΑΓῚ corr. ex ΜΓ m. 1c. πρός (alt.)] p, om. Vc. τό (alt) τοῦ Cc. 16. τρίγωνον] τριγώνου c, om. p. τό (alt.)] p, τόν Vc. 17. ἔχει λόγον] λόγον ἔχει p. H] τὴν H p. 18. προστέτακται) προτέτακται c. 19. x£'] p et m.rec. V, om. Vc. 20. κῶνον] xovo V. 28. δὴ τόν] p, δὲ τόν V, δέ ς. 21. ó(sec.)] om. p. eO 10 1 jeu 20 184 ΠΕΡῚ KGONOT TOMHZ. βάσις δὲ ὃ περὶ τὸ B κέντρον κύκλος, τὸ δὲ ἐλάχιστον τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων τὸ AI, καὶ δέον ἔστω διὰ τοῦ 4B ἄξονος ἀγαγεῖν ἐπίπεδον ποιοῦν τρίγωνον, ὃ λόγον ἕξει πρὸς τὸ 4: ΓΖΩ͂ τρίγωνον, ὃν ἔχει ἡ E εὐθεῖα μείξων οὖσα πρὸς τὴν Z, μὴ μείξονα λόγον ἤπερ τὸ μέγιστον τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων πρὸς τὸ ἐλάχιστον τὸ ATA. —— εἰ μὲν οὖν ἡ E πρὸς Z λόγον ἔχει, ὃν τὸ μέγι- στον τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων πρὸς τὸ ἐλάχιστον, διὰ τοῦ B πρὸς ὀρθὰς τῇ ΓΖ4 ἀγαγόντες εὐϑεῖαν ἐν τῷ κύκλῳ καὶ διὰ τῆς ἀχϑείσης καὶ τοῦ ἄξονος ἐχ- βαλόντες ἐπίπεδον ἕξομεν τρίγωνον ἰσοσκελές, ὃ μέγι- στόν ἐστι τῶν διὰ τοῦ übovog: ταῦτα γὰρ ἐδείχϑη᾽ καὶ ἕξει πρὸς τὸ A4l'4 λόγον τὸν τῆς E πρὺς Z, τουτέστι τὸν ἐπιταχϑέντα. ἐχέτω δὲ νῦν ἡ E πρὸς Z ἐλάττονα λόγον ἥπερ τὸ μέγιστον τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων πρὸς τὺ ἐλάχιστον, καὶ κείσϑω ἐχτὸς εὐθεῖα ἡ H9 ἴση οὖσα τῇ ΓΖ, καὶ ἐπ’ αὐτῆς τὸ K HO τρίγωνον ὅμοιον ὃν τῷ Al, ὥστε καὶ τὴν ΚΗ τῇ AT ἴσην εἷναι καὶ πάντα πᾶσιν, καὶ ἐπὶ τῆς HO συνεστάτω τρίγωνον ἴσην ἔχον τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν τῆς βάσεως τῇ Κὶ4 καὶ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ΚΗΘ, ὃν 2. 4Γ4] 4 euan. c. 6. λόγον] δέ Halley cum Comm. ἤπερ) τοῦ ὃν χει y. 7. Post ἐλάχιστον del. διὰ τοῦ B πρὸς ὀρϑάς m. 1 c. τὸ 4lId]om.p. 8. εἰ] ἡ c. εἰ μὲν — 9. ἐλάχιστον] bis p, sed corr. 8. 0v] p, ὧν Vc. 8. τρι- γώνων] om. c. 18. ἐστι) ἔσται p. 14. E] EZ. 27] τὴν Z p. 16. δὲ νῦν] om. p, supra scr. δή. Z] τὴν Z p. 18. xal. — ἐκτός] ἐκκείσθω p. εὐϑεῖα) εὐθεῖά vig p. 20. τήν] e corr. p. ΚΗ] vep, H suppl. m. rec. V. 421. πᾶσιν) πᾶσι p ΗΘ] ΗΘ ἄλλο τρίγωνον p. τρίγωνον] τὸ MHO p. 28. τό] τήν Ῥ. DE SECTIONE CONI. 185 autem circulus circum B centrum descriptus, minimus autem iriangulorum per axem ductorum sit 4 ΓΖ, et oporteat per axem 4B planum ducere triangulum efficiens, qui ad tri- angulum 4I ratüo- nem habeat, quam maior recta E: Z, quae ratio maior non sib ea, quam habet maximus triangu- lorum per axem ducto- rum ad minimum A414. iam si E: Z rationem habet, quam maximus triangulorum per axem ductorum ad minimum, recta in circulo per B ad I'4 perpendiculari ducta et plano per rectam ductam axemque producto triangulum aequicrurium habebimus, qui maximus sit truangulorum per axem ductorum; haec enim demon- Strata sunt [prop. XXIV |: et ad 43 ΓΖΩ rationem habebit, quam E: Z, hoc est propositam. iam uero E: Z minorem rationem habeat, quam maximus iriangulorum per axem ductorum ad mini- mum, ponaturque exirinsecus recta H0 rectae ΓΖ aequalis, οὗ in ea triangulus KH triangulo AT similis, itia ut etiam KH — A4I' οὐ omnia omnibus [Eucl. VI, 4], et in H9 triangulus construatur rectam ἃ uerlice ad punctum medium basis rectae K.4 ae- qualem habens οὐ ad KH rationem habens, quam E:Z [prop XXVI] triangulus igitur constructus ex 10 15 2 e 25 186 ΠΕΡῚ K9NOT TOMBHZ. ἡ Ε πρὸς Z. τὸ δὴ συνιστάμενον τρίγωνον τὴν κορυφὴν ἕξει ἐπὶ τὰ τοῦ Η μέρη. ὡς δειχϑήσεται. ἔστω δὴ τὸ MHO, ὥστε τὴν ΜΗ πλευρὰν τῆς ΜΘ μείξονα εἶναι. ἐπεὶ οὖν ἡ MA τῇ AK ἴση. κοινὴ δὲ ἡ AH, μείξων δὲ ἡ ὑπὸ KAH γωνία τῆς ὑπὸ MAH, μείξων ἄρα ἡ KH τῆς ΜΗ. ἡ δὲ KH τῇ LA low καὶ ἡ ΓΑ ἄρα τῆς MH μείξων ἐστί. πάλιν ἐπεὶ ἡ KO τῆς MO ἐλάττων ἐστίν, ἡ δ ΜΘ τῆς ΜΗ ἐλάττων, ἡ ἄρα ΚΘ τῆς MH ἐλάττων ἐστίν. ἐπεὶ οὖν ἡ MH τῆς μὲν μεγίστης τῶν ἐν τῷ κώνῳ ἐλάττων ἐστὶ τῆς AT, τῆς δὲ ἐλαχίστης μείξων τῆς 421, δυνατὸν ἄρα εὐθεῖαν ἴσην τῇ MH ἀπὸ τῆς 4 κορυφῆς ἐπὶ τὴν περιφέρειαν τῆς βάσεως ἀγαγεῖν, ὡς ἤδη μεμαϑήκαμεν. ἤχϑω δὴ καὶ ἔστω ἡ AN, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ NBA καὶ ἡ AA. ἐπεὶ οὖν ἴδη ἡ μὲν AN τῇ MH, ἡ δὲ ΝΒ τῇ HA, ἡ δὲ BA τῇ AM, ὅλον ἄρα τὸ ANB. τρί- yovov τῷ ΜΗ. ἴδον ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ABN γωνία τῇ ὑπὸ MAH: καὶ ἡ ὑπὸ ABA ἄρα τῇ ὑπὸ MAGO. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἡ μὲν AB τῇ AM, ἡ δὲ BA τῇ 40, ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ABA γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ M AO, ἴση ἄρα ἡ A45 τῇ ΜΘ. ἦν δὲ καὶ ἡ AN τῇ MH ἴση καὶ ἡ NA βάσις τῇ Η͂Θ' τὸ ἄρα AN 5S τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ HMO. ἀλλὰ τὸ HMO πρὸς τὸ ΗΚΘ, τουτέστι πρὸς τὸ ΓΑ 2Ζ,., λόγον ἔχει τὸν τῆς E πρὸς Z: καὶ τὸ ANA ἄρα πρὸς τὸ 4Γ4ἧ λόγον ἔχει, ὃν ἡ 1. Z] τὴν Z p. τό — ἃ. ἔξει) ἔσται δὴ ἡ κορυφὴ vo? ΜΗΘ τριγώνου p. 2. ἔστω --- 4. εἶναι) καὶ ἡ ΜΗ τῆς M8 μείξων p. 6. ΓΑ͂ corr. 6. ΓΒ». 7. μείζων: ἐλάττων corr. ex ἐλάσσων p. 8. ἐλάττων (alt) — 9. ΚΘ] xol ἡ ΚΘ ἄρα p. 14. ἐπεξεύχϑω — καί] διὰ τοῦ B ἤχϑω ἡ NBA καὶ ἐπε- ξεύχϑω p. 16. ἴση] ἴση ἐστίν p. 16. ὅλον ἄρα] καί p. 17. τῷ] ἄρα τῷ p. Ante [cov del ro, m. 1 c. 18. MAH] MAH ἴση p. ἄρα] om. p. 20. γωνία ἴση ἐστί om. p. DE SECTIONE CONI. 181 uerticem ad partes H uersus habebit, αὖ demonstra- bimus [prop. XXVIII]. sit igitur MHO, ita ut sit latus MH MO. quoniam igitur MA — AK, et AH communis est, οὐ / K 4H ^ MAH, erit KH ^» MH [Eucl I, 24]. est autem x KH-I4; quare etiam I4 MH. rursus quon- iam ΚΘ — ΜΘ [Eucl. I, 24] et ΜΘ « MH, erii ΚΘ — MH. quoniam igi- tur MH maxima in cono recta ΑΓ [prop XVI] minor est, minima autem 9 A4 4 maior, fieri potest, ut A . . ab 44 uertice ad ambitum basis recta ducatur rectae M H aequalis, ut iam di- dicimus [prop XXV] ducatur igitur sitque 4 N, ducanturque ΝΒ et 4,5. quoniam igitur 4N — MH, NB — H4, B4 — AM, ert lotus iriangulus ANB — MHAeV LL. ABN — MAH [Eucl. I, 8; I, 4]; quare etiam / 485 — Μ4Θ [Ἐπ]. I, 13]. rursus quonam 4B -— 4M, BE — 40, ( 485 — MAGO, ert 4X — MO [Eucl I, 4]. erat autem etiam AN -- MH et basis ΝΕ — HO; quare ^ 4NÀ — HMO [Eucl. I, 8; I, 4]. uerum HM: HK0—E:Zz— HMe: IAA; Ma H 21. ἄρα — MO] xol ἡ AX ἄρα τῇ MO ἐστιν lon p. ἡ (pr 3l euan, c. 22. ἄρα] corr. ex ἄρ m. 1 V. ἄρα ANS] ANE Éov p. ANE] NEv. 28.HMO(pr)] MH9 p. 2o) MH τρίγωνον p. HK6|KH6Op. 26.2] τὴν Z p. ἄρα ἄρα τρίγωνον p. ὃν ἡ] τὸν τῆς p. L2 188 ΠΕΡῚ ΚΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ. E πρὸς Z. ἧχται ἄρα διὰ τοῦ ἄξονος τὸ AN; τρί- γῶνον. ὡς ἐπιτέτακται. | κη΄. Εἰ δέ τις λέγει, ὅτι τὸ συνιστάμενον ἐπὶ τῆς HO ὅ τρίγωνον μεῖξον ὑπάρχον τοῦ ΗΚΘ ἐπὶ τὰ τοῦ Θ μέρη τὴν κορυφὴν ἕξει. συμβήσεται ἀδύνατον. ἔστω γάρ, εἰ δυνατόν, οὕτως. ἐπεὶ οὖν ἴσαι αἱ K 4, M A, κοινὴ δὲ ἡ AH, ἡ δὲ ὑπὸ MAH γωνία μείξων τῆς ὑπὸ KAH, μείξων ἄρα ἡ MH τῆς ΚΗ. διὰ τὰ αὐτὰ 10 δὴ xol ἡ ΚΘ τῆς ΘΜ μείξων. ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν MH τῆς ΗΚ μείξων ἐστίν. ἡ δὲ ΜΘ τῆς ΘΚ ἐλάττων, ἡ ἄρα MH πρὸς ΗΚ μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΜΘ πρὸς ΘΚ' καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ἡ ΗΜ πρὸς ΘΜ μείξονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ. ἔλαττον ἄρα ἐστὶ 18 τὸ HMO τοῦ ΗΚΘ' ὅπερ ἀδύνατον" ὑπέχειτο γὰρ μεῖξον. οὐκ ἄρα ἐπὶ τὰ τοῦ € μέρη τὴν κορυφὴν ἕξει τὸ τρίγωνον᾽ ἐπὶ τὰ τοῦ Η ἄρα μέρη ἕξει. κϑ'. Ἐὰν κῶνος σκαληνὸς διὰ τοῦ ἄξονος ἐπιπέδῳ τμηϑῇ 20 πρὸς ὀρϑὰς τῇ βάσει, τοῦ δὲ γενομένου τριγώνου 1j ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάϑετος μὴ ἐλάττων ἦ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως. τὸ πρὸς ὀρϑὰς τῇ 1. Z] τὴν Z p, EZ Vc. 8. κη mg. m. rec. V, om. Vcp. 4. λέγει] vc, corr. ex λέγοι m. 1 V, λέγοι yp. 7. ἴσαι) ἴσαι εἰσίν p. 10. οὖν ἡ μέν} bis c. 11. ΜΘΊ K8 y. OK ἐλάττων] ΘΜ p. 12. πρός] vfjg p. 18. ἄρα] om. p. HM] MH p. 6 M] MO p. 14. HK] ΗΘ p. ἐστὶ] om.p. 15. HMO|] MOHyp. ἩΚΘῚ ΚΗΘ». 10. uei£o»] Y, corr. ex usítov m. 1 c, ueífov p. τοῦ] addidi, om. Vcp. 17. τρίγωνον] ἐπὶ τῆς HO συνιστάμενον τρίγωνον usifov ὃν τοῦ ΚΗΘ p. ἔξει (alt)] om. p. 18.. *9'] mg. m. rec. Y, DE SECTIONE CONI. 189 itaque etiam 4NAX: 4I'4 — E:Z. ergo per axem ductus est triangulus 4 NS, ut propositum est. XXVIII. Sin quis dieat, triangulum in H6 constructum irnangulo HK 69 maiorem ad partes 9 uersus uerticem habiturum esse, eueniet ab- surdum. nam, si fieri pot- est, ita sit. quoniam igitur ΚΑ -— MA, communis autem 4H, et LMAH»KAH, ent eliam MH» ΚΗ [Eucl I, 24]. eadem de causa etiam K 9 — 6 M. buoniam igitor MH ^» HK et MO — OK, erit MH: HK» ΜΘ: ΘΚ; quare etiam permutando ΗΜ:ΘΜ»)ῬΡΗΚ: ΚΘ [Pappus VII, 41]. ilaque ^^ HM « HKO [prop. XX]; quod fieri non potest; nam supposuimus HM — HKO. quare tr- angulus ille uerticem non habebit ad partes Θ᾽ uersus; ergo eum ad partes H uersus habebit. H 0 AA XXIX. Si eonus scalenus per axem plano secatur ad basim perpendiculariter, triangulique effecti recta a uertice ad basim perpendicularis non minor est radio basis, triangulus ad basim perpendicularis maximus erit *n p, om. Vc. 19. διά] p, ἐπί Vc. 21. ἐπί] euan.c. 22. τῆς (alt.)] vc, supra scr. m. 1 V, om. p. óg8'dg] ó- e corr. m. 1 c. 190 ΠΕΡῚ K9NOYT TOMBHBZ. βάσει τρίγωνον μέγιστον ἔσται πάντων τῶν ἐκτὸς τοῦ ἄξονος ἐν τῷ κώνῳ συνισταμένων τριγώνων καὶ παραλ- λήλους βάσεις ἐχόντων τῇ τοῦ πρὸς ὀρϑὰς τριγώνου. κῶνος γάρ, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ 4, βάσις ὃὲ ὃ περὶ τὸ Βὶ κέντρον κύκλος, τετμήσϑω διὰ τοῦ ἄξονος ἐπι- πέδῳ ποιοῦντι τὸ ALD τρίγωνον πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει τοῦ κώνου, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ 4 ἐπὶ τὴν ΓΖ κάϑε- vog μὴ ἐλάττων ἔστω τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως. λέγω. ὅτι τὸ AI'4 τρίγωνον μέγιστόν ἐστι πάντων 10 τῶν ἐν τῷ κώνῳ συνισταμένων τριγώνων βάσεις ἐχόν- τῶν παραλλήλους τῇ ΓΖ. διήχϑω γὰρ ἐν τῷ κύχλῳ τῇ ΓΖ4Ω παράλληλος ἡ EZ, ip! ἧς τὸ AEZ τρίγωνον, ἐν δὲ τῷ τοῦ 44 τριγώνου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρϑὰς ἀνεστάτω τῇ ΓΖΩ͂ ἡ 15 BH, καὶ τῇ ΓΖ παράλληλος ἡ ΑΗ’ ἡ ΒΗ ἄρα ἴδη ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ A4 ἐπὶ τὴν ΓΖ καϑέτῳ. ἐπεξεύχϑοω- σαν αἱ HI, Hz, HE, HZ: νοηϑήσεται δὴ κῶνος, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ H, ἄξων δὲ ἡ ΗΒ, βάσις δὲ ὃ περὶ τὸ B κέντρον κύκλος, ἐν ᾧ τρίγωνα διὰ μὲν τοῦ ἄξονος τὸ HI'4, ἐκτὸς δὲ τοῦ ἄξονος τὸ ΗΕΖ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΒΗ οὐκ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, διὰ τὰ προδεδειγμένα ἄρα τὸ HIA μεῖξόν ἐστι τοῦ ΗΕΖ καὶ πάντων τῶν ἐν τῷ κώνῳ τριγώνων βάσεις ἐχόν- τῶν παραλλήλους τῇ Da. ἀλλὰ τὸ μὲν HI'4 τῷ 25 4Γ4 ἴσον ἐστίν" ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεως καὶ &v ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις" τὸ 0b ΗΕΖ τῷ AEZ icov τὸ ἄρα 4Γ24 τοῦ 4ΕΖ μεῖξόν ἐστιν. ὁμοίως δὲ δείκ- οι 2 Θ 1, ἔσται] om. c. ἐκτός) p, ἐντός Vc. 18. ἡ] Vc ὁ P, fort. recte. HB] Hecor.p. 19. B]p, T Vc. $5 καὶ εἰσι καί p. 27. AI'4] vcp, AI' e corr. m. 1 V. DE SECTIONE CONI. 191 omnium iriangulorum, qui in cono extra axem con- síiruuntur basesque parallelas habent basi trianguli perpendicularis. conus enim, cuius uertex sit 44, basis autem cir- eulus cireum B centrum descriptus, per axem secetur plano triangulum AI efficienti ad basim coni perpendicularem, recta autem ab 4 ad ΓΖ perpendicularis non mi- nor sit radio basis. dico, triangulum 4 ΓΖ maxi- mum esse omnium iri- angulorum, qui in cono construantur bases rectae ΓΖ parallelas habentes. nam in circulo rectae ΓΖ parallela ducatur EZ, in qua triangulus ΔΕΖ, in plano autem tnanguli 4171 ad I'4 per- pendieularis erigatur BH, rectaeque I'// parallela ducatur 4H; itaque BH rectae ab 4 ad ΓΖ per- pendieulari aequalis est [Eucl. I, 34]. ducantur HI, H4, HE, HZ; fingemus igitur conum, cuius uertex sit H, axis autem H B, basis autem circulus circum centrum B descriptus, et in eo triangulo HI'4 per axem, extra axem aulem H EZ. quoniam igi- tur BH non minor est radio, propter ea, quae antea demonstrauimus [prop. V], erit HI ^ ΗΕΖ omni- busque in cono triangulis, qui bases habent rectae 10 15 20 1929 ΠΕΡῚ KONOT TOMBZ. νυται, ὅτι καὶ πάντων τῶν παραλλήλους βάσεις ἐχόν- vov τῇ D. τὸ AI ἄρα μέγιστόν ἐστι πάντων τῶν παραλλήλους βάδεις ἐχόντων τῇ D: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. λ΄. Ἐὰν δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Α κάϑετος ἐπὶ τὴν ΓΖ ἐλάτ- τῶν ἦ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, τὸ 4 ΓΖ οὐκ ἔσται μέγι- στον τῶν τὰς παραλλήλους τῇ D'4 βάσεις ἐχόντων τριγώνων᾽ ἡ δὲ αὐτὴ δεῖξις καὶ καταγραφή. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΗΒ ἐλάττων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου. τὸ ἄρα HI οὐκ ἔσται μέγιστον τῶν παραλλήλους αὐτῷ βάσεις ἐχόντων᾽ ἐδείχϑη γὰρ καὶ μείξονα αὐτοῦ συν- ιστάμενα καὶ ἐλάττονα καὶ ἴσα. εἰ μὲν οὖν ἔλαττον τὸ ΗΓΖ τοῦ ΗΕΖ, ἔλαττον ἔσται καὶ τὸ AI τοῦ AEZ, εἰ δὲ μεῖξον τὸ ΗΓΖ τοῦ ΗΕΖ. μεῖξον καὶ τὸ 4ΓΖ24 τοῦ AEZ, καὶ ἴσον ὁμοίως. λα΄. Ἐὰν ἐν σκαληνῷ κώνῳ τμηϑέντι διὰ τῆς κορυφῆς ἐπιπέδοις ἐπὶ παραλλήλων βάσεων ἰσοσκελῆ τρίγωνα συστῇ, ὃ δὲ ἄξων τοῦ κώνου μὴ ἐλάττων T, τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως. τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς μέ- γιστον ἔσται πάντων τῶν ἰσοσκελῶν τῶν συνισταμέ- vov, ἐφ᾽ ὃ μέρος προσνεύει ὁ ἄξων. ἔστω κῶνος, οὗ ἄξων μὲν ὃ AB, βάσις δὲ ὃ περὶ 2. τὸ AI -- 4. δεῖξαι} om. p. ὅ. 1] om. Ve, x9 p. 8. τάς] om. p. 9. d — καταγραφή δὰ γὰρ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς p. 10. γὰρ] om. p. λάττων] ἐλάτ- των ἐστί p. 12. Post Yee add. T m. rec. V (in md nunc nihil comparet). καί — αὐτοῦ] αὐτοῦ καὶ μείξονα P. 16. xol] si δὲ [cov p. 17. λα΄] om. Vc, 4' p et m. -ec. V. 18. ἐν] p, om. V vc. τμηϑέντι] om. p. DE SECTIONE CONI. 193 ΓΖ paralelas. uerum HI' — 4ΓΖ4Ζ [Eucl. I, 31] (nam in eadem basi sunt et in iisdem parallelis) et HEZ -— AEZ [id. itaque 4I'4 — 4EZ. eodem aulem modo demonstratur, eum etiam omnibus trian- gulis bases rectae ΓΖ parallelas habentibus maiorem esse. ergo 4lI'/ maximus est omnium triangulorum, qui bases rectae ΓΖ parallelas habent; quod erat demonstrandum. XXX. Sin recta ab 4 ad I'4 perpendicularis minor est radio, A4I'4 maximus non erit triangulorum bases rectae I'7/ parallelas habentium; demonstratio autem fipuraque eadem est. quoniam enim HB minor est radio, Η ΓΖ maximus non erit eorum, qui bases ei parallelas habent; demon- Strauimus enim [prop. XI] triangulos et maiores eo et minores et aequales construi. iam si HI « ΗΕΖ ent etiam A4I'4 « AEZ, &n HI'4 HEZ, etiam AI'47 AEZ, et aequalis eodem modo. XXXI. Si in eono scaleno per uerticem planis secto in basibus parallelis trianguli aequicerurii construuntur, axis autem coni non minor est radio basis, triangulus aequicrurius per axem ductus maximus erii omnium aequicruriorum ad eam partem uersus constructorum, ad quam axis inclinatus est. sit conus, cuius axis sib 4B, basis autem circulus --- LL—— ———— MM —À M — — M M 9 19. ἐπιπέδοις ἐπιπέδοις τμηϑέντι p. 24, ὁ περί] vcp, suppl. m. rec.. V. Serenus Antinoensis, ed. Heiberg. 13 194 ΠΕΡῚ ΚΩΝΟΎ TOMHZ. τὸ Βὶ κέντρον κύκλος, τοῦ δὲ πρὸς ὀρϑὰς τῷ κύκλῳ τριγώνου διὰ τοῦ ἄξονος ἠγμένου βάσις ἔάτω ἡ ΓΒ 4, καὶ ἡ ὑπὸ 484] γωνία ἐλάττων ἔστω ὀρϑῆς., ὥστε τὴν AB ἐπὶ τὰ 4 μέρη προσνεύειν, καὶ ἔστω ἡ AB 5 μὴ ἐλάττων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου. λέγω, ὅτι τὸ διὰ τῆς A B ἰσοσκελὲς μέγιστόν ἐστι τῶν γινομένων ἰσοσκελῶν τριγώνων τῶν μεταξὺ τῶν B, 4 σημείων τὰς βάσεις ἐχόντων. εἰλήφϑω ἐπὶ τῆς Bal τυχὺν σημεῖον τὸ E, καὶ τῇ 10 ΓΖ πρὸς ὀρθὰς ἤχϑωσαν ἐν τῷ κύκλῳ αἱ BZ, EH, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ AE. ἡ δὴ ΒΑ͂ τῆς AE ἥτοι ἐλάττων ἐστὶν ἢ οὔκ ἐστιν ἐλάττων. ὑποκείσϑω δὴ μὴ εἶναι ἐλάττων ἡ ΒΑ͂ τῆς AE. 16 ἐπεὶ οὖν ἡ ΒΑ͂ τῆς AE οὐχ ἐλάττων, ἐλάττων δὲ ἡ ΕΗ τῆς BZ, ἡ AB ἄρα πρὸς AE μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΕΗ πρὸς BZ: τὸ ἄρα ὑπὸ AB, ΒΖ μεῖξόν ἐστι τοῦ ὑπὸ AE, ΕΗ. ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ AB, ΒΖ ἴσον ἐστὶ τὸ τρίγωνον τὸ βάσιν ἔχον τὴν διπλῆν τῆς 20 ΒΖ. ὕψος δὲ τὴν AB, τουτέστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελές, τῷ δὲ ὑπὸ AE, EH ἴσον ἐστὶ τὸ τρίγωνον τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὴν διπλῆν τῆς ΕΗ, ὕψος δὲ τὴν AE: τὸ ἄρα διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς μεῖξόν ἐστι τοῦ διὰ τῆς 4E ἰσοσκελοῦς. ὁμοίως δὲ δείκνυται, ὅτι καὶ 25 πάντων τῶν μεταξὺ τῶν B, 4 τὰς βάσεις ἐχόντων μέγιστόν ἐστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος. 1. B] p, om. Vv, euan. c. κέντρον] vcp, xév- suppl. m. rec. V. δέ] om. c. » τριγώνου] om. p. ἠγμένου ἠγμένῳ Vc, ἠγμένου vo. ὦνου Ῥ. 7. τῶν] om. p. 14. ὃ euan. c. 17. τὸ ἄρα] Υ. 19. τό (alt.)] p, τὸ τό V, τ τήν c. τήν] om.c. 24. t] τοῦ p. ἰσοσκελοῦς] p, ἰσοσκελές Vc. 26. τό] om. Vc, τὸ τρίγωνον vó p. διὰ τοῦ] in ras. p. .DE SECTIONE CONI. 195 circum B centrum descriptus, trianguli autem ad cireulum perpendiculariter per axem ducti basis sit DB, et [4B minor sit recto, ita ut 4B ad partes 2 uersus inclinata sit, οὐ 4B non minor sit radio. dico, triangulum aequierurium per 4B ductum maxi- mum esse triangulorum aequicruriorum, qui efficiantur inter puncta B, 4 bases habentes. sumatur in Bzf punctum aliquod E, et ad ΓΖ per- pendiculares in circulo du- cantur BZ, EH, ducatur- que 4E. B A igitur recta 4 E aut minor est aut non minor. iam supponatur, non esse BA« AE. quoniam igitur non est B4 -« AE, sed EH « ΒΖ [Eucl. III, 15], ert 4B: 4E EH: ΒΖ, » H itaque AB» BZ 5 AE» EH [prop. I. uerum rectangulo 4B »« ΒΖ aequalis est inangulus basim habens 2BZ et altitudinem 418 [Eucl. I, 41], hoe est [prop. XXII] triangulus aequi- erurius per axem ductus, rectangulo autem ΑΕ »« EH aequalis est triangulus, qui basim habet 2 EH, alti- tudinem autem AE [Eucl. I, 41]; itaque triangulus aequierurius per axem ductus maior est iriangulo aequierurio per ΑΕ ducto. similiter autem demon- Siratur| etiam omnium triangulorum inter B, 4 bases habentium maximum esse triangulum per axem ductum. 18* 196 ΠΕΡῚ ΚΟΝΟΥ ΤΟΜΗΣ, λβ΄. ᾿4λλὰ δὴ ἔστω ἡ Β4 τῆς AE ἐλάττων. καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ABE γωνία ἐλάττων ἐστὶν ὀρϑῆς, ἤχϑω ἔν τῷ τοῦ ABE τριγώνου ἐπιπέδῳ τῇ ΓΖ4 πρὸς ὀρϑὰς ἡ 5 BO ἴση οὖσα τῇ EH, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ ΘΕ, BH. καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ABE γωνία τῆς ὑπὸ AEB μείξων ἐστίν, ἡ ἄρα ὑπὸ AEB ἐλάττων ἐστὶν ὀρϑῆς. ὀρϑὴ ὃὲ ἡ ὑπὸ OBE: αἱ ἄρα OB, AE εὐϑεῖαι ἐκβαλλό- μεναι συμπίπτουσι. συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ K, καὶ 10 ἤχϑω διὰ τοῦ Θ τῇ ΚΕ παράλληλος ἡ 6.4. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ΘΒ τῇ ΕΗ, κοινὴ δὲ ἡ BE, καὶ περιέχουσιν ἴσας γωνίας᾽ ὀρϑαὶ γάρ᾽ ἴση ἄρα καὶ ἡ BH τῇ ΘΕ. καὶ ἐπεὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ OB, μείξων ἄρα ἡ ΘΕ τῆς O: ἡ ΘΒ ἄρα πρὸς OE ἐλάττονα λόγον ἔχει ἥπερ 15 ἡ ΒΘ πρὸς 0 4. ἀλλ᾽ ὡς ἡ ΒΘ πρὸς ΘΑ, οὕτως ἡ ΒΚ πρὸς ΚΕ' ἡ ἄρα BO πρὸς OE ἑλάττονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΒΚ πρὸς KE. ἡ δὲ ΒΚ πρὸς KE ἐλάτ- τονὰα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΑ πρὸς AE, ὡς ἐν τῷ ἕξῆς δείκνυται" πολλῷ ἄρα ἡ ΒΘ πρὸς ΘΕ ἐλάττονα λόγον 20 ἔχει ἥπερ ἡ ΒΑ͂ πρὸς AE. ἡ ἄρα ΒΑ͂ πρὸς AE μείξονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΒΘ πρὸς OE, τουτέστιν ἥπερ ἡ EH πρὸς HB, τουτέστι πρὸς ΒΖ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΒΑ πρὸς AE μείξονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ EH πρὸς ΒΖ, τὸ ἄρα ὑπὸ 4B, ΒΖ μεῖξόν ἐστι τοῦ ὑπὸ AE, 1.18']om.Vep. 83.A4BE]cor.exA4E τὰ. 1.5. 6. ABE] TP, macula obscurat. V, B4 c. τῆς ---ἴ. 4E B] om. p. 7. ἐστίν (alt.)] om. c. 8. OB, AE εὐϑεῖαι)] ΒΘ, EA p. 9. συμ“ πίπτουσι] συμπεσοῦνται p. τό] οἵα. ΡΟ. 11. ἴση] ἴση ἐστίν p. 12. ἴση --- BH] euan. c. 18, ἡ (pr)] ἐστιν ἡ». 14. 8B ΒΘ p. ΘΕ] τὴν OE p. λόγον] οἴη. θ. 1ὅ. ΒΘ (pr) 6Bp,corr. ex ΘΒ πη ι1 56. 8696 (alt)] B e corr. m. 1 c, corr. ex 9B p. 16. ἡ ἄρα — 17. KE (pr)] om. p. 19. δείκνυται) DE SECTIONE CONI. 197 XXXII. lam uero sit B4 « AE. et quoniam [ ABE minor est recto, in plano trianguli 4B E ad ΓΖ per- pendieularis ducatur B6 rectae EH aequalis, ducan- turque 6E, BH. et quoniam [Eucl.1,18] | 4BE-» ΔΕΒ, L.A4EB minor est recto. uerum | OG BE rectius est; itaque rectae ΘΒ, 4E productae concurrunt [Eucl. I «i. 5] concurrant in K, ducaturque per Θ᾽ rectae KE parallela 0 4. quoniam igtur ΘΒ — EH, com- munis autem BE, et angu- los aequales comprehendunt (nam recti sunt), erit etiam BH — ΘΕ [Eucl. I, 4]. et quoniam ( 6 B.4A rectus est, ent ΘΕ» 64 [Eucl.I, 41]; itaque [Eucl. V, 8] 0B:O0E-« BO: 9 4. uerum B0 :04-—— BK: KE [Eucl VI, 4]; itaque ΒΘ: ΘΕ — BK: KE. est autem BK: KE« BA: AE, ut deinceps demonstrabitur [prop. XXXIII]; itaque multo magis ΒΘ: 9 E « B.A:.4E. quae B.4: 4E ^ BO: OE, hoc est » EH:HB siue EH: ΒΖ. quoniam igitur B4: AE EH: ΒΖ, erit AB» ΒΖ» AE»« EH [prop. I. uerum rectangulo AB »« ΒΖ aequalis est triangulus aequierurius per K δειχϑήσεται p. 230. BA (pr) — 91.75] om. p. 24. μεῖζον] p, σΐον Vc. τοῦ] p, τῷ Vc. 198 ΠΕΡῚ ΚΩΝΟΥ TOMHZ. ΕΗ. ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ 48, ΒΖ ἴσον ἐστὶ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελές, τῷ δὲ ὑπὸ AE, ΕΗ ἴσον ἐστὶ τὸ διὰ τῆς AE καὶ τῆς διπλῆς τῆς EH ἰσοσκελές" μεῖξον ἄρα τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς τοῦ δεὰ τῆς 5 4E ἰδοσχελοῦς. ὁμοίως δὲ δείκνυται, ὅτι καὶ τῶν ἄλλων, ὧν αἱ βάσεις μεταξὺ τῶν B, 4 ὃ προέκειτο δεῖξαι. ’ λγ. Ἐὰν ὀρϑογωνίου τριγώνου ἀπὸ τῆς ὀρϑῆς ἐπὶ τὴν 10 ὑποτείνουσαν ἀχϑῇ τις εὐθεῖα, ἡ ἀχϑεῖσα πρὸς τὴν ἀπολαμβανομένην ὑπὸ τῆς ἀχϑείσης καὶ μιᾶς τῶν περιεχουσῶν τὴν ὀρϑὴν μείξονα λόγον ξξει ἥπερ ἡ λοιπὴ τῶν περὶ τὴν ὀρϑὴν πρὸς τὴν ὑποτείνουσαν. ἔστω τρίγωνον τὸ ABI' ὀρϑὴν ἔχον τὴν B, ἀφ᾽ 15 ἧς ἐπὶ τὴν AD βάσιν ἤχϑω ἡ Β4. λέγω, ὅτι ἡ BA πρὸς ΖΔΓ μείξονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ B.4 πρὸς AI. ἤχϑω διὰ τοῦ 2 παρὰ τὴν AB ἡ 4Ε. ἐπεὶ οὖν ὀρϑαὶ αἱ πρὸς τῷ E, μείξων ἄρα ἡ ΒΖ τῆς 4E: ἡ ἄρα B4 πρὸς 4I' μείξονα λόγον ἔχεν ἥπερ ἡ ΕΖ 20 πρὸς 41. ὡς δὲ ἡ ΕΖ πρὸς 4l, οὕτως ἡ B.4 πρὸς AI" ἡ ἄρα Β4 πρὸς 4Γ ΄ μείξονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΒΑ πρὸς AI. ὥστε φανερόν, ὅτι καὶ ἡ B.4 πρὸς AT ἐλάττονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ Β4 πρὸς ΖΓ, ὃ ἐχρησί- uevev ἡμῖν εἰς τὸ πρὸ τούτου. 9, Post ἰσοσκελές add. βάσιν ἔχον τὴν διπλὴν τῆς ΒΖ p. 6. ἄλλων, ὧν} ἄλλο" m.i1c. 4 — T. δεῖξαι] 4 σημείων p. 8. Ay'] om. Vc, λα΄ p et m. rec. V. 9. ὀρθῆς] ὀρϑῆς yo- νίας p. 14. B] πρὸς τῷ B γωνίαν p. 1. Ba(pr)] A4 p. B4(alt)| Becorr.p. 18. αἱ] om. Vc, εἰσιν et p. τῷ] p, vó Vc. 20. οὕτως — 21. 4 Γῆ p, om. Vc. 21. ἄρα B4 B4 DE SECTIONE CONI. 199 axem ductus [prop. XXII; ἘΠ]. I, 41], rectangulo autem 4E »« EH aequahs triangulus aequicrurius per 4E et 2 EH ductus; itaque triangulus aequicru- rius per axem ductus maior est triangulo aequicrurio per 4E ducto. similiter autem demonstratur, eum etiam ceteris maiorem esse, quorum bases inter B, 7 sint; quod erat demonstrandum. XXXIII. Si in trangulo rectangulo ab angulo recto ad latus subtendens recta aliqua ducitur, recta ducta ad rectam abscisam ἃ recta ducta alteroque laterum rectum angulum compre- hendentium maiorem ratio- 4 nem habebit, quam reli- quum laterum rectum an- gulum comprehendentium I E Z ad subtendens. sit trianguus A4BI' rectum habens ( B, ἃ quo ad basim ΑΓ ducatur ΒΖ. dico, esse B4: 4T BA: AT. ducatur per 4 rectae 4B parallela ΖΕ. quon- iam igitur anguli ad E positi recti sunt, erit B424E [Eucl. I, 19]; itaque B: 4I» EZz4:A4D [Eucl. V, 8]. uerum ΕΖ: 4Γ -Ξ B4: AT' [Eucl. VI, 4] itaque ΒΖ: 4Γ ΒΑ: AI: ergo manifestum est, esse etiam B.4 : AI'« Bz: 4Γ, quod in pro- positione praecedenti usurpauimus [p. 196, 17]. ἄρα Halley. B4] B seq. lac. 1 litt. p, corr. Comm. 23. ἐχρησίμευεν] vcp, -uevev suppl. m. rec. 200 ΠΕΡῚ ΚΩΟΝΟΥ͂ ΤΟΜΗΣ. λδ΄. Ἐὰν ἐν κώνῳ σκαληνῷ τμηϑέντι διὰ τῆς κορυφῆς ἐπιπέδοις τισὶν ἐπὶ παραλλήλων βάσεων ἰσοσκελῇ τρί- yova συστῇ, ἐφ᾽ ὃ μέρος προσνεύει ὃ ἄξων, τῶν δὲ 5 γενομένων ἰσοσκελῶν ὃν ὁτιοῦν ἴσον ἦ τῷ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελεῖ, ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν τοῦ τριγώνου κάϑετος μείζων ἔσται τοῦ ἄξονος. ἔστω σκαληνὸς κῶνος, οὗ κορυφὴ τὸ 4, ἄξων δὲ ὁ AB προσνεύων ἐπὶ τὰ τοῦ 2 μέρη, βάσις δὲ ὃ περὶ 10 τὸ B κέντρον κύκλος, τοῦ ὃὲ πρὸς ὀρϑὰς τῷ κύκλῳ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου βάσις ἔστω ἡ DIBa4, καὶ ἤχϑωσαν τῇ ΓΩ͂ πρὸς ὀρϑὰς ἐν τῷ κύκλῳ αἱ ΒΖ, EH, καὶ ἐπεξεύχϑω 7) AE, καὶ ὑποκείσϑω τὸ διὰ τῶν AE, EH ἰσοσκελὲς ἴσον εἶναι τῷ διὰ τῶν AB, ΒΖ, 16 ὅ ἐστι τῷ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελεῖ. λέγω, ὅτι ἡ 4Ε μείζων ἐστὶ τῆς AB. ἐπεὶ γὰρ τὸ διὰ τῶν AE, EH ἰσοσκελὲς ἴσον ἐστὶ τῷ διὰ τῶν 48, ΒΖ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν AE, EH ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν AB, ΒΖ, ὡς ἄρα ἡ ΒΖ πρὸς EH, 20 οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς AB. μείζων δὲ ἡ ΒΖ τῆς HE μείξων ἄρα καὶ ἡ ΕΑ͂ τῆς 48. λε΄. Eàv ἐν κώνῳ σκαληνῷ τμηϑέντι διὰ τῆς κορυφῆς ἐπιπέδοις τισὶν ἐπὶ παραλλήλων βάσεων ἰσοσκελῆ τρί- 1. λδ΄] om. Vc, 48' p et m. rec. V. 2, ἐάν] vcep, suppl. m. rec. V. ἐν] om. Vcp, corr. Halley. 9. προσνεύων) moo ^vsócv p. 11. ἄξονος] vcp, -og euan. V. DB] p, BI4V,B4c. 12.-ó|euan.c. 18. τῶν] τοῦ p. 20. μείξων] vcp, £ suppl. m. rec. V. 22. λε1] om. Vo, 4y' p et m. rec. V. 28. év] p, om. Vc DE SECTIONE CONI. 201 XXXIV. $i in cono sealeno per axem planis compluribus secto in basibus parallelis trianguli aequicrurii ad eam partem uersus construuntur, ad quam axis inclinatus est, triangulorum autem aequicruriorum ita effectorum aliquis triangulo aequicrurio per axem ducto aequalis est, recta a uertice ad basim trianguli perpendicularis maior erit axe. sit conus scalenus, euius uertex sit 44, axis autem AB ad partes 7f uersus inclinatus, basis autem cir- culus cireum centrum B descriptus, trianguli autem ad circulum per- pendiculariter per axem r 4 ducti basis sit. IB 4, dueanturque in circulo ad I'4 perpendiculares ΒΖ, EH, et ducatur 4 E, supponaturque, triangu- lum aequicrurium per AE, EH ductum aequalem esse triangulo per .4B, BZ, hoc est [prop. XXII] triangulo aequicrurio per axem ducto. dico, esse 4E AB. quoniam enim triangulus aequicrurius per 4 E, EH duetus triangulo per 4B, ΒΖ aequalis est, et [Eucl. 141] 4E»« EH — AB»« ΒΖ, erit ΒΖ: EH— E A4: AB [Eucl.VI,16]. est autem ΒΖ» HE [Eucl. III 15]; ergo etiam E47 48. . XXXV. Si in cono scaleno per uerticem planis compluribus secto in basibus parallelis trianguli aequicruri ad 10 1ὅ 2 e Cx 202 ΠΕΡῚ KONOT TOMH. γωνα συστῇ, ép ὃ μέρος προσνεύει ὃ ἄξων, τῶν δὲ γενομένων ἰσοσκελῶν ὃν ὁτιοῦν ἴσον ἦ τῷ διὰ τοῦ ἄξονος ἰδοδκελεῖ., ὁ ἄξων τοῦ κώνου ἐλάσσων ἔσται τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως. ἔστω κῶνος δκαληνός, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ 4, ἄξων δὲ 6 AB νεύων ἐπὶ và τοῦ 4 μέρη, βάσις δὲ ὃ περὶ τὸ B κέντρον, τοῦ δὲ πρὸς ὀρϑὰς τῷ κύκλῳ διὰ τοῦ ἄξονος ἀγομένου τριγώνου βάσις ἔστω ἡ DB, τῇ δὲ ΓΖ πρὸς ὀρϑὰς ἤχϑωσαν ἐν τῷ κύκλῳ αἱ ΒΖ, ΕΗ, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ AE, καὶ ὑποκείσϑω τῷ διὰ τῆς 48 καὶ τῆς διπλῆς τῆς ΒΖ ἀγομένῳ τριγώνῳ, τουτέστι τῷ διὰ τοῦ ἄξονος ἰδοδκελεῖ, τὸ διὰ τῆς Ε 4 καὶ τῆς διπλῆς τῆς EH ἀγόμενον ἰσοσκελὲς ἴδον εἶναι. λέγω, ὅτι ὃ BA ἄξων ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου. ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ABE γωνία ἐλάττων ἐστὶν ὀρϑῆς; ἤχϑω ἐν τῷ τοῦ ABE ἐπιπέδῳ τῇ ΓΖ πρὸς ὀρϑὰς ἢ ΒΘ. καὶ ἐπεὶ μείξων ἡ ΕΑ“ τῆς 48 διὰ τὸ πρὸ τούτου, ἡ ἄρα ὑπὸ BEA γωνία ἐλάττων ἐστὶν ὀρϑῆς. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΘΒΕ" αἱ ἄρα OB, EA εὐϑεῖαι éx- βαλλόμεναι συμπεσοῦνται. συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Θ. ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ 4B, BZ, τὸ δὲ διὰ τῆς AE καὶ τῆς διπλῆς τῆς EH ἰσοσκελὲς ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ AE, EH, καί ἐστιν ἴσα ἀλλήλοις τὰ ἰδοσκελῆ, καὶ τὸ ὑπὸ AB, ΒΖ ἄρα ἴδον ἐστὶ τῷ ὑπὸ AE, ΕΗ’ ὡς ἄρα ἡ B.4 πρὸὺς A E, οὕτως ἡ HE πρὸς ZB, τουτέστι πρὸς HB. ἐπεὶ 1. ὁ ἄξων] bis p, sed corr. 6. νεύων] προσνεύων p. . κέντρον] κέντρον κύκλος p, fort. recte. τοῦ δέ — 8. ΓΒΔ Om. p. 18. ὅτι] euan. c. 16. ἐπεί] ἐπεὶ yao p. — ABE AEB p. 17. μείξων)] μείξων ἐστίν p. 22. τῷ] p, τῶν Vc. τῆς (pr.)] τῶν V cp, corr. Halley. 26. HE] EH p. DE SECTIONE CONI. 203 eam parlem uersus construuntur, ad quam axis in- clinatus est, triangulorum autem aequicruriorum ita effectorum aliquis triangulo aequicrurio per axem ducto aequalis est, axis coni minor erit radio basis. sib conus scalenus, cuius uertex sit 74, axis autem 4B ad partes 7/ uersus inclinatus, basis autem cir- eulus cireum B centrum descriptus, trianguli autem ad circulum perpendicu- lariter per axem ducti basis sit. ΓΒΖ, et ad I'4 in circulo perpendi- culares ducantur ΒΖ, EH, dueaturque 4E, et supponatur, triangulo per AB et 2 BZ ducto, hoc es& [prop. XXII] tri- angulo aequicrürio per axem ducto, aequalem esse triangulum aequicrurium per EA et 2EH ductum. dico, axem B.4 radio minorem esse. quoniam / 4BE minor est recto, in plano trian- gui 4BE ad ΓΖ perpendicularis ducatur B. et quoniam E4 - 4B propter propositionem praeceden- tem [prop. XXXIV], ( BE.4 minor est recto [Eucl. I 18]. uerum /, GB E rectus est; itaque rectae ΘΒ, E. productae concurrent [Eucl. I «ir. 5]. concurrant in &. quoniam igitur triangulus aequicrurius per axem ductus aequalis est rectangulo 4B »« ΒΖ, triangulus autem aequicrurius per 44 E et 2 EH ductus rectangulo AE EH [Eucl. I, 41], et trianguli aequicrurii inter se aequales sunt, erit etiam 4B »« BZ — AE-« EH; 204 ΠΕΡῚ KGNOT TOMHZ. οὖν ἡ ΒΑ πρὸς AE usitova λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΒΘ πρὸς ΘΕ διὰ τὸ λγ΄ ϑεώρημα, ὡς ἄρα ἡ Β.4 πρὺς AE, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς ἐλάττονα μέν τινα τῆς OE, μείξονα δὲ τῆς ΘΒ. ἔστω δή, ὡς ἡ ΒΑ͂ πρὸς AE, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς ΘΚ, καὶ διὰ τοῦ Ε παρὰ τὴν ΚΘ . ἤχϑω ἡ EA συμπίπτουσα τῇ ΒΘ κατὰ τὸ 4. ἐκεὶ 10 15 2 2 e Ox oov, óc ἡ ΒΑ͂ πρὸς AE, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς ΘΚ, τουτέστιν ἡ B 4 πρὸς AE, ἦν δέ, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς AE, οὕτως ἡ EH πρὸς HB, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς AE, οὕτως ἡ EH πρὸς HB. ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνα τὰ ABE, HEB μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴδην ἔχει᾽ ὀρϑο- γώνια ydg* περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς 4,, Η τὰς πλευ- ροὰς ἀνάλογον, καὶ τῶν λοιπῶν γωνιῶν ἑκατέρα ὀξεῖα, ὅμοια ἄρα ἐστὶ và ABE, HEB τρίγωνα. ὡς ἄρα ἡ 4B πρὸς BE, οὕτως ἡ ΗΕ πρὸς BE: ἴση ἄρα ἡ 48 τῇ HE. ἐλάττων δὲ ἡ EH τῆς ἐκ τοῦ κέντρου" καὶ ἡ ΒΜ ἄρα ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου. καὶ ἐπεὶ συναμφότερος EAB συναμφοτέρου τῆς EAB μείξων ἐστί, καί ἐστιν, ὡς ἡ E.4 πρὸς 48, οὕτως ἡ EA πρὸς 48, καὶ συνϑέντι ἄρα, óc συναμφότερος ἡ EAB πρὸς BA, οὕτως συναμφότερος ἡ ΕΑ48Β πρὸς BA, καὶ ἐναλλάξ' μείξων δὲ συναμφότερος ἡ EAB συναμφοτέρου τῆς Ε48᾿ μείξων ἄρα καὶ ἡ AB τῆς BA. ἐδείχϑη 0b ἡ AB ἐλάττων τῆς ἐχ τοῦ κέντρου" ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 2. 1y'] Vvec, λα΄ p. 4. BA] vop; B macula obscur. V, mg. Bm. 1. 5. οὕτως] om. p. xot] ἤχϑω δή p. ,E xoá] p, corr. ex ez m. 1 V (παρά comp), E ἐπὶ vc. 6. 15490] om. p. 8. 4E] p, AE Vc. 9. καί --- 10. HB] om. c. 9. BA] p Be V. 12. 4] πρὸς τοῖς 4 p. 15. ἡ (pr)] p, om. Vc. 16. EH] HE p. 171. καί ἢ vcp, sustulit resarcinatio in V. BA] p, B4 Vc. καί (alt.)] vcp, suppl. m. rec. V. 18. vf] vob c. EAB| EByp. 21. EAB]p, EBA Vc. 32399. B4] DE SECTIONE CONI. 205 quae B4: 4E — HE:ZB [Eucl. VI, 16] — HE:HB. quoniam igitur propter prop. XXXIII est B4: AE» BO:0E, ert, u& B.4: 4E, ita BO ad rectam minorem quam GE, maiorem autem quam 6B. sit igitur BA: AE -- ΒΘ: ΘΚ, εὐ per E rectae KO parallela ducatur Εἰ Δ cum ΒΘ in Δ concurrens. quoniam igitur BA: AE — ΒΘ: ΘΚ — BA: AE [Eucl. VI, 4], era& autem B. 4: 4E — EH: HB, erit etiam ΒΑ: AE — EH: HB. quoniam igitur duo trianguli 4B E, HEB unum an- guluum uni angulo aequalem habent (nam rectanguli sunt), οὖ cireum alios angulos 4, H latera propor- tionalia, reliquorumque angulorum uterque acutus est, irangulhi 4BE, HEB similes sunt [Eucl. VI, 1]. ita- que 4B: BE — HE: BE [Eucl. VI, 4|; quare AB — HE [Eucl. V,9]. uerum EH radio minor est [Eucl. III, 15]; quare etiam B.4 radio minor est. et quonam est [Eucl I, 21] EA4-I- AB EA 4- AB, el EA4:4B — EA: AB, erit etiam componendo [Eucl. V, 18] E44- 4B: B4 — EA -ἰ AB: BA et permutando [Eucl. V, 16]; est autem EA -- AB EA -- AB; quare etiam 48.» B4. demonstrauimus autem, esse AB radio minorem; quod erat demonstrandum. AB p. Post ἐναλλάξ add. ὡς συναμφότερος ἡ EAB πρὸς συναμφότερον τὴν EAB, οὕτως ἡ ΒΛ πρὸς BA p. δέ] Halley, δὲ ὁ Vc, δὲ ἦ p. 23. EAB] B e corr. p. 834. Post κέντρου add. πολλῷ ἄρα ἡ AB ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου p, fort. recte. 25. ὕπερ ἔδει δεῖξαι] om. p. 10 1 ul 20 206 ΠΕΡῚ K9NOT TOMHZ. Ag". Ἐὰν ἐν κώνῳ δκαληνῶ τμηϑέντι διὰ τῆς κορυφῆς ἐπιπέδοις τισὶν ἐπὶ παραλλήλων βάδεων ἰσοσκελῇ τρί- yov& συστῇ, ἀφ᾽ οὗ μέρους ἀπονεύει ὃ ἄξων, τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς τῶν συστάντων ἰσοσκελῶν οὐκ ἔσται πάντων ἐλάχιστον. ἔστω κῶνος σκαληνός. οὗ ὃ ἄξων ὃ AB, τοῦ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος πρὸς ὀρϑὰς τῷ κύκλῳ ἐπιπέδου καὶ τοῦ κύκλου κοινὴ τομὴ ἡ ΓΒ 4 διάμετρος, ἐλάττων δὲ ἔστω ἡ ὑπὸ AB γωνία ὀρϑῆς. λέγω, ὅτι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς τῶν συνισταμένων ἰσοσκελῶν τὰς βάσεις ἐχόντων μεταξὺ τῶν D, B σημείων οὐ πάντων ἐλάχιστόν ἐστιν. ἐπεξεύχϑω γὰρ ἡ AI, καὶ ἐν τῷ ABI τριγώνῳ πρὸς ὀρϑὰς ἤχϑω τῇ ΓΖ ἡ ΒΕ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΕ μείξων ἐστὶ τῆς ΓΒ [ἐκ κέντρου), ἔστω ἡ ΕΖ ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, καὶ παρὰ τὴν ΕΒ ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ 4 ΜΗ, καὶ παρὰ τὴν ΖΕ ἡ HO: παραλληλόγραμμον ἄρα τὸ ZO. ἴση ἄρα ἡ ΖΕ τῇ HO: ἡ ἄρα ΗΘ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἴση. ἤχϑωσαν δὴ πάλιν ἐν τῷ τοῦ κύχλου ἐπιπέδῳ τῇ ΓΖ πρὸς ὀρϑὰς a( KB, H A, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ B4. ἐπεὶ οὖν δύο ὀρϑογώνια τὰ HB, ABH ἴσας ἔχει γωνίας τὰς ὀρϑάς, περὶ δὲ ἄλλας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, καὶ τὰ λοιπὰ τῆς προ- 1. 15 om. Vc, 4ó' p et m. rec. V. 2. dy] p, om. Vc. 7. ὁ (pr)] κορυφὴ μὲν τὸ A p. ὁ (alt.)] δὲ ὁ p. δέ] om c. 12. I, B] B, I' p. 16. ἐστὶ 751 vcp, suppl. m. rec. V. 5] τῆς ἐκ Halley. κέντρου] τοῦ κέντρου p; ἐκ κέντρου fort. delenda. 18. ἡ (pr.)] vcp, om. nunc V. AME vep, suppl. m. rec. V. 19. ἄρα (pr.)] ἄρα ἐστί p. ἄρα (sec) ἄρα ἐστὶν p. 20. ἴση] p, om. Vc. 21. KB, H A] Halley; HKB,HA Vc; BK, HA p. 28. vd] τό Vc, τρίγωνα τά p, corr. Halley. 24. ἄλλας] ἄλλας γωνίας p. DE SECTIONE CONI. 201 XXXVI. $1 in cono scaleno per uerticem planis compluri- bus secto in basibus parallelis trianguli aequicrurii ad eam partem uersus construuntur, 8. qua axis recli- natus est, triangulus aequicrurius per axem ductus minimus non erit omnium aequieruriorum consiruc- lorum. sit conus scalenus, cuius axis sit 4B, communis autem sectio plani per axem ad circulum perpendicu- lans circulique diametrus I'BzZf, et | 4B. minor sib recto. dico, triangu- lum aequicrurium per axem ductum minimum non esse omnium aequicruriorum, qui construantur bases inter puncta I, B habentes. ducatur enim 4I, et in triangulo ΑΒΓ ad ΓΖ perpendicularis ducatur B E. οὗ quonam ΓΙ» ΓΒ, quae e centro ducta est [Eucl. I, 19], sit EZ radio aequalis, et rectae EB par- allela ZH, ducaturque 4 MH et rectae ZE parallela H6; parallelogrammum igitur est ΖΘ. quare ZE — ΗΘ [Eucl.I,34]; HO igitur radio aequalis est. iam rursus in plano circuli ad ΓΖ per- pendiculares ducantur KB, HA, ducaturque B 4. quoniam igitur duo trianguli rectanguli 9 HB, ABH aequales habent angulos rectos, circum alios autem latera proportionalia, et cetera, quae habet protasis 208 ΠΕΡῚ KOGNOT TOMHZ. τάδσεως, ὅμοια ἄρα ἐστὶ τὰ τρίγωνα ὡς ἄρα ἡ HO πρὸς ΘΒ. οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς ΛΗ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΗΘ πρὸς ΘΒ μείξονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΗΜ πρὸς ΜΒ, ἡ δὲ ΗΜ πρὸς MB μείξονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ HA ὅ πρὸς 4B, ἡ ἄρα ΗΘ πρὸς OB μείξονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ H.4 πρὸς AB. ἀλλ’ ὡς ἡ ΗΘ πρὸς ΘΒ, οὕτως ἡ B4, τουτέστιν ἡ ΒΚ, πρὸς AH: ἡ ἄρα ΒΚ πρὸς ΜΗ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΗΑ πρὸς 48. τὸ ἄρα ὑπὸ 4B, BK μεῖξόν ἐστι τοῦ ὑπὸ AH, ΗΑ, 10 τουτέστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς μεῖξόν ἐστι τοῦ διὰ τῆς AH ἰσοσκελοῦς, οὗ βάσις ἐστὶν ἡ διπλῆ τῆς AH. οὐκ ἄρα τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς ἐλάχι- στόν ἐστι πάντων τῶν μεταξὺ τῶν B, Γ σημείων τὰς βάδεις ἐχόντων ἰσοδκελῶν. 16 A£. Ἐὰν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως δύο τρίγωνα συστῇ, καὶ τοῦ μὲν ἑτέρου ἡ πλευρὰ πρὸς ὀρϑὰς T, τῇ βάσει, τοῦ δὲ ἑτέρου πρὸς ἀμβλεῖαν γωνίαν. τὸ δὲ τοῦ ἀμ- βλυγωνίου ὕψος μὴ ἔλαττον T τοῦ τοῦ ὀρϑογωνίου 20 ὕψους, ἡ πρὸς τῇ κορυφῇ γωνία τοῦ ὀρϑογωνίου μεί- fov ἔσται τῆς πρὸς τῇ κορυφῇ τοῦ ἀμβλυγωνίου. συνεστάτω ἐπὶ τῆς 4B và 4ΓΒ. 4448 voíyovo, καὶ ἡ μὲν ὑπὸ 4ΒΓ ἔστω ὀρϑή, ἡ δὲ ὑπὸ ABA ἀμ- βλεῖα. ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ 4 κάϑετος ἐπὶ τὴν AB ἡὴ 4Z 20 μὴ ἐλάττων ἔστω τῆς ΓΒ καϑέτου. λέγω, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ 4“ΓΒ τῆς ὑπὸ 4418. | 2. οὕτως] om. p. | BA] 4B p. ΗΘ] HB Vcp, corr. Comm. 8. OB] BOp. . 7. AH] HA p. BK] corr. ex DKXp. 8. ΛΗ] HA p. 9. τοῦ] vp, corr. ex τό m. 1 V, τό C. 10. τὸ διά — 12. οὐκ] mg. p (κείμενον). 12. AH ΛΔ e corr. m. 1 c. ἰσοσκελές) vcp, io- suppl. m. rec. V. 15. 4£'] om. Vc, λε΄ p et m. rec. V; et sic deinceps. DE SECTIONE CONI. 209 [Eucl VI, 7], trianguli similes sunt; quare H0:0B-- B4: AH [Eucl. VI, 4]. quoniam igitur ΗΘ: ΘΒ HM:MB [|prop. II] et HM:MB^HA4:4B,) eni HO:0B— HA: AB. uerum H0: ΘΒ — BA: AH — BK: AH; quare ΒΚ: ΔΗ} HA: AB. itaque 4B BK AHS«HÁA [prop. I], hoc est [prop. XXII| triangulus aequicrurius per axem duetus maior est aequicrurio per 4 H ducto, euius basis est 24H [Eucl. I, 41] ergo triangulus aequicrurius per axem ductus minimus non est om- nium aequieruriorum, qui bases inter puncta B, Γ habent. XXXVII. Si in eadem basi duo trianguli construuntur, et alterius latus ad basim perpendiculare est, alterius autem ad angulum obtusum, et altitudo triangul ob- tusianguli altitudine Z ^ yectanguli non minor esí, angulus ad uer- ticem trianguli rect- anguli positus maior ert angulo ad uer- A B Ζ B ticem — obtusianguli posito. . construantur in 4B trianguh ΑΓΒ, 448, et L.ABI' rectus sit, ( 484] autem obtusus, et recta 42 ἃ 4 ad AB perpendieularis non minor sit per- pendiculari ΓΒ. dico, esse [, AI'B A4 B. 1) Nam AB maior est recta ab 4 ad ΓΒ perpendicular. 32. AB] «B: yg c. 26. ADB] p, ABD Vve, corr. m. 2 V. 4487 p, 484 Vvc, corr. m. 2 V. Serenus Antinoensis, ed, Heiberg. 14 et 10 1 Q 210 ΠΕΡῚ KGONOT TOMHZ. ἐπεὶ παράλληλοι μὲν αἱ ΒΓ, 4Z καὶ πρὸς ὀρϑὰς τῇ ΒΖ. οὐχ ἐλάττων δὲ ἡ A4Z τῆς ΓΒ. ἡ ἄρα ὑπὸ ΖΔΓΒ γωνία οὐκ ἐλάττων ἐστὶν ὀρϑῆς᾽ μείξων ἄρα ἡ A4 τῆς Al. καὶ ἐπεὶ τὸ ABI' ὀρϑογώνιόν ἐστιν, ἐν ἡμικυκλίῳ ἄρα ἐστίν, οὗ διάμετρος ἡ 4I" περι- γραφὲν ἄρα τὸ ἡμικύκλιον τεμεῖ τὴν 44. τεμνέτω δὴ κατὰ τὸ E, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ EB: ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ AEB τῇ ὑπὸ AI'B. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ AEB μείζων τῆς ὑπὸ 441} καὶ ἡ ὑπὸ AI'B ἄρα μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ 448. | λη΄. Τῶν αὐτῶν ὄντων ἐὰν τοῦ ὀρϑογωνίου ἡ πρὸς τῇ κορυφῇ γωνία μὴ μείξων ἦ τῆς περιεχομένης γωνίας ὑπό τε τῆς τὰς κορυφὰς τῶν τριγώνων ἐπιξευγνυούσης καὶ τῆς πρὸς ἀμβλεῖαν τῇ βάδει, ἡ τὴν ὀρϑὴν ὑποτείνουσα τοῦ ὀρθογωνίου πλευρὰ πρὸς τὴν πρὸς ὀρϑὰς τῇ βάσει ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ τοῦ ἀμβλυγωνίου ἡ τὴν ἀμ- βλεῖαν ὑποτείνουσα πρὸς τὴν πρὸς ἀμβλεῖαν τῇ βάσει. καταγεγράφϑω τὰ αὐτὰ τρίγωνα, καὶ ἔστω ἡ ὑπὸ 20 4ΓΒ μὴ μείξων τῆς ὑπὸ I'4B. λέγω, ὅτι ἡ AT 26 πρὸς ΓΒ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ 4d πρὸς 418. ἐπεὶ μείξων ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ AI'B τῆς ὑπὸ AB, ὡς ἐδείχϑη, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΑΒ τῆς ὑπὸ 414 B, συνεστάτω τῇ μὲν ὑπὸ ΑΓΒ ἴση ἡ ὑπὸ 44Η, τῇ δὲ ὑπὸ ΓΑΒ ἡ ὑπὸ 44H: ἰσογώνια ἄρα ἐστὶ τὰ 4ΓΒ, AAH 1. μέν] μέν εἶσιν p. 42] ZA p. 8. 4D B] ATA Halley. 7. δή] om. p. 8. usltov| μείζων ἐστί p. 18. μή) p, om. Vvc, supra scr. m. 2 V. 14. ἐπιξζευγνυούσης] ἐπιξευγνυούσας c, 'sed corr. m. 1. 16. ἀμβλεῖαν cp, ἀμβλείας V v. 20. AT'B] vep, corr. ex AI'd m. 1 [48] ; I'B4d Vvc, corr. m. 2 V. 91. ΓΒῚ τὸ ΓΒ p. 22. ἐπεί] ἐπεὶ DE SECTIONE CONI. 211 quoniam parallelae sunt ΒΓ, 42 et ad ΒΖ per- pendieulares, 42 autem non minor quam I'B, |, 4I'B non minor est recto; itaque 4717» AI'|[Eucl I, 19] eb quoniam 44BI'rectangulus est, in semicirculo est, euius diametrus est ΑΓ [Eucl III, 31]; semicir- eulus igitur descriptus rectam .47/ secabit. secet igitur in E, ducaturque EB; itaque [Eucl. IIT, 27] LAEB — ΓΒ. uerum [| 4EB 4248 [Eucl. 1,16]; ergo etiam [ 4I'B ^ 448. XXXVIII. lisdem positis si trianguli rectanguli angulus ad uerticem positus non maior est angulo comprehenso a recia uerlices iriangulorum coniungente rectaque cum basi angulum obtusum efficiente, latus trianguli reetanguli sub recto angulo subtendens ad latus ad r 4 basim perpendiculare minorem v" rationem habet, quam trianguli 72. obtusianguli latus sub angulo A Z^ B 2.295 iz obtuso subtendens ad latus cum basi angulum obtusum efficiens. describantur iidem triangrul, el (ΑΓΒ non maior sit angulo I'/B. dico, esse AT : TB « 44: 48. quoniam / ΑΓΒ.» 42B, ut demonstratum est [prop XXXVII], et { ΓΑΒ» 44B, construatur LAAH — AI'Bet 44ΗΏ}ῃ — I'AB; itaque trianguli ΑΓΒ. A4H aequianguli sunt. quare 2414: 4 Γ-ΞΞ HA: AB [Eucl. VI, 4]: ydo p. 34. 'AB] p, ΑΓΒ το, corr. mJ. 2 V. 25. 44H] p, AAdH Vvec, corr. m. 2 V. AAH)] vp, H euan. V, A44 c. 14* 212 ΠΕΡῚ KONOT ΤΟΜΗΣ. τρίγωνα [ὅμοια] ὡς ἄρα ἡ 41.4 πρὸς AI, οὕτως ἡ HA πρὸς AB: καὶ περιέχουσιν ἴσας γωνίας' Óuotov ἄρα τὸ 444. Γ τρίγωνον τῷ HAB τριγώνῳ ἐπιξευχϑ εί- ὅης τῆς BH. ἡ ἄρα ὑπὸ 4Γ24 γωνία τῇ ὑπὸ ABH ὅ ἴση ἐστίν. ἐπεὶ οὖν ἡ 42 τῆς ΓΒ οὔκ ἐστιν ἐλάττων, ἤτοι ἴση ἐστὶν ἢ μείξων. ἔστω πρότερον i65: ὀρϑογώνιον ἄρα ἐστὶ παραλ- ληλόγραμμον τὸ ΓΖ. ἡ ἄρα ὑπὸ Ζ4ΓΒ μετὰ τῶν 10 ὑπὸ ΓΒΖΩ, ABZ δυσὶν ὀρϑαῖς ἴσαι εἰσίν. ἀλλὰ τῆς ὑπὸ ΓΖ, τουτέστι τῆς ὑπὸ A4BZ, οὐ μείξων ἐστὶν ἡ ὑπὸ 4ΓΒ' ἡ ἄρα ὑπὸ BI'4 μετὰ τῶν ὑπὸ ΓΒΖΩ͂, ΑΓΒ οὐ μείξονές εἰσι δυεῖν ὀρϑῶν, ὅ ἐστιν αἱ ὑπὸ 4Γ4, ΓΒ4 οὐ μείξονές εἰσι δυεῖν 16 ὀρθῶν. ἀλλὰ τῇ ὑπὸ 4Γ4 ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ABH: αἱ ἄρα ὑπὸ ABH, ΓΒ4 οὐ μείξονές εἰσι δυεῖν ὀρθῶν. προσκείσϑω ἡ ὑπὸ ABI ὀρϑή᾽ αἱ ἄρα ὑπὸ ABH, ABA οὐ μείζονές εἰδι τριῶν ὀρϑῶν. λοιπὴ ἄρα εἰς τέδδαρας ὀρϑὰς ἡ ὑπὸ 4ΒΗ οὐκ ἐλάσσων 40 ἐστὶ μιᾶς ὀρϑῆς᾽ μείξων ἄρα ἡ 4Η τῆς 4B: ἡ ἄρα 42 πρὸς 4H ἐλάττονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ 421 πρὸς 4B. ἀλλ᾽ ὡς ἡ 44 πρὸς 4Η͂, οὕτως ἡ 4Γ moo; DB: καὶ ἡ ἄρα 4Γ πρὸς ΓΒ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ 44 πρὸς 4B. 20 ἀλλὰ δὴ ἔστω ἡ 4Z τῆς ΓΒ μείξων᾽ ἀμβλεῖα ἄρα ἡ ὑπὸ Z4I'B. ἤχϑω τῇ ΓΖ παράλληλος ἡ ΒΘ. κατὰ τὰ αὐτὰ δή, ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΔΓΒ μετὰ τῶν ὑπὸ ΓΒΔ, 4BO δυσὶν ὀρϑαῖς ἴσαι εἰσίν, τῆς δὲ ὑπὸ AB, 1. ὅμοια] deleo, καὶ ὅμοια p. ἄρα] vep, suppl m. rec. V. ἡ HA — 2. AB] νον; euan. V, repet. mg. m. rec. 8. HAB] BH A p. 4 ABH] p, AHB V vc, corr. m. 2 V. DE SECTIONE CONI. 213 ei aequales angulos comprehendunt; itaque ducta B H irnangul 4 4I', HAB similes sunt [Eucl. VI,6]. quare LAIT A — ABH. quoniam igitur 7/Z non minor est quam ΓΒ, aut el aequalis es& aut maior. prius aequalis sit; itaque ΓΖ parallelogrammum est rectangulum [Eucl. I, 33] itaque LATI'B 4- ΓΒΖ- 482 duobus rectis aequales sunt. uerum angulo IB. siue 71 B Z [Eucl. I, 20] non maior est ( 4I'B; itaque LBI'Z4-4- DBz--A4IB non maiores sunt duobus rectis, hoc est |, 4I'4 -- I Bzf duobus rectis non maiores sunt. uerum ( A4BH — ALI; itaque LABH -ἰ ΓΒΔ duobus rectis non maiores sunt. adiiciatur rectus angulus ABI itaque [.. 4BH -- 484 non maiores sunt tribus rectis. itaque qui relinquitur ad quattuor rectos, [ 271 B H non minor est uno recto; quare ZH ^ 48 [Eucl. I, 19]; itaque [Eucl. V, 8] A4:4H«44:4B. uerum 44: 4H — ADT: ΓΒ [Eucl. VI, 4]; ergo etiam 4Γ: ΓΒ « 42:28. iam uero sit ZZ — ΓΒ: L A4I'B igitur obtusus est. ducatur rectae ΓΖ parallela ΒΘ. eadem igitur ratione, quoniam [ ZI'B -ἰ ΓΒΩ͂ - 4B6 duobus rectis aequales sunt [Eucl. I, 29; I, 32], angulo autem 9. 4I'B] 4B Vcp, corr. Comm. 10. 4BZ] Ve, AZB p et supra scr. m. 2 V, ΓΒΖ v. 11. I'4B] p, ΓΒΔ Y vc, eorr. m. 2 V. τουτέστι) τουτέστι" V, corr. m. 2. 18. εἰσι] om. 6, δυεῖν) δύο p. 14. ὅ ἐστιν] τουτέστιν p. ὅ ἔστιν — 16. ὀρθῶν] om. c. 16. ΓΒ“ p, AB Vvc, corr. m. 2 V. 19. sig] εἰς τάς p. 88. I'B(alt.))| p, ΓΖ B Vvc, corr. m. ? V. 24. ἤπερ] om. c. 26. BO] BE Halley. 28. 4B6 (pr2] A4BE Halley. δυσίν — 4BO(alt.)] om. Vep, corr. Halley cum Comm. (ἀλλὰ τῆς ὑπὸ ABE). 10 Q 1 20 214 ΠΕΡῚ KOSBNOT TOMBHZ. τουτέστι τῆς ὑπὸ I'4B, οὐ μείξων ἐστὶν ἡ ὑπὸ 4 ΓΒ, αἴ ἄρα ὑπὸ AI, B4, τουτέστιν αἱ ὑπὸ ABH, ΓΒΩ, οὐ μείξονές εἰσι δυεῖν ὀρθῶν" αἱ ἄρα ὑπὸ 484, ABH οὐ μείξονές εἰσι τριῶν ὀρϑῶν. ἡ ἄρα ὑπὸ 4BH οὐκ ἐλάττων ὀρϑῆς ἐστι" μείξων ἄρα ἡ H4 τῆς 4B. ἡ 44 ἄρα πρὸς 4H ἐλάττονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ 44 πρὸς 41 B^ ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 49". Τῶν αὐτῶν ὄντων τῶν ἄλλων ἐὰν τοῦ ὀρϑογω- νίου ἡ τὴν ὀρϑὴν ὑποτείνουσα πρὸς τὴν πρὸς ὀρϑὰς τῇ βάσει μείξονα λόγον ἔχῃ ἥπερ τοῦ ἀμβλυγωνίου ἡ τὴν ἀμβλεῖαν ὑποτείνουσα πρὸς τὴν πρὸς ἀμβλεῖαν τῇ βάσει. ἡ πρὸς τῇ κορυφῇ τοῦ ὀρϑογωνίου γωνία μεί- Gov ἐστὶ τῆς περιεχομένης γωνίας ὑπό τε τῆς τὰς κορυφὰς τῶν τριγώνων ἐπιξευγνυούδσης καὶ τῆς πρὸὺς ἀμβλεῖαν τῇ βάδει. κείσϑω ἡ αὐτὴ καταγραφὴ τῶν αὐτῶν κατεσκευασ- μένων. ἐπεὶ οὖν ἡ 4Γ πρὸς ΓΒ μείξονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ 44 πρὸς 48. ὡς δὲ ἡ 4Γ πρὸς ΓΒ, οὕτως ἡ 44 πρὸς 4H, καὶ ἡ ἄρα 421 πρὸς ΔΗ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ 44 πρὸς 418’ ἐλάττων ἄρα ἡ H4 τῆς 48. ἡ ἄρα ὑπὸ 48ΒΗ γωνία ἐλάττων ἐστὶν 1. ἡ ὑπό --- 3. ὀρθῶν] om. p lacuna relicta. 1. ἡ ὑπό] vc, euan. V, repet. mg. m. rec. (,,f 816 in apographo). 4[ΓΓ8Β] vc, euan. V, repet. mg. m. rec. 2. αἱ (alt.)] vc, euan. V, mg. m. rec. αἱ — sic in apographo, sed notae et spatium plus designant". ABH] v et supra scr. m. rec. V, euan. V, ABN c. 5. ἐστι] abstulerunt uermes c. 6. Post 4H add. Halley: τουτέστιν ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ. ἔχει] om. c. 7. ὅπερ ἔδει δεῖξαι) om. p. 9. τῶν ἄλλων) om. p. 12. πρός (alt.)) cp, om.Vv. ἀμβλεῖαν] cp et in ras. m. 1 v, f supra acr. m. 1 V. 14. ἐστί] ἔσται p. 10. ἀμβλεῖαν] vcp, B supra scr. m. 1 V. ^ " Mat MES —mé uon DE SECTIONE CONI. 215 4B siue | Eucl. I, 29] ΓΖ. non maior est ( AI'B, LATA --ITBa siue ABH -- I'BZ non maiores sunt duobus rectis; quare ( 484 -]- 4BH non maiores sunt tribus rectis. itaque 21 B H non minor est recto; quare 171 — 48 Eucl.1,19]. ergo 42:4H 44:48 [Eucl. V, 8];) quod erat demonstrandum. XXXIX. Ceteris iisdem positis si trianguli rectanguli latus sub angulo recto subtendens ad latus ad basim per- pendieulare maiorem rationem habet, quam trianguli obtusianguli latus sub angulo obtuso subtendens ad latus cum basi angulum obtusum efficiens, angulus ad uerticem trianguli rect- angul positus maior est angulo comprehenso a recta uerlices triangulorum con- iungente rectaque cum basi angulum obtusum efficiente. ponatur eadem figura lisdem praeparatis. quoniam igitur 4T: ΓΒ» 44: 4B, el 4Γ:ΓΒ-τε 44: ΔΗ [Eucl. VI, 4], ert etiam 44:4H ^ 44:4B; quare HA «AB [ Eucl. V, 10]. 1) Et AI: ΓΒ -- 44: 4Η. credo, post 4B lin. 7 adden- dum esse: ἀλλ᾽ ὡς ἡ 44 πρὸς 4 H, οὕτως ἡ ΑΤ' πρὸς I'B: καὶ ἡ ἄρα 4Τ' πρὸς ΓΒ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ 44 πρὸς 48. -----...-...... .... ..... -. 18. ἐπεί] vcp, euan. V. 19. ὡς δέ — 21. 45] mg. p (κεί- μενον). 20. 44 (lt) ep, JT. ΗΔ v et fort. V (del. m. rec.), ΑΔ supra scr. m. rec 2. ABH| AHB Vep, corr. Comm. ἐστὶν ὀρϑῆς μιᾶς] iol μιᾶς ὀρϑῆς p. 216 ΠΕΡῚ ΚΩΝΟΎ ΤΟΜΗΣ. ὀρϑῆς μιᾶς" λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ 4B, ABH μείξονξς εἰσι τριῶν ὀρθῶν. ἀλλ᾽ ἡ ὑπὸ ABH ἴση τῇ ὑπὸ AI: αἱ ἄρα ὑπὸ AI, 484 μείξονές εἰδι τριῶν ὀρθῶν. ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ABI' ὀρϑή᾽ αἱ ἄρα ὑπὸ 5 ALU4, ΓΒΖ4Ζ δύο ὀρϑῶν μείζονές εἰσιν. ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΒΓΖ μετὰ μὲν τῶν ὑπὸ AI'B, ΓΒ4 δυεῖν ὀρϑῶν εἰσι μείζους. μετὰ δὲ τῶν ὑπὸ ΓΩΒ, ΓΒ4 δυσὶν ὀρϑαῖς ἴσαι. μείων ἄρα ἡ ὑπὸ 4ΓΒ τῆς ὑπὸ ΓΖ Β. 10 μ΄. Ἐὰν ἐν κώνῳ δκαληνῷ τμηϑέντι διὰ τῆς κορυφῆς ἐπιπέδοις τισὶν ἐπὶ παραλλήλων βάσεων ἰσοσκελῆ τρί- yove συστῇ, ἀφ᾽ οὗ μέρους ἀπονεύει ὃ ἄξων. τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς τῶν, ὡς εἴρηται, συνισταμένων 15 ἰδοδσκελῶν οὔτε μέγιστον ἔσται πάντων οὔτε πάντων ἐλάχιστον. ἔστω κῶνος, οὗ ὃ ἄξων ὁ 48. βάσις δὲ ὃ περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος, τοῦ δὲ διὰ τοῦ ἄξονος πρὸς ὀρϑὰς γωνίας τῷ κύκλῳ ἐπιπέδου καὶ τοῦ κύκλου κοινὴ τομὴ 20 ἡ ΓΒΖ,. ἡ δὲ ὑπὸ AB ἐλάττων ἔστω ὀρϑῆς. λέγω, ὅτι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοδκελὲς τῶν συνισταμένων ἰσοδσκελῶν τὰς βάδεις ἐχόντων μεταξὺ τῶν ΓΙ, Β σημείων οὔτε μέγιστόν ἐστι πάντων οὔτε ἐλάχιστον. ὁ δὴ ἄξων ἤτοι ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου 25 τῆς βάσεως ἢ ἴσος αὐτῇ ἢ μείξων. 1. 4Β4] B e corr. p. 2. ἡ] vp, euan. V, ὁ c. ἴση) ἴση ἐστί p. 4. αἱ ἄρα] λοιπαὶ ἄρα αἱ p. b. δύο] δυεῖν Halley. 6. δυεῖν] V et corr. ex δύο in scrib. P, δυοῖν 0. 8. μείξων ἄρα ἡ} ἡ ἄρα p. 9. 4B] ΓΖ48Β μείξων ἐστί p. 11. ἐάν] vcp, ἐά- suppl. m. rec. V. 19. ἐπιπέδοις} vcp, é- suppl. m. rec. V. ἰσοσκελῇ} vcp, i- suppl. m. rec. V. 14. ἰσοσκελέρ] vcp, alt. c euan. V. — 15. πάντων (alt.)] om. p. 17. ὁ (pr.)] om. p. DE SECTIONE CONI. 211 itaque / BH uno recto minor est; reliqui igitur 484 -ἰ 4BH maiores sunt tribus rectis. uerum L4ABH — AI'4; itaque [ AI'Z4-- 484 inbus rectis maiores sunt. auferatur rectus [| ABI' ΑΓΩ͂ -ἰΦ ΓΒ4 igtur duobus rectis maiores sunt. quoniam igitur / ΒΓΖ -ἰ AI'B -- I'Bz duobus rectis maiores sunt, BI'4 -- I'4B -- I'BzZ autem duobus rectis aequales [Eucl. I, 32], ert /, AI'B ^ I'4B. XL. S1 in cono scaleno per uerticem planis compluribus secto in basibus parallelis trianguli aequicruri ad eam partem uersus construuntur, a qua axis reclinatus est, inangulus aequierurius per axem ductus triangulorum aequieruriorum, uti diximus, constructorum neque om- nium maximus est neque minimus omnium. sit conus, cuius axis sib 4B, basis autem circulus circum B cen- irum descriptus, com- r 4 munis autem sectio plani per axem ad circulum perpendicularis circul- que sit I'B Z4, et (.484 Z minor sit recto. dico, d iriangulum aequicru- rium per axem ductum triangulorum aequicruriorum, qui bases inter puncta I', B habentes construantur, neque maximum esse omnium neque minimum. axis igitur aut minor est radio basis aut ei aequalis aut maior. 0 b 10 15 20 25 918 ΠΕΡῚ K9NOY TOMHZ. ἔστω πρῶτον ἐλάττων. ἐπεὶ οὖν ἡ AB ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἐνηρμόσϑω ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ AE, καὶ διὰ τῶν B καὶ E σημείων τῇ I'4 πρὸς ὀρθὰς ἤχϑωσαν ἐν τῷ κύχλῳ αἱ EZ, BH, καὶ τῇ ὑπὸ AEB ἴση συνεστάτω ἡ ὑπὸ EBO, καὶ éx- ἐξεύχϑω ἡ ΘΕ. ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν AE, ΒΘ ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου. χοινὴ δὲ ἡ BE, καὶ περι- ἔχουσιν ἴσας γωνίας, καὶ τὰ λοιπὰ ἄρα τοῖς λοιποῖς ἴσα" ὅμοια ἄρα τὰ τρίγωνα. ὡς ἄρα ἡ E.4 πρὸς AB, οὕτως, ἡ ΒΘ πρὸς ΘΕ. ἐπεὶ δὲ μείξων ἡ ΖΕ τῆς ΕΘ. ἴσαι δὲ αἱ BH, BO, ἡ ἄρα ΒΘ πρὸς ΘΕ μεί- ξονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ BH πρὸς ΖΕ. ἀλλ᾽ ὡς ἡ ΒΘ πρὸς OE, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς AB: ἡ ἄρα EA πρὸς 48 μείξονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΒΗ πρὸς EZ. τὸ ἄρα ὑπὸ 4E, ΕΖ μεῖξόν ἐστι τοῦ ὑπὸ 48, BH, τουτέστι τὸ διὰ τῆς ΑΕ ἰσοσκελές. οὗ βάσις ἐστὶν ἡ διπλῆ τῆς EZ, τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελοῦς μεῖξόν ἐστι. τὸ ἄρα διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς οὐ πάντων μέγιστόν ἐστι τῶν, ὡς εἴρηται, συνισταμένων τριγώ- vov. ἐδεέχϑη δὲ ἐν τῷ τριακοστῷ ἕκτῳ καϑόλου, ὅτι οὐδὲ ἐλάχιστον" οὔτε ἄρα μέγιστόν ἐστι πάντων οὔτε ἐλάχιστον. μα΄. ᾿4λλὰ δὴ ἔστω ὁ 48Ἐ ἄξων ἴσος τῇ ἐκ τοῦ κέντρου. ἡ δὴ ὑπὸ ABA γωνία ἐλάττων οὖσα ὀρϑῆς ἤτοι ἐλάττων ἐστὶν ἡμισείας ὀρϑῆς ἢ οὔ. ἔστω πρότερον οὐκ ἐλάττων ἡμισείας, καὶ διὰ τοῦ 2. ἐκ (pr: r)] ἐκ τῆς: c. 4. EZ, BH] HB, BZp. BH|p οὐ V, sed littera B macula obscurata, B6 vo. 9. ἴσα] ἴσα εἰσίν p. 10. Ante ἡ (alt) add. m et mg. οἡ εξ τῆς eO sic apograph." m. rec. V. E| HE p. 11. BH] ΒΖ p. DE SECTIONE CONI. 219 primum sit minor. quoniam igitur 4B radio minor est, radio aequalis inseratur 44 E, et per puncta B, E ad I'4 perpendiculares in circulo ducantur EZ, BH, anguloque A4EB aequalis construatur / EB, et ducatur ΘΕ. quoniam igitur utraque 4E, ΒΘ radio aequalis esti, communis autem B E, et angulos aequales comprehendunt, etiam reliqua reliquis ae- qualia sunt [Eucl. I, 4]; trianguli igitur similes sunt. quare EA: 4B — ΒΘ: ΘΕ [πο]. VI, 4. quoniam aulem ZE^ E0 ei BH — BO, erit [Eucl. V, 8] ΒΘ: ΘΕ} ΒΗ:ΖΕ. uerum BO: OE-— EA: AB; quare ΕΑ: 4B BH: EZ. itaque [prop. 1] AE ΕΖ)» 48». ΒΗ, hoe esi triangulus aequicrurius per 4 E ductus, cuius basis est 2 EZ, maior est triangulo aequicrurio per axem ducto; itaque triangulus aequicrurius per axem ductus non est maximus omnium iriangulorum, uti diximus, constructorum. demonstrauimus autem in prop. XXXVI in uniuersum, ne minimum quidem eum esse; ergo neque maximus est omnium neque mi- nimus. XLI. Iam uero axis 4B radio aequalis sit. LAB igitur, qui recto minor est, aut minor est dimidio recto aut non minor. 8i prius non minor dimidio, et per 44 in plano BO (pr.)] vep, 0 in ras. m. rec. V, infra scr. 99 m. 1?, del. m.rec. 12. BH] B6 p. ZE]mut.in HEp. 14. BH] ΒΘ τουτέστιν ἡ ΒΖ p. EZ] HE p. 15. EZ] EH p. uei£ov] corr. ex μείξονα m.i1c. BH]BZp. 20. ἔκτῳ] τετάρτῳ p, δευτέρῳ Halley. 21. μέγιστόν ἐστι) in ras. p. 10 15 20 220 ΠΕΡῚ K9NOT TOMHZ. A ἐν τῷ ὀρϑῷ πρὸς τὸν κύκλον ἐπιπέδῳ παράλληλος ἤχϑω τῇ ΓΒ AE καὶ τῇ AB παράλληλος ἡ EZ, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ Z4, ἐν δὲ τῷ κύκλῳ τῇ D πρὸς ὀρϑὰς ἤχϑωσαν αἱ BO, ZH, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ BH. ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ABA οὐκ ἐλάττων ἐστὶν ἡμισείας. καὶ ἡ ὑπὸ Β4Ε ἄρα οὐκ ἐλάττων ἐστὶν ἡμισείας" ἡ ἄρα ὑπὸ EBA, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ZEB, οὐ μείξων ἐστὶν ἡμι- σείας᾽ ἡ ἄρα ὑπὸ ZEB οὐ μείξων ἐστὶ τῆς ὑπὸ EAB. ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνα và ZEB, ZAB ἐπὶ μιᾶς βάσεως συνέστηκε. καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ 4 κάϑετος ἐπὶ τὴν ΓΖ ἀγομένη, ὡς ἡ AK, οὔκ ἐστιν ἐλάττων τῆς EB, ἡ δὲ ὑπὸ ZEB τοῦ ὀρϑογωνίου γωνία οὐ μείξων ἐστὶ τῆς ὑπὸ EAB, ἡ ἄρα ΖΕ πρὸς EB ἐλάττονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ Z.4 πρὸς 4B διὰ τὸ τριακοστὸν ὄγδοον ϑεώ- ρημα. ὡς δὲ ἡ ΖΕ πρὸς EB, οὕτως ἡ BH, τουτ- ἕστιν ἡ BO, πρὸς ΖΗ͂' ἴδη γὰρ καὶ ἡ EZ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου" καὶ ἡ ΒΘ ἄρα πρὸς ZH ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Z.4 πρὸς AB. τὸ ἄρα ὑπὸ 48. BO ἔλαττόν ἐστι τοῦ ὑπὸ 42. ZH, τουτέστι τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς τοῦ διὰ τῆς 412 ἰσοσκελοῦς" οὐκ ἄρα τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς μέγιστόν ἐστι πάντων τῶν, 2. ΓΒῚ 4B p. ἡ AE καί] suppleui cum Comm., om. Vc, ἡ A καὶ ἀπὸ τοῦ B πρὸς ὀρθὰς ἀνήχϑω ἡ BE καὶ διὰ τοῦ E p, ἡ AE καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ BE Halley; et fort. plura desunt. τῇ] τῇ δέ Halley. παραλληλος] παράλληλος 559€ p. ἡ EZ] ecor.p. 8. ΖΑ] ", ΖΩ Vc. 4. ἐπεξεύχϑω ἡ ΒΗ] om. p. 5. οὐκ ἐλάττων] γον», οὐκ ἐ- euan. V. ἡμισείας] ἡμισείας ὀρϑῆς p. καὶ ἡ ὑπὸ BAE ἄρα] vcp, καὶ ἡ ὑ- et -ρα euan. V. 7. ἡμισείας] ἡμισείας ὀρϑῆς p. 8. Post μείξων rep. ἐστὶν οὐ μείξων ἐστὶν ἡμισείας ἡ ἄρα ὑπὸ ZEB οὐ μείξων V, del οὐ μείξων ἐστὶν ἡμισείας; ἐστὶν ἡμισείας ἡ ἄρα ὑπὸ ZEB οὐ μείξων rep. v. EAB] BAE p. 9. ZEB] vep, e corr. m. 1 V. 12. ἐστί] ἐστὶν c, sed corr. 14. ὄγδοον] ἔκτον p. τέταρτον Halley. — 16. καί] om. p, ἡ BE τῇ ZH καί Halley. DE SECTIONE CONI. 221 ad circulum perpendiculari rectae I'B parallela ducatur AE et rectae 4B parallela EZ, ducaturque Z4, in cireulo autem ad I'7 perpendiculares ducantur ΒΘ, ZH, et ducatur BH. quoniam [, 4B7f non minor est dimidio recto, etiam (. B.4E non minor est dimidio [ Eucl. I, 29]; quare L EBA gue ZEB [Eucl I, 29] non maior est dimidio [ Eucl. I, 32]; itaque L ZEB non maior est. angulo EA B. quoniam igitur duo irnanguhn ZEB, Z A B in eadem basi construecti sunt, et recta ab 4 ad I'4 perpendicularis ducta, ut 44K, non minor est quam EB, angulus autem irianguli rectanguli ZEB non maior est angulo EAB, erit ΖΕ:ΕΒ «. 24: 48 propter prop. XXXVIII. est autem ΖΕ: EB — BH : ZH — B0: ZH |Eucl. VI, 75; VI, 4]; nam etiam EZ radio aequalis est [Eucl. I, 34]; quare etiam ΒΘ: ZH « ZA: AB. ita- que [prop. I|] 4B »« ΒΘ — 4Z »« ZH, hoc est trian- gulus aequicrurius per axem ductus minor triangulo aequicrurio per 472 ducto; itaque triangulus aequi- crurius per axem ductus maximus non esb omnium aequicruriorum, uti diximus, constructorum. demon- 17. ZH] v» ZH p. 18. ἤπερ] bis V. AB (pr.)] τὴν AB p. . 20. ἰσοσκελές] p, ἰσοσκελές ἐστι Vc, ἰσοσκελὲς ἔλαττόν ἐστι Halley; fort. ἰσοσκελὲς ἔλαττον. δια] cp, διὰ τοῦ V. 10 15 20 25 222 ΠΕΡῚ K9NOT TOMHZ. ὡς εἴρηται, συνισταμένων ἰσοσκελῶν. ἐδείχϑη δέ, ὅτι οὐδὲ ἐλάχιστον" οὔτε ἄρα πάντων μέγιστόν ἐστιν οὔτε ἐλάχιστον. μβ΄. ᾿4λλὰ δὴ ἔστω ἡ ὑπὸ 4384] ἐλάττων ἡμισείας ὀρϑῆς, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ A4BE, καὶ κείσθω ἡ BE ἴση τῇ ἡμισείᾳ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, καὶ ἐν τῷ ὀρϑῷ πρὸς τὸν κύκλον ἐπιπέδῳ, ἐν d καὶ ἡ AE, τῇ AE πρὸς ὀρϑὰς ἤχϑω ἡ EZ, τῇ δὲ ΓΖ πρὸς ὀρϑὰς ἡ BH, καὶ ὑποτεινέτω τὴν ὑπὸ ZBH γωνίαν ἡ ZH εὐθεῖα loc συσταϑεῖσα τῇ ἐκ τοῦ κέντρου. καὶ ἐπ- εξεύχϑω ἡ Z A. ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ 484. τουτέστιν ἡ ὑπὸ ZBE, ἐλάττων ἐστὶν ὀρϑῆς ἡμισείας, ὀρθὴ δὲ ἡ πρὸς τῷ E, ἡ ἄρα ΒΕ τῆς ΕΖ usitov. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ZB ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΖΕ, EB, ὧν μεῖξον τὸ ἀπὸ EB τοῦ ἀπὸ ΖΕ. τὸ ἄρα ἀπὸ ZB ἔλαττον ἢ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ BE: τὸ ἄρα ἀπὸ ZH μεῖζον ἢ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ZB: λοιποῦ ἄρα τοῦ ἀπὸ BH ἔλαττον ἢ διπλά- σιόν ἐστι τὸ ἀπὸ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ἡ EB ἡμίσειά ἐστι τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ AB, BE ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ B. ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ Ζ.4 ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ 48. ΒΖ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ AB, BE, ἀλλὰ τὸ δὶς ὑπὸ AB, ΒΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ 418, τὸ ἄρα ἀπὸ ZA ἴσον ἐστὶ τῷ vs δὶς ἀπὸ AB καὶ τῷ ἀπὸ BZ τὸ ἄρα ἀπὸ Z4 μεῖξον ἢ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ AD. μβ΄] om. Vc et Halley, μ΄ mg. p et m. rec. V. 66. ABE] AB ἐπὶ τὸ E p. 8. τῇ "4E| om. p. 9. EZ] EZ τῇ AE p. 1] ἀνήχϑω 7 p. 14. ὀρθῆς ἡμισείας] ἡμισείας ὀρϑῆς p. 15. usi£ov] μείξων ἐστί p. 6. &zó (pr. Ji, ἀπὸ τῶνρΡ. — EB (ali.)] BE p. 17. ZE] EZ P ἤ] p 70V ToU] ἐστι τοῦ p. 8. 4j] P, 9 Vc. 28. ἀπό] ἀπὸ p^ P. DE SECTIONE CONI. 223 strauimus autem, ne minimum quidem eum esse (prop. XXXVI]; ergo neque maximus est omnium neque minimus. XLII. lam uero / 4184] minor sit dimidio recto, pro- ducaturque 4BE, ei ponatur BE dimidio radio ae- qualis, et in plano ad circulum perpendiculari, in quo est eliam 4E, ad AE perpendicularis ducatur EZ, ad ΓΖ autem per- pendicularis B H, subtendatque sub an- gulo ZB H rectaZH radio aequalis con- structa, ducaturque Z A. quoniam igitur ι( 4824 gue ZBE [Eucl. I, 15] dimi- dio recto minor est, rectus autem angulus - ad E positus, erit ΒΕ» EZ [Eucl.I, 19]. et quoniam ΖΒ" — ZE* -- EB? [Eucl. I, 47], quorum EB' - ZE?, ert ZB*-«- 2 BE?; quare ZH? — 228". itaque ZH? —-2BH? [Eucl. I, 47]. et quoniam EB dimidia est radi, erit 24 B»« BE — B.4*. quoniam igitur Z4? — AB? -- BZ* -- 24B »« BE [Eucl. II, 12], et 24B»« BE — AB?, ent Z4? —2 AB* -- BZ*; itaque Z4? 2.483. demonstrauimus autem, esse τό] τῷ p. 94. τῷ] τό p. 26. ἀπό (pr.)| ὑπό Vcp, corr. Comm. AB] τῶν AB, BE p. τῷ (alti.)) corr. ex τό m. 1c. 10 1ὅ 20 25 294 ΠΕΡῚ ΚΟΝΟΎ ΤΟΜΗΣ. ἐδείχϑη δὲ τὸ ἀπὸ ΖΗ͂ ἔλαττον ἢ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ ΗΒ᾽ τὸ ἄρα ἀπὸ ZH πρὸς τὸ ἀπὸ HB ἐλάττονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ ἀπὸ Z.4 πρὸς τὸ ἀπὸ AB: ὥστε καὶ ἡ ZH πρὸς ΗΒ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ Z.4 πρὸς AB. ἐὰν οὖν πάλιν ἐν τῷ κύκλῳ τῇ ΓΖΩ͂ πρὸς ὀρϑὰς ἀχϑῶσιν αἱ ΖΚ, ΒΘ, ἐπιξευχϑῇ τε ἡ BK, ἡ BO πρὸς ΖΚ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ Z4 πρὸς AB: τὸ ἄρα διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς ἔλαττόν ἐστι τοῦ διὰ τῆς 4Ζ. οὐκ ἄρα τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἐδοσκελὲς μέ- γιστόν ἔστι πάντων τῶν, ὡς εἴρηται, συνισταμένων ἰσοδσκελῶν. ἐδείχϑη δέ, ὅτι οὐδὲ ἐλάχιστον" οὔτε ἄρα μέγιστόν ἐστιν οὔτε ἐλάχιστον. μγ΄. Ἔστω δὲ νῦν ὃ AB ἄξων μείξων τῆς ἐκ τοῦ κέν- τρου, καὶ ἐν τῷ ὀρϑῷ πρὸς τὸν κύκλον ἐπιπέδῳ ἤχϑω κάϑετος ἐπὶ τὴν I4 ἡ AE. ἡ δὴ AE ἤτοι ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ χέντρου ἢ οὔ. ἔστω πρότερον ἐλάττων. καὶ διὰ τοῦ 4 παρὰ τὴν ΓΖΔ ἤχϑω ἡ 4Z, διὰ δὲ τοῦ B παρὰ τὴν AE ἡ BZ, καὶ συστήτω ἡ ὑπὸ ΒΖΗ μὴ μείξων οὖσα τῆς ὑπὸ ZAB, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ H4. πάλιν ἄρα διὰ τὰ δειχϑέντα ἡ ZH πρὸς ZB ἐλάττονα λόγον ἔχει ἥπερ, ἡ HA πρὸς AB. ἐπεὶ οὖν ἡ ZB ἴση οὖσα τῇ AE ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, μείξων δὲ ἡ ΖΗ τῆς ΖΒ. ἡ ἄρα ZH iow μείξων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέν- τρου ἢ ἐλάττων ἢ ἴδη. 4. ZH] ΖΒ ρΡ.« ὅδ. ἐάν — 7. AB] om. p. 6. τεῖ δέ Halley. 10. ἐστι] om. p. 11. ἄρα] ἄρα πάντων p. 18. uy] om. Ve, μα΄ p et mg. m. rec. V; et sic deinceps. 16. ΓΖ) 4 DE SECTIONE CONI. 225 ZH*-c2HB*; itaque ΖΗ": HB? c 2.45: 4.85; quare etiam ZH: HB« ZA4: AB [prop. XVIII]. si igitur rursus in circulo ad ΓΖ perpendiculares ducuntur ΖΑ, BO, duciturque BK, eit BO: ZK «« Z4: AB;)) itaque triangulus aequierurius per axem ductus minor est triangulo per 4Z ducto [prop. I; Eucl. I, 41]. itaque triangulus aequicrurius per axem ductus maxi- mus non esü omnium aequiceruriorum, uti diximus, constructorum. demonstrauimus autem, ne minimum quidem eum esse [prop. XXXVI]; ergo neque maximus esi neque minimus. XLIII. Iam uero axis 4B maior sit radio, et in plano ad cireulum perpendiculari ad ΓΖ perpendicularis du- catur 4E. A E igitur aut minor est radio aut non minor. prius sib minor, et per 4 rectae ΓΖ, parallela ducatur 4Z, per B autem rectae AE parallela BZ, consiruaturque [ BZH angulo ΖΑΒ non maior, et ducatur H4. rursus igitur propter ea, quae demon- sirauimus [prop. XXXVII], ZH: ZB« HA: AB. quoniam igitur ZB, quae aequalis est rectae ΔΕ [Eucl. I, 34], minor est radio, et ΖΗ.» Z B [Eucl. I, 19], ZH aut maior est radio aut minor aut aequalis. 1) Nam Δ ZHB, ΓΑΒ similes sunt (Eucl. VI, 7); itaque BK:KZ-— ZH:BH. et BK — ΒΘ. e corr. p. 17. δή] p, δέ Vc. ἐστί] ἐστὶ exir. lin. V, ἐστιν v. 20. 427 cp, corr. ex 44 m. 1 V, 44 v. A25. μεί- ξων] μεῖξον c, sed corr. ZH] HZ p. 26. ZH] HZ p. 27. ἢ lon] p, ἴση Vc. e Serenus Antinoensis, ed. Heiberg. 15 226 ΠΕΡῚ KGNOT TOMBZ. ἔστω πρῶτον ἴδη. ἐὰν οὖν πάλιν, τὸ εἰωϑός, ἐν τῷ κύκλῳ τῇ ΓΖ πρὸς ὀρϑὰς ἀγάγωμεν τὰς H4, MB, xal ἐπιξεύξωμεν τὴν BA, διὰ τὰ δειχϑέντα πολλάκις ἡ H4 πρὸς AB μείξονα λόγον ξξει ἥπερ ἡ ΒΜ πρὸς Η 41 ὥστε καὶ τὸ διὰ τῶν AH, ΗΜ ἰσοσκελὲς μεῖζόν ἐστι τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελοῦο. εἰ δὲ ἡ ΖΗ ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἔστω ἡ ΗΝ ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου. ἐπεὶ οὖν ἡ Η 4 πρὸς 10 4B μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΗΖ πρὸς ZB, ἡ δὲ ΗΖ πρὸς ZB μείξονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΗΝ πρὸς NB, καὶ ἡ ἄρα Η 4 πρὸς AB μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΗΝ πρὸς ΝΒ, τουτέστιν ἥπερ ἡ ΒΜ πρὸς H 4. καὶ οὕτως τὸ διὰ τῆς 4H ἰσοσκελὲς τοῦ διὰ τοῦ 16 ἄξονος ἰσοσκελοῦς μεῖξον ἔσται. εἰ δὲ ἡ ZH μείξων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, διήχϑω ἡ ZE lou τῇ ἐκ τοῦ κέντρου. ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ZB οὐ μείξων ἐστὶ τῆς ὑπὸ Ζ48. ἐπιξευχϑεῖσα ἄρα ἡ 4 πρὸς AB μείζονα λόγον ξξει ἥπερ ἡ AZ 80 πρὸς ZB. ὡς δὲ ἡ ΞΖ πρὸς ZB, οὕτως ἡ B.M πρὸς ΞΟ" ἡ ἄρα Ξ.4 πρὸς AB μείξονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ MB πρὸς ΞΟ. τὸ ἄρα διὰ τῶν A45, AO ἰσοσκελὲς μεῖξόν ἐστι τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος ἐσοσκελοῦς᾽ οὐκ ἄρα τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς πάντων μέγιστόν ἔστι τῶν εἰρημένων ἰσοσκελῶν. ἐδείχϑη δέ, ὅτι οὐδὲ e 2 CQ —— 2. τό] κατὰ τό Halley. 8. ὀρϑάς] vcp, euan. V, .,..:: ὀρθάς apogr." mg. m. rec. MB] BM p. 10. ἡ (pr)] bis V. 11. ἤπερ] εἴπερ c. 12. καὶ ἡ ἄρα HA] in ras. p. 19. NB]p, HB Vc. 14. xoi] fort. ὦστε x«l. τῆς 4 H] τῶν AH, HA Halley eum Comm. τοῦ (pr.)] p, τό Vc. 15. ἔσται) ἐστι comp. p. 17. ZA] vcp, corr. ex ZZ m. 1 V. 19. ἕξει) DE SECTIONE CONI. 29 primum aequalis sit. sl igitur rursus solita ratione in circulo ad ΓΖ perpendieulares duxerimus H4, MB, duxerimusque BA, propter ea, quae iam saepe demonstrauimus [uelut p. 224, 5 sqQ.], erit HA:4B» BM:H4A; quare etiam triangu- lus aequicrurius per AH, HA ductus maior est triangulo aequierurio per axem ducto [prop. I; Eucl. I, 41]. sin ZH minor est radio, sit ΗΝ radio aequalis. quoniam igitur H 4: 4B HZ:ZB [prop. XXXVIIT], et HZ: ZB» ΗΝ: ΝΒ [prop. Il], erit etiam HA: 4B HN: NB, hoc est » BM:H.A [Eucl VI, t; VI, 4]. ergo sic quoque triangulus aequicrurius per 4H ductus triangulo aequicrurio per axem ducto maior erit [prop. I; Eucl. I, 41]. sin ZH radio maior est, ducatur ΖΗ radio ae- qualis. quoniam igitur ( SZ B non maior est angulo ZAB, ducta recta M4 ert 54: 4B ^ Ξ2: ZB [prop. XXXVIII]. est autem SZ: ZB— BM: 50 [Eucl. VI, ?; VI, 4]; itaque X4: 4B » MB: XO. quare triangulus aequicrurius per 4&4, XO ductus maior est triangulo aequicrurio per axem ducto; ita- que triangulus aequicrurius per axem ductus maximus non est omnium aequicruriorum, quos diximus. de- monstrauimus autem [prop XXXVI], ne minimum 15* 298 ΠΕΡῚ KS9NOT TOMHZ. ἐλάχιστον: οὔτε ἄρα μέγιστόν ἐστι πάντων οὔτε ἐλάχιστον. μδ΄. Ἔστω δὴ ἡ AE κάϑετος μὴ ἐλάττων τῆς ἐκ τοῦ ὅ κέντρου, ἡ δὲ Z B ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ AZ, καὶ διήχϑω τυχοῦσα ἡ 40, καὶ συστήτω ἡ ὑπὸ BOH μὴ μείξων οὖσα τῆς ὑπὸ OB, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ H 4. ἕξει δὴ πάλιν διὰ τὰ δειχϑέντα ἡ HO πρὸς ΘΒ ἐλάττονα λόγον ἤπερ ἡ H.A πρὸς 48. 10 καὶ ἐπεὶ ἡ ΘΒ ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, μείζων δὲ ἡ OH τῆς OB, ἡ ΘΗ ἄρα ἥτοι ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἢ ἐλάσσων ἢ μείξων. ἔστω πρῶτον ἴδη τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, καὶ ἤχϑωσαν ἐν τῷ κύκλῳ τῇ ΓΖΩ͂ πρὸς ὀρθὰς αἱ HK, B4. ἐπεὶ 16 οὖν ἡ H.4 πρὸς AB μείξονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΗΘ πρὸς ΘΒ. ὡς δὲ ἡ ΗΘ πρὸς ΘΒ, οὕτως ἡ B.A πρὸς HK, ἡ ἄρα H4 πρὸς 4B μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ Β. πρὸς HK: μεῖξον ἄρα τὸ διὰ τῆς 4H τρίγωνον ἰσοόκελὲο τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελοῦς. 20 εἰ δὲ ἡ OH ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἔστω ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ HM. ἐπεὶ οὖν ἡ HA πρὸς 41Β μείξονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ H6 πρὸς ΘΒ, ἡ δὲ HO πρὸς ΘΒ μείξονα ἥπερ ἡ ΗΜ πρὸς MB, ἡ ἄρα H4 πρὸς 48 μείξονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ HM 26 πρὸς ΜΒ. τουτέστιν ἤπερ ἡ ΒΜ πρὸς ΗΚ. ὥστε καὶ 11. OH (pr)] H6 p. ἴση] c, bis V, ἐλάσσων p. 12. τῇ] τῆς p. ἐλάσσων) ἴση p. 18. κέντρου] p, κέντρου 1j ἐλάσσων ἣ μείξων Vc. 14. ai] corr. ex ἡ p. 15. ἡ PI corr. ex αἱ m. 1c. H4] p, NA Vc. 17. ἡ ἄρα — 18. HK om. p. 28. μείξονα] μείξονα λόγον ἔχει p. 24, ἡ ἄρα -- 25. MB] om. p. DE SECTIONE CONI. 299 quidem eum esse; ergo neque maximus est omnium neque minimus. XLIV. Iam uero perpendicularis 4E radio non minor sit, ZB autem radio aequalis, ducaturque “472, et pro-. ducatur recta aliqua 44, construaturque /, BG H non maior angulo ΘΩ͂, et ducatur H.4. rursus igitur propter ea, quae demonstrauimus [prop. ΧΧΧΥ ΠῚ, eni ΗΘ: ΘΒ« HA4:4B. et quoniam 6B minor esi radio, et Z »4 O0H»90B / [ Eucl. I, 19], ΘΗ aui ae- qualis est ra- dio aut minor aut maior. E primum radio aequalis sit, ducantur- que in circulo ad ΓΖ per- pendiculares HK, BA. quoniam igitur [prop. XXXVIIT] HA: 4B H0:0B, et ΗΘ: 9B — BA: HK [Eucl. VI, 7; VI, 4], erit H4:A4B^ BA: HK; itaque triangulus aequierurius per ΑΗ ductus maior est triangulo aequicrurio per axem ducto [prop. I; Eucl. I, 41]. sin ΘΗ͂ radio minor est, sit H M radio aequalis. quoniam igitur H 4: 4B ^ HO: ΘΒ, et ΗΘ: ΘΒ} ΗΜ: ΜΒ |prop. II], 10 15 20 2b 230 ΠΕΡῚ KNOT TOMBHZ. οὕτω μεῖξον τὸ διὰ τῆς H.4 ἰσοσκελὲς τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελοῦς. εἰ δὲ μείξων ἡ ΗΘ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἔστω ἡ ΘΝ ἐνηρμοόσμένη lax τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ NA, καὶ ἐν τῷ κύκλῳ πάλιν πρὸς ὀρϑὰς τῇ I'4 7 NE ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ NOB οὐ μείξων ἐστὶ τῆς ὑπὸ Θἅ8Β. ἡ ἄρα NO πρὸς ΘΒ ἕλάττονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ N.4 πρὸς 48. ὡς δὲ ἡ ΝΘ πρὸς ΘΒ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς NA: ἡ ἄρα B.A πρὸς NA ἐλάττονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ N.4 πρὸς AB. μεῖξον ἄρα τὸ διὰ τῆς AN ἰσοσκελὲς τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελοῦς" τὸ ἄρα διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελὲς οὐ πάντων μέγιστόν ἐδτι τῶν εἰρημένων ἰσοσκελῶν. ἐδείχϑη δέ, ὅτε οὐδὲ ἐλάχιστον: οὔτε ἄρα μέγιστόν ἐστι πάντων οὔτε ἐλάχιστον. , us'. Παντὸς κώνου δκαληνοῦ δυνάμει ἀπείρων ὄντων τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων αἱ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου ἐπὶ τὰς βάσεις τῶν τριγώνων ἀγόμεναι κάϑετοι πᾶσαι ἐπὶ ἑνὸς κύκλου περιφέρειαν πίπτουσιν ὄντος τε ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τῷ τῆς βάσεως τοῦ κώνου καὶ περὶ διάμετρον τὴν ἐν τῷ εἰρημένῳ ἐπιπέδῳ ἀπολαμβανομένην εὐθεῖαν μεταξὺ τοῦ τε κέντρου τῆς βάσεως καὶ τῆς ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον καϑέτου. ἔστω κῶνος σκαληνός, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ 4 σημεῖον, βάσις δὲ ὃ περὶ τὸ B κέντρον κύκλος, καὶ ἄξων ὁ AB, ἀπὸ δὲ τοῦ 44 κάϑετος ἐπὶ τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον ἡ AI, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ ΓΒ. τῇ δὲ ΓΒ ἀπὸ τοῦ B πρὸὺς ὀρϑὰς ὀρϑὰς ἤχϑω ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἡ 48, τυχοῦσαι δὲ 1. τοῦ (prJ] τό C. 8. ἐκ τοῦ] bis V. 8. ὡς δέ — 10. 48] mg. p (κείμενον). 21. ὄντος] ὄντες Vc, ὄντε p, corr. DE SECTIONE CONI. 931 eri H4: 4B ΗΜ: ΜΒ, hoc est [Eucl VI, 7; VL4]» BA: HK. quare sic quoque triangulus ae- quicrurius per H 4 ductus maior est triangulo aequi- erurio per axem ducto [prop. I; Eucl. I, 41]. sn HO radio maior est, inserta sib G6 N radio aequalis, ducaturque N.A4, et in circulo rursus ad ΓΖ perpendicularis N,X€. quoniam igitur [ NOB non maior est angulo ΘΒ, ent ΝΘ: 9B« NA4: AB [prop. XXXVIII]. uerum ΝΘ: ΘΒ —BA: NA [Eucl. VI, !; VI, 4]; itaque B4: NN« ΝΑ: 48. itaque iriangulus aequicrurius per ΑΝ ductus maior est íriangulo aequicrurio per axem ducto; triangulus igi- tur aequicrurius per axem ductus maximus non est omnium, quos diximus, aequicruriorum. demonsiraui- mus autem [prop. XXXVI|], ne minimum quidem eum esse; ergo neque maximus est omnium neque minimus. XLV. Triangulis per axem cuiusuis coni scaleni potentia infinitis rectae a uerlice coni ad bases triangulorum perpendiculares ductae omnes in ambitum unius cir- euli cadunt, qui in eodem plano basis coni descriptus est et cireum diametrum rectam in plano illo inter centrum basis rectamque a uertice ad planum perpen- dicularem abscisam. sit conus scalenus, cuius uerlex sib punctum 4, basis autem circulus circum B centrum descriptus, et axis 4B, ab 4 autem ad planum basis perpendicu- laris ΑΓ, ducaturque ΓΙ, et ad ΓΙ perpendicularis Halley cum Comm. 21. τό] p, om. Vc. 29. 4B] Vc, ABE p, 4 E Halley, bd Comm. 1 e 15 232 ΠΕΡῚ KONOT TOMHZ. α ZH, ΚΘ' γίνονται δὴ αἱ 4E, ZH, OK βάσεις τριγώνων διὰ τοῦ ἄξονος ἠγμένων. ἤχϑωσαν οὖν κάϑετοι ἀπὸ τοῦ Α4' ἐπὶ τὰς 4Ε. ZH, OK εὐϑείας αἱ 4B, 44, AM: ὅτι γὰρ ὃ μὲν 4B ἄξων πρὸς ὀρϑάς ἐστι τῇ 4E, αἱ δὲ 4.4. AM κάϑετοι ἐπὶ τὰ ΒΗ, ΒΚ μέρη πίπτουσιν, ἑξῆς δειχϑήσεται. λέγω δή, ὅτι τὰ B καὶ 4 καὶ M σημεῖα ἐπὶ ἕνὸς κύκλου περιφερείας ἐστίν, οὗ διάμετρός ἐστιν ἡ ΒΓ εὐϑεῖα. ἐπεξεύχϑωσαν αἱ D'4, ΓΜ. ἐπεὶ οὖν ἡ AA κάϑετος ἐπὶ τὴν ZH, ὀρϑὴ ἄρα ἐστὴν ἡ ὑπὸ Ζ44 γωνία. πάλιν ἐπεὶ ἡ AI' κάϑετός ἐστιν ἐπὶ τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον, ὀρϑαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ 4ΓΒ. 41'4, AUM γωνίαι" ὥστε ἐπεὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς .4B τοῖς ἀπὸ BA, 4.4 ἴσον, τὸ δὲ ἀπὸ 4.4 τοῖς ἀπὸ 4Γ, IA ἴσον, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς 48 τοῖς ἀπὸ B4, 4Γ, ΓΑ͂ ἴσον ἐστίν. ἔστι δὲ καὶ τοῖς ἀπὸ BI, ΓΑ͂ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τὰ ἄρα ἀπὸ BI, I'4 τοῖς ἀπὸ BA, AI, IA ἴσα ἐστί. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΓΑ͂' λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ BI' ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ B4, AI" ὀρϑὴ ἄρα 1. αἱ (pr.)] διήχϑωσαν διὰ τοῦ Boi p. ΚΘΊΘΙΚ»ι. δή] δέ c. βάσεις] cp, corr. ex βάσις m. 1 V, βάσις v. 4. γὰρ ὁ μέν] μὲν οὖν ὁ p. 6. "n μέρη τῶν ZH, OK p. πίπτου- σιν] πιπίπτουσιν V. 8. ἐστίν) εἰσίν p. εὐθεῖα) om. p. 9. ΓΑ] p, ΓΑ Vev. 10. κώϑετος) κάϑετός ἐστιν p. ἄρα] vcp, -« suppl. m. rec. V. ἐστίν] vcp, ἐστί- euan. V, t ἐστιν mg.m.rec. Z44]p,Z44 Vc. 11. ἐπεί] 6 corr. p. 12. ὀρϑαί] ὀρϑή p. αἱ — 18. γωνίαι] ἐστὶν ἡ ὑπὸ BI'A. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ALIA, AI'M ὀρϑή ἐστιν p. 12. ΑΓΒῚ 4AI'4 V et 4 euan. c, corr. Comm. 13. τοῖς] ἴσον ἐστὶ τοῖς Ῥ. ἀπό (alt.)| ἀπὸ τῶν p, ut semper fere. 14. AA (pr-)] A4 e corr. p. ἴσον] om. p. ἀπό (pr.)] ἀπὸ τῆς P- AI' Pesustulitlacunain c. ΓΑ», 44 Vc. σον] om. p. 15. ΑΒ] BA p. 4] p, 44 Vc. 16. ἐστίν] ἐστὶ - c. τοῖς] bis p, sed corr. 17. BI'] scripsi, τῆς ΒΓ Vcp. τοῖς] ἴσα εἰσὶ τος p. | Dl'4]p, AA Vc. 18. ἴσα ἐστί] om. p. 19. τοῖς} scripsi, τῷ Vcp. ἄρα] ἄρα ἑστίν p. DE SECTIONE CONI. 233 a B in eodem plano ducatur 4.8, aliae autem quae- libet ZH, ΚΘ; rectae igiiur 4E, ZH, ΘΚ bases fiunt iriangulorum per axem ductorum. ducantur igitur ab 44 ad rectas ΖΕ, ZH, 0 K perpendiculares AB, 44, 4M; nam axem 4B ad 4E perpendicu- larem esse, 44.4 et .4 M uero perpendiculares ad partes BH, BK uersus cadere, deinceps demonsitrabimus [prop. XLVI]. dico, puncta B, 4, M in unius circuli ambitu esse, cuius diameitrus sit recta BI. ducantur ΓΖ, I'M. quoniam igitur 444 ad ZH perpendicularis est, [ Z.4.4 rectus est. rursus quon- iam ΑΓ ad planum basis perpendicularis est, anguli AI'B, 4Γ4, AI'M recti sunt [Eucl. XI def. 3]; quare quoniam 4B? — B.f?-- 444? et 44? — AI? -- T4 [Eucl. I, 47], erit 4B? — Bf? -- AI? -- I'4?. uerum eliam [Eucl. I, 47] Bf — BI? J- I4; quare BI? J- L4? — BA? -- AI? τ IA*. auferatur, quod commune est, ΓΖ“: reliquum igitur BI? — Β45- AI*; δι 10 15 20 234 ΠΕΡῚ KONOT TOMHZ. ἡ ὑπὸ Β4Γ γωνία ἐν τῷ τῆς βάσεως ἐπιπέδῳ. πάλιν ἐπεὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς 4B ἴσον τοῖς ἀπὸ BM, M A, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΜΑ͂ ἴσον τοῖς ἀπὸ MI, ΓΑ, τὸ ἄρα ἀπὸ AB ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΒΜ, ΜΓ, ΓΑ. ἐπεὶ δὲ καὶ τοῖς ἀπὸ ΒΓ, ΓΑ͂ ἴσον, τὸ ἄρα ἀπὸ BI' ἴσον τοῖς ἀπὸ ΒΜ, MI* ὀρϑὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΜΓ γωνία ἐν τῷ τῆς βάσεως ἐπιπέδῳ. τὰ ἄρα 4, Μ σημεῖα ἐπὶ περι- φερείας ἐστὶ τοῦ αὐτοῦ κύκλου, οὗ διάμετρός ἐστιν ἡ BI: ὁμοίως οὖν, κἂν ὁσασοῦν ἀγάγωμεν, ὃν εἰρήκαμεν τρόπον, ὥσπερ οὖν καὶ τὴν NOR, τὸ αὐτὸ συμβαῖνον δειχϑήσεται" ὅπερ ἔδει δεῖξαι. , us. Ὅτι δὲ ὃ uiv AB ἄξων πρὸς ὀρϑάς ἐστι τῇ AE, αἴ δὲ 4 A, A M κάϑετοι ἐπὶ τὰ ΒΗ, B K μέρη πίπτουσιν, οὕτω δεικτέον. ἐὰν γὰρ ἐπιξεύξωμεν τὰς 44, AE, ἔσται τὸ 44Ε τρίγωνον ἰσοσκελές, καὶ διὰ τοῦτο ἡ διὰ τῆς διχοτομίας τῆς βάσεως καὶ τῆς 4 κορυφῆς ἀγομένη πρὸς ὀρϑὰς ἔσται τῇ 4E. ἐπεξεύχϑωσαν δὴ καὶ αἱ ΓΖ, ΓΗ, 42. AH. ἐπεὶ οὖν ἀμβλεῖα μὲν ἡ ὑπὸ Ζ8Β Γ γωνία, ὀξεῖα δὲ ἡ ὑπὸ ΓΒΗ͂, μείξων ἄρα ἡ ΖΓ τῆς ΓΗ, καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΗ͂ μεῖξον. καὶ 2. ἴσον] ἴσον ἐστί p. — 8. ἴσον] ἴσον ἐστί p. 4. AB] τῆς AB p. πεὶ δὲ καί] ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῆς AB ἴσον ἐστί p. ὅ. ἴσον (pr.)] τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν BI, ΓΑ͂ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν BM, MI,I'4: κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ͂ p. ἴσον " ἴσον ἐστί p. 6. xal | ἐστίν p. 7. ví] p, τό Vc. A, M scripsi; 4, B, M Vc; B, 4, M p et Comm.; B, 4, M, Τ' Halley. 8. ob] p, om. Vc. 9. ΒΓ] ΓΒ p. v εἰρήκαμεν] om. p. 10. οὖν καί] om. Halley. NOE] ΝΞΟ p. 11. ὕπερ ἔδει δεῖξαι] om. p. 18. ὅτι) cp et ὅ- in ras. m. 1 v, ὅ- sustulit DE SECTIONE CONI. 23b itaque ( ΒΑΓ in plano basis rectus est [Eucl. I, 48]. rursus quoniam 4B? — BM? -- M 4? et M4* — MI? 4- L4? [Eucl I, 41], ert 4B?-—— BM?-- MI?-- I'4*. quoniam autem etiam 4B? — BI? -- D'4? [Eucl. I, 47], ent BI* — BM? -- MI*; quare etiam /, BMTI' in plano basis rectus erit [Eucl. I, 48]. ergo puncta 4, M in ambitu sunt eiusdem cireuli, cuius diametrus est BI' [Eucl. III, 31]. simi- liter igitur, quotcunque duxerimus eo, quo diximus, modo, uelut NOAX,!) idem adcidere demonstrabimus; quod erat demonstrandum. XLVI. Axem autem 4B ad 4E perpendicularem esse, et 4 4, AM perpendiculares ad BH, ΒΚ partes uersus eadere, sic demonstrandum. si enim 47, AE duxerimus, triangulus Ζ4Ε aequicrurius erit [prop. XXII], et ideo recta per punctum medium basis uerticemque 44 ducta ad ΖΕ perpendicularis erit [Eucl. I, 8; I def. 10]. ducantur igitur ΓΖ, ΓΗ͂, AZ, AH. quoniam igitur |, ΖΒΓ obtusus est, acutus autem ( I'BH, ent ΖΓ »ΓΗ. [Eucl. I, 24] et ZI* — I'H*. quare etiam communi 1) Itaque alteram figuram solam respicit. lacuna in V, mg. m. rec.: ,,t ἔτι in apographo. puto legendum τ ὅτι Μ΄“, ἔτι w. — AB — ἐστι] sine necessitate rep. mg. m. rec, V. 19. oí] vcp, ins. m. 1 V. 20. μέν] μὲν ἐστιν p. 21. ZI'] ET' c. | 10 15 20 236 ΠΕΡῚ KGQNOT TOMBHZ. κοινοῦ ἄρα προστεϑέντος τοῦ ἀπὸ τῆς 4Γ và ἀπὸ τῶν 2ΖΙ, ΓΑἅΑ͂ τῶν ἀπὸ τῶν ΗΓ, IA μείξονά ἐστι. τουτέστι τὸ ἀπὸ ΖΑ τοῦ ἀπὸ ΑΗ μεῖξόν ἐστι" μείξων ἄρα καὶ ἡ ZA τῆς AH. ἐπεὶ οὖν αἱ μὲν ZB, BH ἴσαι, κοινὴ ὃὲ ἡ ΒΑ, μείξων δὲ ἡ Z4 τῆς 4H, ἡ μὲν ἄρα ὑπὸ LBA γωνία ἀμβλεῖά ἐστιν. ἡ δὲ ὑπὸ ABH ὀξεῖα" ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ 4 κάϑετος ἐπὶ τὴν ΖΗ ἐπὶ τὰ BH μέρη πίπτει. ὁμοίως δὲ δειχϑήσεται καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων. στε φανερόν, ὅτι αἴ προειρημέναι κάϑετοι ἀπὸ μετεώρου τοῦ .4 σημείου ἐπὶ κύκλου περιφέρειαν πίπτουσαι κατὰ ἐπιφανείας οἰσϑήσονται κώνου. οὗ βάσις μὲν ὁ ὑπὸ τῶν πτώσεων τῶν καϑέτων γραφόμενος κύκλος, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ ἐξ ἀρχῆς κώνῳ. μξ΄. Ἐν κώνῳ σκαληνῷ δοϑέντος τινὸς τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων, ὃ μήτε μέγιστόν ἐστι μήτε ἐλάχιστον, εὑρεῖν ἕτερον τρίγωνον διὰ τοῦ ἄξονος, ὃ μετὰ τοῦ δοθέντος ἴσον ἔσται συναμφοτέρῳ τῷ μεγίστῳ καὶ τῷ ἐλαχίστῳ τῶν διὰ τοῦ ἄξονος. ἔστω κῶνος δκαληνός, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ 4 σημεῖον, βάσις δὲ ὁ περὶ τὸ B κέντρον xóxAog, ἄξων 1. ἄρα] om. p. σπροστεϑέντος] p, προτεθέντος Vc. τα] scripsi, τό Vcp. 2. HI'] vp, H euàan. V, NI'c. |) uw £ovo] p, usitov Vc. 8. Z4] τῆς AZ p. AH] τῆς ZH p. 4. BH] AH Vcp, corr. Comm. ἴσαι] ἴσαι εἰσί p. 9 ἐστιν] γωνία ἐστίν p. 9. ὅτι] cp, om. v, ὅ τι V supra st. -- ὅτι m. rec. 10. -ov τοῦ] e corr. p. — 11. οὗ p, om. Vc. 156. ἐν — p. 288, 16. συναμφότερος] bis c (cic?) 16. τινόρ] om. c!, 17. διά] bis V. 20. A4] πρῶτον οἷ. DE SECTIONE CONI. 231 adiecto 4I" erunt ZI" - I'4? » HI? -4- I'4?, hoe est Z 4? — AH? |Eucl. I, 47]; itaque etiam Z4 AH. quoniam igitur ZB — BH, et B.4 communis est, uerum ZA47 AH, L ZB.A obtu- susest,/ 4BH autem acutus [Eucl I, 25]; ergo recta. ab A ad ZH per- pendieularis ad partes B H uer- sus cadit. simi- liter autem etiam de ceteris demonstrabitur. Quare manifestum est, rectas illas perpendiculares, quae ἃ puncto 44 sublimi ad ambitum circuli cadant, per superficiem coni ferri, cuius basis sib circulus punctis, in quae cadant perpendiculares, descriptus, uerblex autem idem, qui coni ab initio positi. XLVII. In cono scaleno dato aliquo triangulorum per axem ductorum, qui neque maximus est neque mini- mus, alium triangulum per axem ductum inuenire, qui una cum dato aequalis sit simul maximo minimo- que eorum, qui per axem ducuntur. sib conus scalenus, cuius uertex sit ;4 punctum, e 10 15 20 2938 ΠΕΡῚ KONOT TOMHZ. 0$ ὁ AB, καὶ ἐπὶ τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον κάϑετος ἡ AT, καὶ διὰ τοῦ I' καὶ τοῦ B κέντρου διήχϑω ἡ IA4BE εὐϑεῖα, fj πρὸς ὀρθὰς ἡ ZBH^ τῶν ἄρα διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων μέγιστον μὲν ἔσται. ὡς ἐδείχϑη πολλάκις, οὗ βάσις μὲν ἡ ZH, ὕψος δὲ ἡ 4 B, ἐλάχιστον δέ, οὗ βάσις μὲν ἡ Ez, ὕψος δὲ ἡ AI. ἔστω δὴ τὸ δοϑὲν τρίγωνον διὰ τοῦ ἄξονος, οὗ βάσις μέν ἐστιν 1j ΘΚ, ὕψος δὲ ἡ 4.4, καὶ δέον ἔστω ἕτερον τρίγωνον τῶν διὰ τοῦ ἄξονος εὑρεῖν, ὃ μετὰ τοῦ τριγώνου, οὗ βάσις μὲν ἡ OK, ὕψος δὲ ἡ 4.4. ἴσον ἔσται συναμ- φοτέρῳ τῷ μεγίστῳ καὶ τῷ ἐλαχίστῳ. ἐπεὶ ἡ 4.4 κάϑετός ἐστιν ἐπὶ τὴν OK βάσιν, τὺ ἄρα A4 σημεῖον ἐπὶ κύκλου περιφερείας ἐστίν, οὗ διά- μετρός ἐστιν ἡ BI, διὰ τὸ προδειχϑέν. γεγράφϑω δὲ ὁ ΒΑΓ κύκλος, καὶ d μείξων ἐστὶ συναμφότερος ἡ BA, 4Γ τῆς 44, τούτῳ ἴση ἔστω ἡ Μ. ἐπεὶ οὖν τῶν ἀπὸ τοῦ 4 ἐπὶ τὴν BAT περιφέρειαν ἀγομένων εὐθειῶν μεγίστη μὲν ἡ AB, ἐλαχίστη δὲ ἡ AT, ἡ ἄρα 4.44 ἐλάττων μέν ἐστι τῆς 48, μείζων δὲ τῆς AI. ἀλλ᾽ ἡ 44 μετὰ τῆς M ἴση ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΒΑΓ, ὧν ἡ 44 ἐλάττων τῆς AB: ἡ ἄρα M τῆς AI' μείξων ἐστί: καὶ τὸ ἀπὸ M ἄρα τοῦ ἀπὸ AT μεῖξόν ἐστιν. ἔστω τῷ ἀπὸ τῆς Μ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν AI, ΓΝ τῆς ΓΝ ἐναρμοσϑείσης εἰς τὸν κύκλον, καὶ 1. τό] Υ οὗ, postea ins. P i Hp 8. ZBH] ZHB οἵ. 6. AB] p, ÁH Ve!c?, e COrr. p. 7. yii om.p. 9. τῶν] om. p. 1]. Es om. p. 16. BA, AT BAI'p. 18. μέν] μἦν ἐστιν p soquentibus lacunae non- nulla abstulerunt in c. 20. 44] 44A p. M] des. p. 585 col. 1 in c, seq. alia manu. 24. ΓΝ (pr)] p, ΓΗ τὸ οὐ 6 corr. m, 1 V. sig] om. Vcp, corr. Halley. τὸν κύκλον) τῷ κύκλῳ p. DE SECTIONE CONI. 239 basis autem circulus circum B centrum descriptus, axis autem 418, et ad planum basis perpendicularis 4 I', et per I' centrumque B producatur recta ΓΖΒΕ, ad quam perpendicularis si& ZBH; iriangulorum igi- tur per axem ductorum maximus erit, αὖ saepe de- monstratum est [propp. XXII, XXIV], cuius basis est Z H, altitudo aulem — 4 B, minimus uero, cuius basis est E 7f, altitudo au- iem AI [prop.XXIV ]. iam uero datus triangulus per axem ductus sit 18, cuius basis sit ΘΑ, altitudo autem 4 4, et oporteat alum tri- angulum per axem ductum inuenire, qui una cum trian- gulo, cuius basis est, € K, altitudo autem 4.4, aequalis sib simul maximo minimoque. quoniam 2.44 ad ΘΚ basim perpendicularis est, punctum 44 in ambitu circuli est, cuius diametrus est BI, propter id, quod antea demonstratum est [prop. XLV] deseribatur igitur circulus BI, et sit M — BA -4- AT -:-- 4.1. quoniam igitur rectarum ab AA ad ambitum B.AI' ductarum maxima est 418, 240 ΠΕΡῚ ΚΟΩΝΟΥ ΤΟΜΗΣ. διήχϑω ἡ NEBO, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ ΝΑ͂' ἡ ἄρα ὑπὸ BNI γωνία ὀρϑή ἐστιν" ἐν ἡμικυκλίῳ γάρ. ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ τῆς 48 ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ BI, ΓΑ. τὸ δὲ ἀπὸ ΒΙΓ ἴσον τοῖς ἀπὸ BN, NI, τὸ ἄρα ἀπὸ AB ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ BN, NI, IA, ὧν τοῖς ἀπὸ ΓΝ, Γ4 τὸ ἀπὸ AN ἴσον ἐστί: τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς AB τοῖς ἀπὸ BN, NA ἴδον ἐστίν. ὀρϑὴ ἄρα ἡ ὑπὸ BNA γωνία ἡ AN ἄρα ὕψος ἐστὶ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου, οὗ βάσις ἐστὶν ἡ ΟΒΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ 10 τῆς Μ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ AT, ΓΝ, ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς AN ἴδον τοῖς ἀπὸ AI, ΓΝ, ἴση ἄρα ἡ M τῇ AN' ὥστε καὶ συναμφότερος ἡ ΔΑΝ συναμφοτέρῳ τῇ ΒΑΓ ἴση ἐστί, καὶ τὸ ὑπὸ τῆς διαμέτρου καὶ συναμφοτέρου τῆς 4.4N τῷ ὑπὸ τῆς διαμέτρου καὶ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ ἴσον ἐστίν. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ τῆς διαμέτρου καὶ συναμφοτέρου τῆς B.4T' διπλάσιόν ἐστι τοῦ μεγίστου καὶ ἐλαχίστου τριγώνου, ὧν βάσεις μὲν αἱ ZH, ΕΖ. ὕψη δὲ αἱ BA, 4Γ, τὸ δὲ ὑπὸ τῆς διαμέτρου καὶ συναμφοτέρου τῆς ΛΜΑ͂Ν διπλάσιόν 20 ἐστι τῶν τριγώνων, ὧν βάσεις μὲν αἱ ΘΚ, OS, ὕψη δὲ αἱ 444, AN: τὰ ἄρα τρίγωνα, ὧν βάσεις μὲν αἱ ΘΑ͂, OA, ὕψη δὲ αἴ 4.4, AN, ἴσα ἐστὶ τῷ τε ἐλαχίστῳ καὶ τῷ μεγίστῳ τῶν διὰ τοῦ ἄξονος. καί ἐστι τὸ δοϑὲν τὸ ἐπὶ τῆς OK: εὕρηται ἄρα τρίγωνον διὰ e E jen 1. NNBO] MXBO? c. 4. τοῖς] τῆς C. 5. ΓΑ] p, NA Ve. DN] NDyp. 6. PA] ΓΑ ἴσον ἐστί p. AN ἴσον ἐστί] τῆς AN p. 4 5) AB ἴσον ἐστί p. 1. ἴσον id om.p. BN4]p, BAN Vc. 8.4N] NA yp. 11. AT τοῖς AI'c. 12. συναμφότερος) συναμφοτέροις V. 14. 4AAN — 15. τῆς] om. c. 16. καὶ συναμφοτέρου] p, om. Vc. 17. τριγώνου] τῶν τριγώνων p. 18. ZH] p, ΖΕ Vv. ZH-— 20. αἱ om. c. 18. ΕΖ] vp, E e corr. m. 1 V. BA] p. DAY. 20. óv] p, om. V. 24. τρίγωνον] om. p. DE SECTIONE CONI. 241 minima autem A4I'[prop. XVI], erit 4B» 447 AT. uerum 74 --M- B4-- 4I,quarum 44 « AB; quare M ^ A4I* itaque etiam M? — AI. sint AI"? --rwN*-— M? recta ΓΝ in circulum inserta, producaturque N ABO, et ducatur N 4; itaque ( ΒΝΓ rectus est [Eucl III, 31]; nam in semicireulo est. quoniam igitur 4B? — BI? - D'4*, et BI* — ΒΝ" - NI? [Eucl I, 41], erit AB! — ΒΝ 4- NI? - A4?, quorum I'N?-- ΓΑ“ — 4Ν" [Eucl I, 47]; itaque AB? — BN* -- NA4?. quare ( BNA rectus est [Eucl I, 48]; AN igitur altitudo est trianguli per axem ducti, cuius basis est OBS. et quoniam M? — AI? 4- ΓΝ", uerum etiam 4 N? — AI? -Ὁ DN*, erit M — AN; quare etiam 44 -- AN — BA -- AT, et rectangulum comprehensum a diametro et (44 -4- AN) reetangulo comprehenso a diametro et (B.4 -- AT?) aequale est. uerum rectangulum comprehensum a diametro et (B.4-]- 4I") duplo maius est triangulo maximo minimoque, quorum bases sunt ZH, EA, altitudines autem B.4, AI' [prop. XXII, XXIV; Eucl. I, 41], rectangulum autem comprehensum a diametro et (44 - AN) duplo maius est triangulis, quorum bases sunt ΘΚ, OX, alütudines autem 44, AN [Eucl. I, 41]; itaque trianguli, quorum bases sunt OK, OA, altitudines autem 4.4, 4N, aequales sunt irian- gulo minimo maximoque eorum, qui per axem ducti sunt. et datus triangulus est, qui in 6 K deseriptus est; ergo inuentus est triangulus per axem ductus, Serenus Antinoensis, ed. Heiberg. 16 10 15 20 25 242 ΠΕΡῚ KOGONOT TOMHZ. τοῦ ἄξονος τὸ ἐπὶ τῆς OR, ὃ μετὰ τοῦ δοϑέντος τοῦ ἐπὶ τῆς ΘΚ ἴσον ἐστὶ τῷ μεγίστῳ καὶ τῷ ἐλαχίστῳ. μη΄. Ἐὰν δύο τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων αἱ βάσεις ἴσας περιφερείας ἀπολαμβάνωσι πρὸς τῇ διὰ τῆς καϑέ του διαμέτρῳ, τὰ. τρίγωνα ἴσα ἀλλή- λοιρ ἔσται" καλεί- σϑω δὲ ὁμοταγῆ. ἔστω κῶνος. οὗ κορυφὴ μὲν τὸ 4, βάσις δὲ ὃ περὶ τὸ B κέντρον κύκλος, καὶ ἄξων ὁ 4 B, χκάϑετος δὲ ἐπὶ τὴν βάσιν ἡ AD, ἡ δὲ διὰ τοῦ [Γ᾽ σημείου τῆς καϑέτου διά- μετρος ἡ 4ΓΒΕ, διήχϑωσαν δὲ ai ZBH, 0 BK ἴσας περιφερείας ἀπολαμβάνουδαι πρὸς τῇ ΕΖ τὰς ΚΖ, ΖΗ. λέγω, ὅτι τὰ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνα, ὧν βάσεις εἰσὶν αἱ ΖΗ, ΘΚ, ἴσα ἀλλήλοις ἐστί. γεγράφϑω περὶ τὴν ΒΙΓ διάμετρον κύκλος ὁ BAIM, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ 414, AM: κάϑετοι ἄρα —— 1. τό] τρίγωνον τό p. 2. τῷ (pr.)] τῷ τε Halley. 16. vjv|om.p. 20. 4l'BE] ΓΑΒΕ p. 32. ZBH] p, BZH Vc. 25. εἰσὶν αἱ p, εἰσί Vc. DE SECTIONE CONI. 243 qui in O4 descriptus est, qui una cum dato triangulo in 6K descripto aequalis est, maximo minimoque. XLVIII. Si duorum triangulorum per axem ductorum bases ad diametrum per perpendicularem ductam aequales arcus abscindunt, trianguli inter se aequales erunt; uocentur autem correspondentes. sit conus, cu- ius uertex sit 4, basis autem cir- culus cireum B centrum de- scriptus, et axis AB, ad basim autem perpen- diculans AT, diametrus au- lem per punc- tum perpendi- cularis I" ducta A4DBES, pro- ducantur autem ZBH, 69 BK arcus aequales ad Ef abscindentes Καῖ, ΗΠ. dico, triangulos per axem ductos, quorum bases sint ZH, ΘΚ, inter se aequa- les esse. describatur circeum diametrum BI'circulus B.AT'M, dueanturque 4.4, 4M; itaque perpendieulares sunt 44 ad ZH, AM autem ad ΘΚ [prop. XLVI coroll.]. 1) Itaque figuram 1 solam respicit. p fig. 2 solam habet. 16* σι 10 15 20 244 ΠΕΡῚ KSNOT TOMHZ, εἰσὶν ἡ μὲν 4.4 ἐπὶ viv ZH, ἡ δὲ AM ἐπὶ τὴν ΘΑ͂. καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΜ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒ. ἴση ἐστίν, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΜΒ εὐθεῖα τῇ B4. ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ τῆς 4B ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν 4M, ΜΒ. ἀλλὰ καὶ τοῖς ἀπὸ 44, AB, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν 4Μ, ΜΒ ἄρα τοῖς ἀπὸ τῶν 44, AB ἴσα ἐστίν, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς MB τῷ ἀπὸ ΒΑ ἴσον ἐστί: λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ MA τῷ ἀπὸ 44 ἴδον dovív: ἴση ἄρα ἡ 44. τῇ AM. καί εἰσιν ὕψη τῶν τριγώνων, ὧν βάσεις εἰσὶν αἱ ZH, ΘΚ’ ἴσα ἄρα ἐστὶ τὰ ἐπὶ τῶν ZH, ΘΚ βάσεων τρίγωνα τὰ διὰ τοῦ ἄξονοςρ᾽ ὅπερ ἔδει δεῖξαι. , Τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων τὰ δμοταγῆ ἴσα τε καὶ ὅμοια ἀλλήλοις ἐστίν. ἔστω γὰρ ὡς ἐπὶ τῆς προκειμένης τὰ ΖΩ͂ Η, GAK τρίγωνα ὁμοταγῆ. λέγω, ὅτι ἴσα τε καὶ ὅμοιά ἐστιν ἀλλήλοις. ὅτι μὲν οὖν ἴσα ἐστίν, ἤδη δέδεικται" ὅτι δὲ ὅμοια, νῦν δεικτέον. ἐπεὶ γὰρ ἡ 41 ἐν ἑκατέρῳ τῶν τριγώνων ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν ἧκται τῆς βάσεως, καί ἐστιν ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς AB τοῖς ἀπὸ 4M, MB, ἀλλὰ καὶ τοῖς ἀπὸ 44, AB, καὶ τὰ ἀπὸ 4M, ΜΒ ἄρα ὅ. Post ἀπό (pr. add. -- m. rec. V. καὶ τά — 6. AB] p, bis V vc. 5. ἄρα] ἄρα ἴσα εἰσί p. 6. ἴσα ἐστίν]ὔ om. p. 1. ἀπό (pr)] supra scr. m. 1c. BA4j]p, B4 Vc. ἀπό (alt.)] sustulerunt uermes in c. 8. ἴση] e corr. c. ἄρα] ἄρα ἐστίν». ἡ 44] {Ὁ ἡ 4 ecorr. p. 10. ἐπί] vep; ἐ- add. m. rec. V, praecedunt — — m. rec. τὰ διά! Ῥ, οἴω. Vc. 11. ὅπερ ἔδει δεῖξαι) om. p. 16. ἔστω ydo] ἔστωσαν p. 7tQ0- κειμένης] προχειμένης καταγραφῆς p. 28. AB] A4Bc. καὶ τά — p. 246, 1. 4B] om. Vc, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν AM, MB τοῖς ἀπὸ τῶν A4, AB p. DE SECTIONE CONI. 245 et quoniam ( I'BM — ΓΒ. [|Eucl. III, 26], erit etiam M B — BA [Eucl. III, 7]. quoniam igitur AB? — AM* -ἰ MB'*, uerum etiam 4B? — 4.15 - AB? [Eucl. 1, 47], erunt eliam 4M? -- MB? — 445- 485, quorum MB? — B.A*; ilaque etiam reliquum. M A? — 4 4"; quare 4.4, — 4M. et alütudies sunt iriangulorum, quorum bases sunt ZH, 6 K; ergo trianguli in basi- bus ZH, OK per axem ducii aequales sunt [Eucl. VI, 1]; quod erat demonstrandum. ' XLIX. Triangulorum per axem ductorum correspondentes inter se et aequales et similes sunt. nam ut in figura proposita trianguli Z4 H, O.4K correspondentes sint. dico, eos inter se et aequales οὖ similes esse. iam eos aequales esse, antea demonstrauimus [prop. XLVIII|]; similes autem eos esse, nune demonstrandum. quoniam enim 4 B in utro- que triangulo a uertice ad punctum medium basis ducta est, et AB? — AM? -- ΜΒ", uerum etiam AB? — 4.4? -- 485, erunt etiam 4M* -L MB? — 4 4? .- AB?, quorum A4 M? — 4.4? [prop. XLVIII]; quare etiam reliquum MB?! — Bf! ei MB — B4; itaque etiam tota M9 — AZ. 10 1ὅ 20 246 ΠΕΡῚ KGNOT TOMHZ. τοῖς ἀπὸ 4.4, AB ἴσα, àv τὸ ἀπὸ ΑΜ τῷ ἀπὸ 44 ἴσον" λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ MB τῷ ἀπὸ ΒΑ καὶ ἡ MB εὐθεῖα τῇ BA: ὥστε καὶ ὅλη ἡ ΜΘ τῇ AZ. ἴση δὲ καὶ ἡ MA τῇ 4.4’ καὶ τὰ ἀπ’ αὐτῶν ἄρα ἴσα ἐστί, τουτέστι τὸ ἀπὸ AZ τῷ ἀπὸ 40, καὶ ἡ AZ τῇ 4Θ ἴση. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ 4 K vij AH δείκνυται ἴση. ἀλλὰ καὶ αἱ ΖΗ, ΘΚ βάσεις ἴσαι" τὰ ἄρα ZAH, 0AK τρίγωνα ἴσα τε καὶ ὅμοιά ἐστιν ἀλλήλοις. δῆλον δὲ καὶ τὸ ἀντίστροφον αὐτοῦ. [4 v. Ἐὰν κώνου σκαληνοῦ ὁ ἄξων ἴσος ἦ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως, ἔσται. ὧς τὸ μέγιστον τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων πρὸς τὸ ἐλάχιστον, οὕτως τὸ ἐλάχιστον πρὸς τὸ πρὸς ὀρϑὰς vij βάδει ἰσοσκελές. ἔστω κῶνος σκαληνός, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ 4, ἄξων 0b ἡ AB εὐθεῖα ἴση οὖσα τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως, βάσις δὲ ὁ περὶ τὸ B κέντρον κύκλος, καὶ τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων τὸ μὲν πρὸς ὀρϑὰς τῇ βάσει ἔστω τὸ Γ44,. τὸ δὲ ἰσοσκελὲς τὸ Ε.44Ζ᾽ μέγιστον μὲν ἄρα ἐστὶ τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τὸ Ε.42, ἐλάχιστον δὲ τὸ ΓΑΖ4, διὰ τὰ πρότερον δειχϑέντα. ἤχϑω οὖν ἀπὸ τοῦ 4 ἐπὶ τὴν βάσιν κάϑετος" πίπτει δὴ ἐπὶ τὴν ΓΖ4 διάμετρον. ἔστω οὖν ἡ AH, καὶ διήχϑω ἡ ΘΗΚ πρὸς ὀρϑὰς τῇ ΓΖ, καὶ διεκβεβλήσθω τὸ ἐπίπεδον 1. ἴσα] ἴσα ἐστίν p. ΑΜ] τῶν AM p. 2. [cov] ἶσον ἐστί p. BA] ΒΛ ἴσον ἐστί p. 1. ἴσαι] loot εἰσί p. — 8. τοί- γωνα) vep, -« corr. ex o in scrib. V. ὅμοια] vcp, ó- euan. V. 9. αὐτοῦ] c, comp. Vv, om. p. 19. EAZ] AEZ p. 20. μέν] vep, comp. supra scr. m. 1 V. 21. πρότερον δειχϑέντα) προδειχϑέντα p. 29. δή] δέ p. 23. l'4] vcp, I'suppl. m. rec. V. ἡ (alt)] vep, suppl. m. ree. V. ΘΗΧῚ H supre scr. m. 1 c. 24. ΓΖ] cp, corr. ex ΓΗΔ V, PHA v. DE SECTIONE CONI. 241 uerum etiam M 4 — 4 4; quare etiam quadrata earum aequalia, hoc est [Eucl.I,47] 4Z? — 4 Θ᾽ et 4Z — 40. similiter autem demonstratur, esse eliam 44K — AH. est autem etiam basis ZH — ΘΚ; ergo liranguli ZAH, 04K et aequales et similes sunt inter se [Eucl. I, 8; I, 4]. manifesta autem etiam proposilio conuersa. L. Si coni scaleni axis radio basis aequalis est, erit, ut maximus iriangulornum per axem ductorum ad minimum, ita minimus ad iriaigulum aequicrurium ad basim perpendicularem. sib conus scalenus, cu- jus uerlex sib 44, axis au- tem recta 4B radio basis aequalis, basis autem cir- culus circum B centrum descriptus, et iriangulo- rum per axem ductorum ad basim perpendicularis sii I'421, aequicrurius autem E42; maximus igitur triangulorum per axem ductorum est E 4Z, minimus autem [΄44, propter ea, quae antea demonstrauimus [prop. XXIV |]. ducatur igitur ab .4 ad basim perpendicularis; cadit igitur in diametrum ΓΖ [Eucl XI def. 4] sit igitur AH, ducaturque 6 H K ad I'41 perpendicularis, et pro- 1 1 2 e 0 e e 248 ΠΕΡῚ KQNOT TOMBHZ. ποιοῦν τὸ ΘΑ͂Κ τρίγωνον ἰσοσκελὲς ὃν καὶ ὀρϑὸν πρὸς τὴν βάσιν. λέγω δή, ὅτι, ὡς τὸ EAZ μέγιστον τῶν διὰ τοῦ ἄξονος πρὸς τὸ ΓΑ͂Ζ ἐλάχιστον τῶν διὰ τοῦ ἄξονος, οὕτω τὸ ΓΑ͂Ζ πρὸς τὸ ΘΑ͂Κ ἰσοσκελές. ἐπεὶ γὰρ τῶν EAZ, ΓΑ 2 τριγώνων αἴ μὲν βάσεις ἴσαι εἰσὶν αἱ I4, ΕΖ διάμετροι, ὕψος δὲ τοῦ μὲν EAZ ἡ ΒΑ4. τοῦ δὲ ΓΑΖ ἡ AH, ὡς ἄρα ἡ B4 πρὸς 4H, οὕτως τὸ EAZ τρίγωνον πρὸς τὸ ΓΑ͂Ζ. πάλιν ἐπεὶ τῶν ΓΑΖ4 καὶ OAK τριγώνων κοινὸν ὕψος ἐστὶν ἡ AH, βάσις δὲ τοῦ uiv ΓΑ4Ζ ἡ L4, τουτέστιν ἡ EZ, τοῦ δὲ ΘΑ͂Κ ἡ ΘΚ, ὡς ἄρα ἡ ΕΖ πρὸς OK, οὕτως τὸ DI'44 τρίγωνον πρὸς τὸ OAK. ἀλλ᾽ ὡς ἡ ΕΖ πρὸς ΘΚ, οὕτως αἱ ἡμίδειαι, τουτέστιν ἡ ΒΚ πρὸς ΚΗ, ὡς δὲ ἡ ΒΚ πρὸς KH, οὕτως 1 ΒΑ πρὸς 4Η' ὅμοια γὰρ τὰ BHK, BH A τρίγωνα ὀρϑογώνια" καὶ τὸ ἄρα ΓΑ͂Ζ τρίγωνον πρὸς OAK ἐστιν, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς 4Η. ἦν δὲ καὶ τὸ EAZ, πρὸς IA4, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς 4H* ὡς ἄρα τὸ EAZ τρίγωνον πρὸς τὸ Γ44,, οὕτως τὸ ΓΑ4 πρὸς τὸ ΘΑ͂ K* ὅπερ ἔδει δεῖξαι. , ve. Πάλιν ἔστω, ὡς τὸ EAZ πρὸς τὸ I'424, οὕτως τὸ I'44 πρὸς ΘΑ͂Κ. λέγω. ὅτι ἡ B.A ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως. 8. πρὸς τό --- 4. ἄξονος] om. c. 4. ἰσοσκελές] ἰσοσκελοῦς c. ὅ. τῶν] τό c. ΓΑΔ“ vep, 4 e corr. m. 1 V. 7. τοῦ] vep, -o$ e corr. m. 1 10. TAa] p, corr. ex l'AHÁ m. 1 V, I'4 c, 'AH4 v. 11. vob δέ] corr. ex “πρός τη. 1 C. ΘΑ ΚΊ corr. ex ΘΗΚ m. 1 c. ὡς ἄρα] ἔστιν ἄρα ὡς P- ΕΖ (alt) | Ζ e corr. p. 12. οὕτως --- 18. 6 K] bis V. 18. EZ πρὸς Ὁ ΚΊ sustulit lacuna in c. ἥἡμίσειαι] ἡμίσειαι πρὸς DE SECTIONE CONI. 249 ducatur planum triangulum 9.4 Καὶ efficiens aequierurium et ad basim perpendicularem [prop. XXII; Eucl XI, 18] dico, esse, ut. E-4Z maximus eorum, qui per axem ducti sint, ad I'47/ minimum eorum, qui per axem ducti sint, ita ΓΑ͂Ζ ad 0 4K aequicrurium. quoniam enim irianguloum EZ, I'471 bases aequales sunt ΓΖ, EZ diametri, altitudo autem EA4Z irangul B.4 [prop. XXII] ΓΑ 4 autem trianguli AH, erit B4: 4H — EAZ:I'AA [cfr. Eucl. VI, 1]. rursus quoniam iriangulorum 1'471, 0 4 K communis altitudo est 4H, basis autem I'44/ trianguh ΓΖ siue EZ, 94K autem trianguh 6 K, erit EZ:0K-—044:04kK [Eucl. VI, 1]. est autem EZ: OK — 3 EZ: 10K — BK: KH; οἱ BK: ΚΗ -- B4: AH [Eucl. VI, 4]; nam trianguli rectangui BHK, BH. similes sunt [Eucl. VI, 1]; quare eliam 1'441: 94K — ΒΑ: AH. erat autem eliam EAZ: I'44 — BA: AH; ergo EAZ:DIAA—DI44:04K; quod erat demonstrandum. LI. Rursus st EAZ: DL'44 — UL44:04K. dico, B.4 radio basis aequalem esse. ἀλλήλας p. τουτέστιν — 14. σιρός (pr.)| sustulit lacuna in c. 14. πρὸς KH οὕτως] item. 1ὅ. ΒΗ ΚΊ e corr. p, mg. fi». 16. ἄρα DI'44] 44 ἄρα p. πρός] ἐστι πρὸς τόν. 17. ἐστιν] om. p. 18. ΓΑ“) τὸ ΓΑΙ p. — àg ἡ — 19. l'Ad] om. c. 18. AH] τὴν AH p. 19. ὕπερ ἔδει δεῖξαι] om. p. 21. να" om. Vc, u9' ἀντίστροφον mg. p. — 22. οὕτως] sic p. 28. G AK] τὸ GAK p. d 10 15 2 2 0 σι 250 ΠΕΡῚ K9NOT ΤΟΜΗΣ. ἐπεί, ὡς τὸ EAZ πρὸς τὸ I'44, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ, ὡς δὲ τὸ EAZ πρὸς ΓΑΖ, οὕτως τὺ Γ44 πρὸς O 4 K, καὶ τὸ ἄρα ΓΑ πρὸς ΘΑ͂ Κὶ ἐότιν, ὡς ἡ B. πρὸς AH. ὡς δὲ τὸ ΓΑΖ πρὸς OAK, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΘΚ, τουτέστιν ἡ ΒΚ πρὸς ΚΗ' καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς 4H, οὕτως ἡ BK πρὸς KH, καί ἐστιν ὅμοια τὰ ΒΑΗ͂, BKH τρίγωνα καὶ ὁμόλογοι αἱ 4B, BK. ἴση ἄρα ἡ 4B τῇ BK ἐκ τοῦ κέντρου" ὃ προέχειτο δεῖξαι. Καὶ συναπεδείχϑη xo0' ἑκατέραν τῶν δείξεων, ὅτι τὸ EAZ τρίγωνον τῷ 04K ὅμοιόν ἐστιν ὡς γὰρ ἡ ΕΖ πρὸς ΘΚ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς AH. καὶ ἔτι τὸ μὲν EAZ πρὺς τὸ ΘΑ͂Κ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΓΑΖ πρὸς τὸ ΘΑ͂Κ. καί ἐστι τὸ ΓΑ͂ Ζ τρίγωνον πρὸς τὸ ΘΑ͂Κ, ὡς ἡ I, τουτέστιν ὡς ἡ EZ, πρὸς ΘΚ' ὥστε τὸ EAZ πρὸς τὸ O.4K διπλασίονα λόγον ἔχει τῶν ὁμολόγων πλευρῶν τῶν ΕΖ, ΘΚ. ὅμοια ἄρα và EA4Z, 0O.A4K. ὥστε φανερόν, ὅτι, ἐὰν κώνου σκαληνοῦ ὃ ἄξων ἴσος T τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως, τὸ πρὸς ὀρϑὰς τῇ βάσει ἰδοσκελὲς ὅμοιόν ἐστι τῷ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελεῖ᾽ καὶ ἀντιστρόφως, ὅτι, ἐὰν τὸ πρὸς ὀρϑὰς τῇ βάσει ἰσοσκελὲς ὅμοιον [| τῷ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελεῖ, ὃ ἄξων τοῦ κώνου ἴδος ἔσται τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως" καὶ τοῦτο γὰρ εὐχατανόητον ἐκ τῶν ἤδη δειχϑέντων. 1. ἐπεί] ἐπεὶ γάρ p. 2. πρός (410.)] πρὸς vó p. 8. 64K (utrumque)] τὸ OAK p. ἄρα DI'44] ΓΑΔ ἄρα p. 4. l'Ad] ecorr. p Θ44] v, τὸ 4K p, 44Κ c; Θ corr. ex ΖΔ m. 1 V, Καὶ euan.,, mg. T 94K — m. rec. 8. ἐκ] τῇ ἐκ p. 9. ὃ προέκειτο δεῖξαι] om. p. 10. ἑκατέραν] c?, ἑτέραν Vp. 11. τρίγωνον — 12. EZ| bis c. 12. ἔτι) ὅτι Vvoep, corr. Halley. 18. μέν] fort. delendum. — EAZ] vcp, . DE SECTIONE CONI. 251 A4Z:UAA4-—BA:AH [cfr. Eucl. VI,1], 4 — 044:04kK, ent etiam U4241:0A4K — BA:AH. — EZ: ΘΚ [Eucl. VI, 1| — BK: KH; 4:4 H -— BK: KH, et trianguli B.4 H, sunt et correspondentia latera 4B, BK ergo 4B radio ΒΚ aequalis est!); »positum. per utramque demonstrationem [propp. stratum est, irangulos EAZ, 0AK nam EZ:O0K-B4:. 4H. praeterea 9| E4AZ: OAK — '42*:0A4K?. est :04K — I4H:0K — EZ: ΘΚ: quare " duplicatam rationem habet, quam latera üa ΕΖ: ΘΚ. ergo irianguhi EA4Z, 04K [Eucl VI, 19]. itaque manifestum est, si axis radio basis aequalis sit, triangulum ι ad basim perpendicularem similem esse per axem ducto; et conuertendo, si trian- erurius ad basim perpendicularis similis rio per axem ducto, axem coni radio basis ore; nam hoc quoque ex iis, quae iam mus, facile intellegitur. latus correspondens B H commune est. H in scrib. V. 15. ὡς (alt.)|] om. p. 16. »-- 19. ἴσος 9 om. Vep, eorr. Halley. 20. βάσεως 23. ἶσος Éc-] sustulit lacuna in c, ut alia Q 10 1 CQ 20 26 250 ΠΕΡῚ K9NOT TOMHZ. ἐπεί, ὧς τὸ EAZ πρὸς τὸ Γ44, οὕτως ἡ BA πρὸς ΑΗ, ὡς δὲ τὸ EAZ πρὺς ΓΑ4,, οὕτως t0 I'44 πρὸς 0 4K, καὶ τὸ ἄρα ΓΑ4 πρὸς ΘΑ͂Κ ἔστιν, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς AH. ὡς δὲ τὸ ΓΑ4 πρὸς OAK, οὕτως ἣ ΕΖ πρὸς ΘΚ, τουτέστιν ἡ ΒΚ πρὸς ΚΗ' καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς 4Η, οὕτως ἡ ΒΚ πρὸς KH, καί ἐστιν ὅμοια τὰ ΒΑΗ͂, BKH τρίγωνα καὶ ὁμόλογοι αἱ AB, BK. ἴση ἄρα ἡ AB τῇ BK ἐκ τοῦ κέντρου" ὃ προέκειτο δεῖξαι. Καὶ συναπεδείχϑη xo0' ἑκατέραν τῶν δείξεων, ὅτι τὸ EAZ τρίγωνον τῷ 0.4 K ὅμοιόν ἐστιν ὡς γὰρ ἡ ΕΖ πρὸς ΘΚ, οὕτως ἡ B4 πρὸς AH. καὶ ἔτι τὸ μὲν EAZ πρὸς τὸ OAK διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ ΓΑΖ4 πρὸς τὸ ΘΑ͂Κ. καί ἐστι τὸ I421 τρίγωνον πρὸς τὸ ΘΑ͂Κ, ὡς ἡ ΓΖ, τουτέστιν ὡς ἡ EZ, πρὸς OK: ὥστε τὸ EAZ πρὸς τὸ OAK διπλασίονα λόγον ἔχει τῶν ὁμολόγων πλευρῶν τῶν EZ, ΘΚ. ὅμοια ἄρα τὰ EAZ, OAK. ὥστε φανερόν, ὅτι, ἐὰν κώνου δκαληνοῦ ὃ ἄξων ἴσος T τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως, τὸ πρὸς ὀρϑὰς τῇ βάσει ἰσοσκελὲς ὅμοιόν ἐστι τῷ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκελεῖ᾽ καὶ ἀντιστρόφως; ὅτι, ἐὰν τὸ πρὸς ὀρϑὰς τῇ βάσει ἰσοσκελὲς ὅμοιον ἦ τῷ διὰ τοῦ ἄξονος ἰσοσκχελεῖ, ὃ ἄξων τοῦ κώνου ἴσος ἔσται τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως" καὶ τοῦτο γὰρ εὐκατανόητον éx τῶν ἤδη δειχϑέντων. 1. ἐπεί ἐπεὶ γάρ p. 2. πρός (alt.)] πρὸς τό p. δ. ΘΑ Καὶ (utrumque)] τὸ OAK p. ἄρα ΓΑ4] D44 ἄρα p. 4. l'Ad] ecorr. p. OAK] v, τὸ OAK p, 44Κ c; Θ cor. ex 4 m. 1V, K euan,, mg. T OAK — m. rec. 8. ἐκ] τῇ ἐκ p. 9. ὃ προέκειτο δεῖξαι) om. p. 10. ἑκατέρα» ] οἷ, ἑτέραν Vp. 11. τρίγωνον — 12. EZ] bis c. 12. ἔτι] ὅτι Vvep, corr. Halley. 18. μέν] fort. delendum. — EAZ] vcp. . DE SECTIONE CONI. 251 quoniam E42:I'44- BA4:4H [cfr. Eucl. VI, 1], et EA4Z:I44-—0l44:04kK, ent etiam I44:0A4K — BA:AH. uerum I'44:0AK — EZ: ΘΚ [πο]. VI, 1] — ΒΚ: ΚΗ, quare etiam B.4:4H — BK: KH, et trianguli B.AH, Β ΚΗ similes sunt et correspondentia latera 4B, BK [Eucl VI, 4]. ergo 4B radio .BK aequalis est!); quod erat propositum. | Et simul per utramque demonstrationem [propp. L-—LI| demonstratum est, triangulos EA4Z, 04K similes esse; nam EZ: ΘΚ — ΒΑ: AH. praeterea [Eucl V def. 9] EA4Z: OAK — I'42/5:0 4K*. est autem 1'442:04K — I4:0K —EZ:O09K; quare EA42:04K duplicatam rationem habet, quam latera correspondentia EZ: ΘΚ. ergo trianguli EA4Z, 04K similes sunt [Eucl. VI, 19]. itaque manifestum est, si coni scaleni axis radio basis aequalis sit, triangulum aequicrurium ad basim perpendicularem similem esse aequicrurio per axem ducto; et conuertendo, si trian- gulus aequicrurius ad basim perpendicularis similis | sit aequicrurio per axem ducto, axem coni radio basis aequalem fore; nam hoc quoque ex iis, quae iam demonstrauimus, facile intellegitur. 1) Nam latus correspondens B H commune est. corr. ex EAH in scrib. V. 16. ὡς (alt.)] om. p. 16. rac] 6 e corr. p. 19. ἴσος] om. Vep, corr. Halley. — 20. βάσεως βάσεως ἴσος p. 28. ἶσος ἔσ-Ἴ sustulit lacuna in c, ut alia plura in seq. | 252 ΠΕΡῚ K9NOT TOMHZ. eo 10 Q 1 20 vp. Ἐὰν κύχλος κύκλον τέμνῃ διὰ τοῦ κέντρου αὐτοῦ γραφόμενος, ἀπὸ δὲ τῆς ἑτέρας αὐτῶν τομῆς διαχϑῶσιν εὐθεῖαι τέμνουσαι τὴν διὰ τοῦ κέντρου περιφέρειαν καὶ προδεκβληϑῶσιν ἐπὶ τὴν τοῦ ἑτέρου κύκλου περι- φέρειαν, ἡ ἀπολαμβανομένη εὐθεῖα μεταξὺ τῆς τοῦ ἑτέρου κύκλου κυρτῆς περιφερείας καὶ τῆς κοίλης τοῦ ἑτέρου ἴση ἔσται τῇ ἀπὸ τῆς κοινῆς τομῆς τῆς διαχ- ϑείσης εὐθείας καὶ τῆς διὰ τοῦ κέντρου περιφερείας ἐπὶ τὴν ἑτέραν κοινὴν τομὴν τῶν κύκλων ἐπιξευγνυμένῃ. ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ 4, διὰ δὲ τοῦ 2 κέντρου γεγράφϑω τις κύχλος ὁ ΖΒΓ τέμνων τὸν ἐξ ἀρχῆς κατὰ τὰ B, Γ σημεῖα. καὶ διήχϑωσαν εὐθεῖαι διὰ μὲν τοῦ 4 ἡ BAE, τυχοῦσα δὲ ἡ BZH, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ 4I, ZI. λέγω. ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΕΖ τῇ AI, ἡ δὲ ZH τῇ ZI. ἐπεξεύχϑωσαν αἱ EI, DH. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ BAI γωνία τῇ ὑπὸ ΒΖΓ, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΖΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΗΖΓ ἴση ἐστίν. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ AED τῇ ὑπὸ ΖΗΓ ἴση διὰ τὸ ἐπὶ τῆς αὐτῆς περι- . φερείας βεβηκέναι" καὶ Tj λοιπὴ ἄρα τῇ λοιπῇ ἴση, καὶ ὅμοια τὰ τρίγωνα" ἰσοσκελὲς ἄρα καὶ τὸ ΓΖΗ. ἴση ἄρα ἡ μὲν EZ τῇ 4Γ, ἡ δὲ ΗΖ τῇ ΖΓ. ὁμοίως δέ, κἂν ἄλλαι διαχϑῶσι. δειχϑήσεται τὰ τῆς προτάσεως. 1͵ »βἽ om. Ve, μϑ' m. rec. V, ν΄ p. 2. ἐάν] inc. paginae ultimae col.1 in ὁ manu priore. ὄὅ. κύκλου] vcp, -ov euan. V. 12. 2BI] p 4BI'Vvc,corrm.2 V. 14. BZH] BHZ c. 16. Post ἐπεξεύχϑωσαν add. -- m. rec. V. 16. ZH] HZ p. 19. HZI'| V, Hecorr. p, corr ex ΖΗΓ m. 1c. ἡ] sv pra scr. m. 1 c. — 20. ἴση] ion ἐστί p. d sustulerunt uermes in c. 21. [on] ἴση ἐστί p. — 29. Post τρίγωνα add. ἰσοσκελὲς δὲ τὸ DAE Halley cum Comm. Mg. ὁ γὰρ EAT' ἰσοσκελές, αἱ δὲ ΕΔ καὶ 4Γ' ἴσαι ἐκ τοῦ κέντρου οὖσαι τοῦ (A4»BI DE SECTIONE CONI. 253 LII. Si circulus cireulum secat per centrum eius de- scriptus, et ab altera eorum sectione rectae ducuntur arcum per centrum ductum secantes producunturque ad ambitum alterius circul, recta abscisa inter ambi- tum conuexum alterius circuli concauumque alterius aequalis erit rectae a communi sectione rectae pro- ductae ambitusque per centrum ducti ad alteram sectionem communem circulorum ductae. sit eireulus 4BI' circum centrum 7/1 descriptus, et per 4 cenirum describatur cir- culus aliquis ΖΒΓ circulum B C— ν 7 ab initio positum in punctis B, I' secans, producanturque V rectae per 7/ punctum B.Z E, T alià autem quaelibet BZH, et ducantur ΖΓ, ΖΓ. dico, esse Ez -Ζ 4Γ, ΖΗ -Ξ-2ΓΓ. ducantur EI', ΓΗ. quoniam igitur [Eucl. III, 21] L ΒΖ4Γ — ΒΖΓ, etiam reliquus EZT' — ΗΖΓ [Eucl. I, 13]. uerum etiam /, ZEI'— ΖΗΓ [Eucl. III, 27], quia in eodem arcu consistunt; quare etiam reliquus angulus reliquo aequalis [Eucl I, 32], et triangul similes sunt; quare etiam I'ZH aequicrurius est [Eucl VI, 4] ergo EZ — 4I; HZ — ΖΓ. et eodem modo demonstrabuntur proposita etiam, si aliae pro- ductae erunt rectae. κύκλου (τοῦ 4d) σημείου m. 2 V ex parte euan.; ,M haec quae sunt in margine non habentur in apographo" add. m. rec. καί] euan. c. 254 ΠΕΡῚ K9NOT TOMBHZ. Πάλιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ὑποκείσθω τῇ μὲν I ἴση ἡ 4Ε. τῇ δὲ ΓΖ ἡ ΖΗ τῆς Β4ΓΓπερι- φερείας κατὰ τὸ 4 δίχα τετμημένης. λέγω, ὅτι ὁ κέντρῳ μὲν τῷ 4, διαστήματε δὲ ὁποτερῳοῦν τῶν 5 48. 4Γ γραφόμενος κύκλος ἥξει καὶ διὰ τῶν E καὶ Η σημείων. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΖ4Γ᾽ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖΓ, καί ἐστιν ἰσοσκελῆ τὰ ΕΖ, ΗΖΓ τρίγωνα, ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ BEI' γωνία τῇ ὑπὸ BHI* ἐν τῷ αὐτῷ 10 ἄρα κύκλῳ αἱ ὑπὸ BEI, ΒΗΓ γωνίαι. ὃ ἄρα κέντρῳ τῷ 4, διαστήματι δὲ τῷ 4B γραφόμενος κύκλος ἥξει καὶ διὰ τῶν E, H σημείων ὅπερ ἔδει δεῖξαι. νγ΄. Ἐὰν ἐν τμήματι κύκλου κλασϑῶσιν εὐϑεῖαι, μεγίστη 15 μὲν ἔσται ἡ πρὸς τὴν διχοτομίαν τὴν κλάσιν ἔχουσα, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς πρὸς τῇ διχοτομίᾳ τῆς ἀπώτερόν ἐστι μείξων. ἐν γὰρ τῷ ABI' τμήματι κεκλάσϑωσαν εὐϑεῖαι, ἡ μὲν ABI' ὥστε τὴν ABI' περιφέρειαν δίχα τετμῆ- 20 σϑαι κατὰ τὸ B, τυχοῦσαι δὲ αἱ 44Γ, AHI. λέγω, ὅτε συναμφότερος ἡ 4 BI' εὐθεῖα μεγίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἐν τῷ τμήματι κλωμένων εὐθειῶν, μείξων δὲ ἡ AAT τῆς Δ4ΗΓ.- ἐπεὶ ἡ AB περιφέρεια τῇ BI' περιφερείᾳ i69 26 ἐστί, καὶ ἡ 48 ἄρα εὐϑεῖα τῇ ΒΓ ἐστιν ἴση. κέντρῳ Cx 3. 6] p, à Vvc, ,M t puto ὁ κέντρῳ sic infra in repe- litione" mg. m. rec. V. pes vep, -év euan. V, « μὲν mg. m. rec. τῶν] cp, à τῷ V. T. ἴση) ἴση ἐστίν p. ΗΖΓῚ H ecorr.p. 12. beg ἔδει δεῖξαι) om. p. 18. vy om. Vc, να΄ p. 14. ἐν] om. vc. 15. ἡ corr. ex αἱ p. DE SECTIONE CONI. 255 Hursus in eadem figura supponatur ZE — ΓΖ, I'Z-ZH arcu ΒΩ͂Γ in Z in duas partes aequales secto. dico, circulum centro 21, radio autem alterutra [Eucl. III, 29] rectarum 244B, ΖΓ descriptum etiam per puncta E, H uenire. quoniam enim / EZI'— ΗΖΓ [Eucl III, 21; L, 13], et trianguli EZI', HZI' aequicrurii sunt, erit etiam [Eucl. 1, 32; 1, 5] | BEI'— ΒΗΓ; itaque an- guli BEI, ΒΗΓ in eodem circulo sunt [Eucl. III, 21]. ergo circulus centro 7/, radio autem ^B descriptus eliam per puncta E, H ueniet; quod erat demon- strandum. LIII. ΟἹ in segmento circuli rectae franguntur, maxima erii, quae ad punctum medium fractionem habet, celerarum autem semper propior ei, quae ad punctum medium est, remotiore maior est. nam in segmento A4BI'frangantur rectae, ABI ita, ut. areus ΑΒΓ in B in duas partes aequales secetur, aliae autem quaelibet 421, A4HI: dico, 48 -ἰ BI' rectàm maximam esse omnium rectarum, quae in segmento frangantur, et 42 - AD AH 4- HI: quoniam arcus 4B — ΒΓ, ent etiam recta 48 — BI'[Eucl III, 29] centro igitur B, radio 17. ἀπώτερον] p, ἀπότερον Vc. 21. εὐθεῖα) om. p. πα- σῶν] des. c uocabulis nonnullis lacuna absumptis (etiam in proxime praecedentibus lacunae complures). 94. ἐπεί] ἐπεὶ γάρΡ. | BI']p, AT' V. 26. ἐστί] vp; euan. V, rep. mg. m. rec. ἔστιν [s lom ἐστί p. ἴση) v, corr. ex ἤση m. 1 V. xévtQo] vp, -roo lacuna absumptum V. b 1 e 15 20 256 ΠΕΡῚ KONOT TOMHZ, οὖν τῷ B, διαστήματι δὲ ὁποτερῳοῦν τῶν ΒΑ, ΒΓ γεγράφϑω κύκλος 6 AEZI, καὶ ἐκβεβλήσϑωσαν αἵ ABE, 442, AH: ἴδη ἄρα διὰ τὸ πρὸ τούτου ϑεώρημα ἡ μὲν EB τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ZZ τῇ AT, ἡ δὲ ΘΗ τῇ ΗΓ. ἐπεὶ οὖν ἡ AE διάμετρός ἐότι τοῦ 4ΕΖ κύχλου, μεγίστη μὲν ἄρα τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐϑειῶν ἡ AE, ἡ δὲ AZ μείξων τῆς 41. ἀλλὰ τῇ μὲν AE ἴση συναμφότερος ἡ ABI, τῇ δὲ AZ ἡ 447, τῇ δὲ 40 ἡ AHI* καὶ τούτων ἄρα μεγίστη μὲν ἡ ABI, μείξων δὲ ἡ 421 τῆς ΑΗΓ. καὶ ὁμοίως ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς πρὸς τῇ διχοτομίᾳ τῆς ἀπώτερόν ἐστι μείξων" ὃ προέχειτο δεῖξαι. "Ἄλλως τὸ αὐτό. Ἔστω κύκλος ὃ ABI, καὶ ἐν τῷ ABI τμήματι κεκλάσϑω ἡ 4ΒΓ εὐϑεῖα, ὥστε τὴν ABI περιφέρειαν δίχα τετμῆσϑαι κατὰ τὸ B. λέγω, ὅτι συναμφότερος ἡ ABI εὐθεῖα μεγίστη ἐστὶ πασῶν τῶν ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι κλωμένων εὐϑειῶν. κεκλάσϑω γὰρ ἡ 441Γ, καὶ ἐκβεβλήσϑω ἡ ALLE, καὶ xtíG0c ἡ 4Ε τῇ 4Γ ἴση. καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἵ B4, BE. ἐπεὶ οὖν ἡ AB περιφέρεια τῇ ΒΓ περι- φερείᾳ ἴση ἐστί, καὶ ἐπὶ μὲν τῆς AB ἡ ὑπὸ B44 γωνία βέβηκεν, ἐπὶ δὲ τῆς ΒΓ ἡ ὑπὸ Β.4, ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ Β4.4 τῇ ὑπὸ BAI. κοινὴ προσκείσϑω ἡ ὑπὸ 1. B4] p, lacuna absumptum V, mg. , T ΒΑ͂ amplus in apographo" m. rec. — BI'] corr. ex BA m. rec. v. 8. ἄρα] ἄρα ἐστί p. 4. εώφηκα om. p. 7. 49] p, corr. ex 4H m. 2 V, AH v. 11. ἀπώτερον) p, ἀπότερον V. ὃ προέκειτο δεῖξαι] om. p. 18. ἄλλως τὸ αὐτό] p, V mg. m. 2, om. v. 17. ABI'] vp, B e corr. m. 1 V. 19. κεκλάσϑω] vp, -«o- euan. V, ,t ἄσθω“ mg. m. rec. γάρ — 30. κέείσϑω] vp, ex DE SECTIONE CONI. 251 aulem alterutra rectarum B.4, BI' circulus describa- iur 4EZI, producanturque 4BE, 4212, AHO; ita- que propter propositionem praecedentem [prop. LII] erit EB — BI, Z4 -— AI, OH — HI: quoniam igitur A E diametrus est circuli AEZ, maxima rectarum in circulo ductarum est AE et AZ 7 490 [Eucl. III, 15]. est autem 48 -- BI'— AE, AA 4 - AT — AZ, AH -4- HI'— 40; ergo harum quoque maxima est AB -- BI,et 44--A4DIA4H--HI. et eodem modo semper propior ei, quae ad punctum medium est, remotiore maior est; quod erat propositum. Alter idem. Sit cireulus 4BI, et in segmento A4BI' frangatur rectía 4BI'ita, ut arcus ΑΒΓ in B in duas partes aequales secetur. dico, rectam 4B -]- BI' maximam esse omnium, quae in eodem segmento frangantur, rectarum. frangatur enim 47, producaturque 441Ε, et ponatur 4 E — ΖΓ, ducanturque B1, BE. quoniam igitur arcus 4B arcuji BI' aequalis est, et in AB [ BzZ4 consist, in BI' autem /|, BAT, erit [Eucl. IIT, 27] ἐ ΒΑ — ΒΑ͂Γ. communis adiiciatur parte euan. V (legi possunt yàg 7 ..... εβλήσϑω ἡ ..... σϑω, hoc del. m. rec.), rep. mg. m. rec. Serenus Antinoensis, ed. Heiberg. 17 1 e 15 20 258 ΠΕΡῚ KS9NOT TOMBE. B4 E: συναμφοτέρος ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΖ E, BZl δυναμφοτέρῳ τῇ ὑπὸ BA E, Β4Γ ἐστιν ἴση. καί ἐστι συναμφότερος ἡ ὑπὸ BAE, Β4.4 δυσὶν ὀρϑαῖς ἴση" καὶ συναμ- φότερος ἄρα ἡ ὑπὸ BA E, BAT' δυσὶν ὀρϑαῖς ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ καὶ συναμφότερος ἡ ὑπὸ BAI, BAT δυσὶν ὀρϑαῖς loq συναμφότερος ἄρα ἡ ὑπὸ Β4Ε, ΒΑΓ συναμφοτέρῳ τῇ ὑπὸ BAI, BAI ἴση ἐστί. κοινῆς ἀρϑείσης τῆς ὑπὸ B.4I' λοιπὴ ἡ ὑπὸ ΒΖ Ε τῇ ὑπὸ BAT ἴση ἐστίν. ἐπεὶ οὖν ἴση μὲν ἡ I'A τῇ AE, κοινὴ δὲ ἡ B, καὶ περὶ ἴσας γωνίας, καὶ βάσις ἄρα ἡ ΓΒ τῇ ΒΕ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ αἴ 48. BE εὐϑεῖαι μείξονές εἰσι τῆς 4Ε, ἀλλὰ ταῖς μὲν AB, BE συναμ- φότερος ἡ 4ΒΓ ἴση ἐστί, τῇ δὲ AE συναμφότερος ἡ AAT ἴση ἐστί, καὶ συναμφότερος ἄρα ἡ ABI' τῆς AAT μείξων ἐστίν. ὁμοίως δὲ δείκνυται καὶ τῶν ἄλλων μείζων. συναμφότερος ἄρα ἡ A44BI' πασῶν τῶν ἐν τῷ τμήματι κλωμένων μεγίστη ἐστίν. ᾿Δλλὰ δὴ ἔστω ἡ διχοτομία πρὸς τῷ Z. λέγω, ὅτι ἡ τοῦ Z ἔγγιον ἡ ABI εὐϑεῖα τῆς ἀπώτερον τῆς AAT μείξων ἐστίν. ἐπεὶ γὰρ ἡ 4728 περιφέρεια τῆς BAI' περι- φερείας μείξων ἐστί, καὶ ἡ ὑπὸ Ba 44 ἄρα γωνία τῆς ὑπὸ Β4Γ μείξων. κοινῆς προστεϑείδσης τῆς ὑπὸ BAE αἱ ἄρα ὑπὸ BA E, Β44 μείξονές εἰσι τῶν ὑπὸ Β4Ε, 4. BAT'] p, corr. ex 24Γ m. 2 V, 44Γ v. ἐστιν lon] ἴση ἐστίν p. 5. ὑπό] vp, bis V. 8. κοινῆς] καὶ κοινῆς p. ἀρϑείσης] Vp, fort. ἄρα ἀρϑείσης; ἄρα ἀφαιρεϑείσης Halley. 11... ἐστιν lon] ἴση ἐστί p. 14. ἴση ἐστί] om.p. | ABI] vp, corr. ex A441 τὰ. 1 V. 19. εὐθεῖα] om. p. ἀπώτερον] p, ἀπότερον V. 21. ἐπεί] vp, renouat. m. rec. V. 22. B44) corr ex Β4Ὲ m. 2 V, BAE v; BI'Ap, I'ecorr. — yowla] om.p. 28. ueifov] μείξων ἐστίν" ἴση δὲ ἡ ὑπὸ BI'A τῇ ὑπὸ DE SECTIONE CONI. 259 L BAE; itaque BAE 4- Bzzá — BAE -- BAT. et B 4 E -- B4 4 duobus rectis aequales sunt [ Eucl. I, 13]; itaque etiam B.Z E -ἰ- B AT' duobus rectis aequales sunt. uerum etiam ΒΖ Γ- BAT' duobus rectis aequales sunt [ Eucl. IIL,22]; quare ΒΕ -- BAI — BAT -- BAT. ablato igitur, qui communis est, angulo ΒΑΓ erit reliquus BZ4E — ΒΖΓ. quoniam igitur ΓΖ — 4E, p communis autem B 4, et angulos aequales comprehendunt, erit eliam basis I'B — BE [Eucl.T,4]. et quoniam [| Eucl. I, 20] AB -- BE ^ AE, et AB -- BU—4B-- BE, AA 4- AT — AE, erunt eham 4B - ΒΓ» 424-- 41: simihter autem demonstrabimus, eas ceteris quoque maiores esse. ergo A B -- BI' omnium, quae in segmento franguntur, rectarum maxima est. lam uero punctum medium sit Z. dico, rectam A B 4- ΒΓ puncto Z propiorem maiorem esse remo- lore 47 -4- 4I. quoniam enim arcus 42 B maior est arcu ΒΖΓ, erib eliam ( Bz1.44 ^ Β4Γ [Eucl. VI, 33]. communi adiecto angulo ΒΖ E erunt BAE --BziAd ^ BAE -- BAT; Ba44: usifov ἄρα ἡ ὑπὸ BA4A τῆς ὑπὸ BAT' p. κοινῆς — τῆς] κοινὴ προσκείσθω ἡ p. 11" 1 1 2 e 0 e 260 IIEPI EKGNOT TOMHZ. BAI" αἱ ἄρα ὑπὸ BAE, BAT ἐλάττονές εἰσι δυοῖν ὀρϑῶν. εἰσὶ δὲ αἱ ὑπὸ BAI, BAI δυσὶν ὀρϑαῖς ἴσαι αἱ ἄρα ὑπὸ BAI, BAI' τῶν ὑπὸ BA E, BAT μείξονές εἶσι. καὶ κοινῆς ἀρϑειδης τῆς ὑπὸ BAT λοιπὴ ἡ ὑπὸ ΒΖΓ τῆς ὑπὸ BAE μείξων ἐστίν. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ 4Γ τῇ AE, κοινὴ δὲ ἡ 48. ἡ δὲ ὑπὸ ΓΔΒ τῆς ὑπὸ BAE μείζων, καὶ ἡ ΓΒ ἄρα βάσις μείξων ἐστὶ τῆς BE. καὶ ἐπεὶ αἱ AB, BE εὐϑεῖαι μείξονές εἰσι τῆς 4E, τῶν δὲ 4B, BE συναμφότερος ἡ ABD εὐθεῖα μείξων ἐστί, συναμφότερος ἄρα ἡ 4ΒΓ μείξων ἐστὶ τῆς 4 τουτέστι συναμφοτέρου τῆς 441Γ- νδ΄. Ἐὰν τεσσάρων ἀνίσων εὐθειῶν τὸ ἀπὸ τῆς μεγίστης καὶ τῆς ἐλαχίστης τὸ συναμφότερον τετράγωνον ἴσον j συναμφοτέρῳ τῷ ἀπὸ τῶν λοιπῶν, ἡ συγκειμένη εὐθεῖα ἐκ τῆς μεγίστης καὶ τῆς ἐλαχίστης ἐλάττων ἔσται τῆς συγκειμένης ἐκ τῶν λοιπῶν. ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι αἴ 4B, BI? AE, EZ, καὶ μεγίστη μὲν πασῶν ἔστω ἡ AB, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΒΓ, ἡ δὲ AE τῆς EZ μὴ ἐλάττων ἔστω, ἔστω δὲ τὰ ἀπὸ 4B, ΒΓ τοῖς ἀπὸ AE, ΕΖ ἴσα. λέγω. ὅτι ἡ AT τῆς A4Z ἐλάττων ἐστίν. ἤχϑωσαν πρὸς ὀρϑὰς αἵ BH, EO, καὶ κείσϑω 1. Β4ΕἸ fór V. δυοῖν] δύο p. 8. ἄρα] om. Vp, corr. Halley. — BZAI'] bis V. στῶν] ἄρα τῶν p. 6. ien AD] ἴση ἐστὶν ἡ Dd p. τῇ] p, τῆς V. 7. μείξων (pr.)] μείξων ἐστί p. 10. εὐθεῖα] om. p. 11. ἐστί] p, ἐστίν V. τῆς (pr)] p, corr. ex ἡ m. 1 V, τῇ v. 12. νδ΄ om. V, νβ΄ p. 19. μεγίστη] vp, -γίστη suppl. m. rec. V. πασῶν] om. p. 20. ἡ] vp, suppl. m. rec. V. 21. roig] ἴσα τοῖς p. ἴσα] om. p. 28. ἤχϑωσαν] ἔστωσαν p. DE SECTIONE CONI. 261 itaque ΒΖΕ -ἰ BAI' duobus rectis minores sunt [Ecl I, 18]. uerum ΒΖΓ - BAI' duobus rectis aequales sunt [Eucl. IIT, 22]; itaque BAI'-FBADI—BAE--BAI: et ablato, qui communis esti, angulo ΒΑΓ erit. reli- quus BZI'— BZE. quonam igitur ΖΓ — ZA E, et 241} communis, et / I'4B — BZLFE, ert etiam basis I'B-BEf[Eucll,24| et quoniam 4B ]- ΒΕ AE [Eucl. I, 20], et 4B -- BI — 4B -- BE, erit A B 4- BI» AE, hoc est 7 44 -4- AI: LIV. S1 quattuor rectarum inaequalium summa quadra- torum maximae minimaeque aequalis est summae quadratorum re- A4 liquarum, recta composita ex ma- p xima minimaque minor erit recta ex reliquis com- posita. A H &sinü quattuor rectae 48, BI, 4 4 AE, EZ, οἱ maxima omnium Βιὺ 4 B, minima autem BI', ei e 4 E non minor sit quam EZ, sinique 4 B! -- BI? — 4 E?-|- E Z?. dico, esse 4I'« 42. ducantur perpendiculares BH, ΕΘ, ponaturque 10 15 20 25 262 ΠΕΡῚ K9NOT TOMHX. ἴση ἡ uiv BH τῇ ΒΓ, ἡ δὲ EO τῇ EZ, καὶ ἐπε- ξεύχϑωσαν ai 4H, 40, καὶ γεγράφϑω περὶ τὸ ABH ὀρϑογώνιον ἡμικύκλιον. ἐπεὶ οὖν τὰ ἀπὸ AB, ΒΓ, τουτέστι τὰ ἀπὸ 4B, BH, τοῖς ἀπὸ 4E, EO ἴσα ἐστί, καὶ τὸ ἀπὸ ΑΗ ἄρα τῷ ἀπὸ 40 ἐστιν ἴσον, καὶ ἡ AH τῇ 40. καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΘ τῆς BH μείξων ἐστίν, ἡ ἄρα τῇ ΕΘ ἴση ἐναρμοξομένη τῷ ἡμικυκλίῳ τεμεῖ τὴν ὑπὸ BHA γωνίαν. ἐνηρμόσϑω ἡ ΗΚ ἴση οὖσα τῇ OE, καὶ ἐπεξζεύχϑω ἡ AK καὶ ἐκβεβλήσϑω, καὶ ἔστω ἴση ἡ ΚΑ τῇ KH. ἐπεὶ οὖν τὰ ἀπὸ AK, KH τοῖς ἀπὸ 48, BH ἴσα ἐστί, τὰ δὲ ἀπὸ AB, BH τοῖς ἀπὸ 4E, EO ἴσα, τὰ ἄρα ἀπὸ AK, KH τοῖς ἀπὸ ΖΕ, EO ἴσα ἐστίν: ὧν τὸ ἀπὸ ΚΗ τῷ ἀπὸ ΕΘ idov: λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ AK τῷ ἀπὸ 4E ἴσον ἐστί, καὶ ἡ AK τῇ 4E: τὸ ἄρα AKH τρίγωνον ἴσον καὶ ὅμοιόν ἐστι τῷ Ζ4ΕΘ, καὶ ἡ 44 τῇ 412 ἴση ἐστίν. ἐπεὶ οὖν ἡ AK εὐϑεῖα τῆς KH οὔκ ἐστιν ἐλάττων, οὐδ᾽ ἡ .4K ἄρα περιφέρεια τῆς KH περιφερείας ἐλάττων ἐστί. καὶ διὰ τὸ πρὸ τούτου ϑεώρημα. ἐπεὶ ἐν τμήματι κύκλου κεκλασμέναι εἰσὶν αἱ ΚΗ, ABH εὐθεῖαι. καί ἐστιν ἡ AKH ἤτοι πρὸς τῇ διχοτομίᾳ ἢ ἔγγιον τῆς διχοτομίας, μείξων ἄρα ἡ AKH τῆς 48Η, τουτέστιν ἡ 4.4 τῆς 4Γ, τουτέστιν ἡ 4Z τῆς AT. ἐλάττων ἄρα ἡ AI' τῆς 4Ζ' ὅπερ ἔδει δεῖξαι. νε΄. Ἐὰν δύο εὐϑεῖαι ἄνισοι διῃρημέναι ὦσι, τὰ δὲ ἀπὸ τῶν τῆς ἐλάττονος τμημάτων τετράγωνα ἴσα Tj τοῖς ἀπὸ τῶν τῆς μείξονος τμημάτων τετραγώνοις, τῶν 2. ABH] ABH τριγωνον p. 6. ἐστιν ἴσον] ἴσον ἐστί p. 6. ἡ (alt.)] bis V. EO0| O e corr. p. 7. ἄρα] ἄρα DE SECTIONE CONI. 263 BH — ΒΓ ei E — EZ, ei ducantur 4H, 46, describaturque circum iriangulum rectangulum 4BH semicirculus [Eucl. III, 31]. quoniam igitur AB? -- BI? — AE! - EG? — AB* - ΒΗ", erib eliam 4 H?* — 410? [Eucl. I, 47] et 4H — 210. οὐ quoniam ΕΘ.» BH, recta rectae EO aequalis in semicirculum inserta ( BH.4 secabit. — inseratur HK — OE, ducaiurque 4K et producatur, sitque KA4-— KH. quoniam igitur [Eucl. I, 47] AK? -- KH? — AB? -- BH* — AE? -- ΕΘ, quorum KH? — EO?, ent reliquum A4 K? — 4E? et AK — 4E; itaque A AKH triangulo Ζ ΕΘ aequalis est et similis [Eucl. I, 4], et 444 — 42. quoniam igitur 4K recta KH minor non est, ne arcus quidem A4 K arcu KH minor est [Eucl. IIT, 28]. et quoniam in segmento circuli fractae sunt reciae 4KH, ABH, et .4KH aut ad punctum medium est aut puncto medio propior, propter propositionem praecedentem [prop. LIII] ent 4Κ- ΚΗ» AB 4- BH, siue 447 AI siue Z4Z 7 AI: ergo 4Γ « 4Z; quod erat, demonstrandum. LV. Si duae rectae inaequales diuisae sunt, et quadrata partium minoris aequalia sunt quadratis partium (om p. ἴση] om. p. 8. ἡ] καὶ ἔστω ἡ p. 11. τοῖς (pr)] ἴσα εἰσὶ τοῖς p. ἴσα ἐστί] om. p. 13. ἴσα] om.p. 14. ἴσον (pr.) ἴσον ἐστί p. 19. τό] corr. ex τοῦ p. 24. ὅπερ ἔδει wi om. p. 25. ve'] om. V, νγ΄ p. 28. τῶν — τμημάτων] τῶν τμημάτων τῆς μείζονος p. τῆς μείξονος] v, τῆς μεί- euan. V, rep. mg. m. rec. 264 ΠΕΡῚ ΚΟΝΟΎ TOMBHZ. τεσσάρων τμημάτων μέγιστον μὲν ἔσται τὸ τῆς ἐλάττονος μεῖξον τμῆμα, ἐλάχιστον δὲ τὸ ἔλαττον. ἔστωσαν εὐθεῖαε δύο ἄνισον. αἱ ABI, AEZ διῃρημέναι κατὰ τὰ B καὶ E σημεῖα, ὥστε τὴν μὲν AE 5 τῆς EZ μείξονα εἶναι, τὴν δὲ AB τῆς BI' μὴ εἶναι ἐλάσσονα, καὶ μείξων μὲν ἔστω ἡ 4Γ τῆς 4Z, τὰ δὲ ἀπὸ τῶν 48. ΒΓ τετράγωνα τοῖς ἀπὸ τῶν 4 E, EZ τετραγώνοις ἴσα. λέγω, ὅτι τῶν AB, BI', 4E, EZ εὐθειῶν μεγίστη μέν ἐστιν ἡ 4E, ἐλαχίστη δὲ ἡ EZ. 10 ἤχϑω πρὸς ὀρϑὰς τῇ ΑΓ ἡ BH ἴση οὖσα τῇ BI, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ ΑΗ, καὶ περὶ τὸ ABH ὀρϑογώνιον γεγράφϑω ἡμικύχλιον. ἐπεὶ οὖν 7 AB εὐϑεῖα τῆς BH οὔκ ἐστιν ἐλάττων, καὶ ἡ 418 ἄρα περιφέρεια τῆς BH οὔκ ἐστιν ἐλάττων" ἡ ἄρα τῆς ΑΒΗ͂ περιφερείας 16 διχοτομία ἤτοι κατὰ τὸ B ἔσται ἢ ἐπὶ τῆς 48 περι- φερείας, οἷον κατὰ Θ. ὃ ἄρα κέντρῳ μὲν τῇ διχοτομίαᾳ, διαστήματι δὲ ὁποτερῳοῦν τῶν A4, Η γραφόμενος κύκλος ἥξει καὶ διὰ τοῦ I, ὡς προεδείχϑη" γεγράφϑω οὖν x«l ἔστω ὁ ΑΚΙΓΗ͂. ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ τῆς 4Z 20 μεῖξόν ἐστι τῶν ἀπὸ 4Ε, EZ, τὰ δὲ ἀπὸ τῶν AE, EZ ἴσα τῷ ἀπὸ τῆς 4H, καὶ τὸ ἀπὸ τῆς 412 ἄρα μεῖξόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς A4H' μείξων ἄρα ἡ 412 τῆς AH. ἐλάττων δὲ ἡ 42 τῆς 4 Γ' δυνατὸν ἄρα μεταξὺ τῶν AI, AH εὐϑειῶν ἐναρμόδσαι τῷ AKI'H κύκλῳ 25 εὐθεῖαν ἴσην τῇ 4Z. ἐνηρμόσϑ' ἡ 44M, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ AH: ἴση ἄρα διὰ τὰ προδεδειγμένα ἡ 6. μείξων)] p, μεῖξον V. 9. ἐστιν] ἔσται p. ἐλαχίστη δέ] rep. mg. m. rec. V sine necessitate. 18. καὶ 7j — 14. ἐλάτ- των] supra scr. m. 1 p. 13. ἄρα] om. p. 15. ἤτοι] ἤ P- ἔσται) ἐστιν p. 16. Θ] τὸ Θ p. 19. οὖν (pr.)] om. p. 24. AH] vp, lacuna absumptum V. 26. ἄρα] ἄρα ἐστί p. προδεδειγμένα] vp, y supra scr. m. 1 V. DE SECTIONE CONI. 265 maioris, quattuor partium maxima erit pars maior minoris, minima autem minor. sint duae rectae inaequales ABI, A4EZ in punctis B, E ita diuisae, ut sib ΖΕ)» EZ, AB autem non minor quam BI', siique A4I' 4Ζ et AB! -- BI? — AE? -- EZ*. dico, quattuor rectarum 4B, ΒΓ. 4E, EZ maximam esse ΖΕ. minimam autem EZ. ducatur ad “Γ᾿ perpendicularis BH — BI', duca- turque 4H, et circum triangulum rectangulum 4BH describatur semicir- culus [Eucl. III, 31]. quoniam igitur recta ΑΒ non minor est quam BH, etiam arcus 4B non mi- p nor esí quam BH [cfr. Eucl. III, 28]; Z punctum igitur me- dium arcus ΑΒΗ aut in B ent aut in arcu 4B, uelut in 6. itaque circulus centro puncto medio, radio autem alterutro 4, H descriptus eliam per Γ΄ ueniet, αὖ antea demonstratum est [prop. LII]; deseribatur igitur et sit 4KI'H. quoniam igi- iur 4225» 4E? - EZ? [Eucl. II, 4] et A4 E? -- EZ? — A H* [Eucl. I, 41], erii eliam 42» 4H?; quare ZZ» AH. uerum A4Z« AI,iiaque fieri potest, ut inter rectas 4“ Γ, AH in ciredlum AKTI'H recta inseratur rectae ΖΖ aequalis. inseratur 444M, ducaturque 4H; itaque 4 10 15 20 2b 266 ΠΕΡῚ K9NOT TOMHZ. AM τῇ AH. ἐπεὶ οὖν ἡ uiv 4.4 μείξων ἐστὶ τῆς AB, ἡ δὲ AB οὐκ ἐλάσσων τῆς BH, ἡ ἄρα 44 μείξων ἐστὶν ἑκατέρας τῶν ΑΒ. ΒΗ. ἡ δὲ AH ἐλάττων ἑκατέρας τῶν 48. BH: τῶν ἄρα AB, BH, AA, AH μεγίστη μὲν ἡ 44, ἐλαχίστη δὲ ἡ AH. ἀλλ᾽ ἡ μὲν BH τῇ ΒΓ ἐστιν i69, ἡ δὲ 44 τῇ ΖΕ, ἡ ὃὲ AH, τουτέστιν ἡ AM, τῇ ΕΖ, ὡς δείξομεν" τῶν ἄρα 4B, ΒΙΓ, 4E, ΕΖ εὐϑειῶν μεγίστη μὲν ἡ ΖΕ, ἐλαχίστη δὲ ἡ EZ: ὃ προέκειτο δεῖξαι. γνϑ΄. Ἐὰν δύο εὐϑεῖαι ἴσαι διῃρημέναι ὦσιν οὕτως, ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς ἑτέρας τῷ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς λοιπῆς ἴσον εἶναι, καὶ τὰ τμήματα τοῖς τμήμασιν ἴσα ἔσται ἑκάτερον ἑκατέρῳ. ἔστωσαν εὐϑεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις αἴ 4AAM, AEZ διῃρημέναι κατὰ τὰ 4 καὶ E σημεῖα, ὥστε τὸ ὑπὸ 4 A, AM ἴσον εἶναι τῷ ὑπὸ τῶν 4E, ΕΖ. λέγω, ὅτι ἐστὶν ἴση ἡ 4A τῇ AE. ἐπεὶ ἴση ἣ AM τῇ AZ, καὶ al ἡμίδειαι ἄρα ἴδαι εἰσίν. ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ἡμιδείας τῆς 4M τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς 42 ἴσον ἐστίν. εἰ μὲν οὖν ἡ AM δίχα τέτμηται κατὰ τὸ 4, καί ἐστι τὸ ὑπὸ 4.4. AM τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας, καὶ 7) 412 ἄρα δίχα τέτμηται κατὰ τὸ E, ἐπειδὴ τὸ ὑπὸ ΖΕ, ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ 8. ἡ δέ — 4. BH(pr)] om. p. 8. μέν] μέν ἐστιν p. 9. ὃ προέκειτο δεῖξαι] οἴα.». 10. νε΄ om. V, νδ' p. 11. es vp, euan. V, rep. mg. m. rec. — 12. καί] om. p. 18. τοῖς e corr. p. 14. ἑκάτερον ἑκατέρῳ] om. p. 16. ὥστε] κα ἔστω p. 17. εἶναι] om. p. ἐστὶν ἴση] ἴση ἐστίν p. 19. ἴση] γὰρ ἴση ἐστίν p. 28. τό] ἴσον τῷ p. 3] p, om. V. DE SECTIONE CONI. 261 propter'ea, quae antea demonstrauimus [prop. LII], erii 4M — AH. quoniam igitur 444 7 48 [Eucl. III, 15], et 4B non minor quam BH, 4.4 utraque 4B, BH maior est. 4H autem utraque 4B, BH minor est [Eucl. IIT, 15]; itaque rectarum 4B, BH, 4 4, AH maxima est 4471, minima autem 4H. sed BH —BI,44- AE, AH — AM — EZ, ut de- monsirabimus [prop. LVI|;') ergo rectarum 4B, ΒΓ Z4 E, EZ maxima est 4 Εἰ. minima autem EZ; quod eral propositum. LVI. Si duae rectae aequales ita diuisae sunt, ut etiam rectangulum partium alterius rectangulo partium reli- quae aequale sit, etiam partes partibus aequales erunt A N A4 μ Singulae singulis. E —————————dÓ——————À4 sint rectae inter se 4 ΞΕ Z aequales 44M, 4 EZ in E ————————————————À4 punctis 4f, E ita diuisae, ut sit 44»5« 4M — AE »« EZ. dico, esse 44 — Zl E. quonam 44M — ZZ, ert etiam 43.4M — 4 4Z; quare eliam (1.4M)* — ( 42)5. iam si 4M in 4 in duas paries aequales secta est, et AA AM —($ AM), eliam 42 in E in duas partes aequales secta est, quoniam 4 E »« EZ — (5 4 My —(4 42)" [πο]. ἢ, 5]. 1) Nam 44» AM — A E »« EZ, quia A43 -- AM? --244» AM— AE? 4- EZ! --24 E» EZ, et 44! - AM! - A43 -- AH* — AH! — AE? -- ΕΖ". 94. τό (alt.) — τῷ] vp, euan. V, rep. mg. m. rec. 25. τουτ- ἐστι] τουτέστιν V. τῆς ἡμισείας (410.}] om. p. Qt 10 1 [e 20 268 ΠΕΡῚ KSNOT TOMBZ. εἰ 03 μή, τετμήσϑωσαν δίχα κατὰ và N, Ηὶ σημεῖα" ἴδη ἄρα ἡ NM εὐϑεῖα τῇ 32. ἴσον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς NM τῷ ἀπὸ τῆς ΞΖ, τουτέστι τὸ ὑπὸ 4.4. AM μετὰ τοῦ ἀπὸ N.4 ἔσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ 4Ε. ΕΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΞΕ, ὧν τὸ ὑπὸ 44, AM τῷ ὑπὸ AE, ΕΖ ἴδον ἐστί, λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΝΖ τῷ ἀπὸ τῆς ΞΕ ἴσον ἐστίν" ἴση ἄρα ἣ NA τῇ ΞΕ. ἔστι δὲ καὶ ἡ NM τῇ AZ ἴση" λοιπὴ ἄρα ἡ AM τῇ EZ ἴση. ὥστε καὶ ἡ AA τῇ 4Ε ἴση" ὅπερ ἔδει δεῖξαι. νζ΄. Ἐὰν κῶνος σκαληνὸς διὰ τοῦ ἄξονος τμηϑῇ. τῶν γενομένων τριγώνων τὸ μεῖξον μείξονα περίμετρον ἔχει. καὶ οὗ τριγώνον μείξων ἡ περέμετρος, καὶ αὐτὸ ueitóv ἐστι. τετμήσϑω κῶνος σκαληνὸς διὰ τοῦ ΑΒ ἄξονος, καὶ γενέσϑω ἐκ τῆς τομῆς τὰ AI, AEZ τρίγωνα, μεῖξον δὲ τὸ AI'4, ὥστε τὴν μὲν E.A τῆς AZ usitove εἶναι, τὴν δὲ DA τῆς 42 μὴ ἐλάττονα. λέγω, ὅτι ἡ 4Γ4 περίμετρος τῆς 4EZ περιμέτρον μείξων ἑστίέν. ἐπεὶ γὰρ ἴσαι μὲν αἱ ΓΖΩ͂, ΕΖ βάσεις, κοινὴ. δὲ ἦκται ἡ ΒΑ ἐπὶ τὴν διχοτομίαν αὐτῶν ἀπὸ τῆς κορυφῆς, καί ἐστι τὸ 4ΕΖ τοῦ Al ἔλαττον, ἡ ἄρα ΕΑ πρὸς 442 μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΑ͂ πρὸς 4 4, ὡς ἐδείχϑη ἐν τῷ κα΄ ϑεωρήματι" ἡ μὲν ἄρα ΕΑ 1. N, ἘΠ e corr. p. 2. τῆς ΝΜ τῷ ἀπό] om. p, τῆς M τῷ supra scr. m. 1. 8. τῆς EZ] vp, euan. V, rep. mg. m. rec. 8. λοιπή) καὶ λοιπή p. τῇ EZ] vp, Z corr. ex & V, rep. mg. m. rec. lon] ἐστιν len p. 9. ὅπερ ἔδει δεῖξαι ἐστίν p. 10. νξ΄] om. V, νε΄ p. 17. μείξονα] p, μεῖξον V. 18. ἐλάττονα] ἐλάσσονα p.. 19. τῆς — ἐστίν) μείζων ἐστὶ τῆς AEZ περιμέτρου p. 20. μέν] μέν εἰσιν». — Pd| AT p. DE SECTIONE CONI. , 269 sin minus, in punctis N, ,3 in binas partes ae- quales secentur; itaque N M — ΞΖ. quare NM? — ΞΖ", hoec est 434». AM - Nf? — AE »« EZ -- NE? [Eucl II, 5], quorum 44»« AM — AE »« EZ; ia- que reliquum N /f? — ΞΕ“. quare NA4 — SE. uerum eliam NM — ΞΖ: itaque reliqua. 44M — EZ. ergo eliam 4.4 — 4E; quod erat demonstrandum. LVII. Si conus scalenus per axem secatur, iriangulorum effectorum maior maiorem perimetrum habet, et cuius trianguli maior est perimetrus, et ipse maior est. . A conus scalenus per axem A B secetur, eb per sectionem efficiantur irianguh A4 ΓΖ, AEZ, maior autem sib. 4 ΓΖ, ita ut sit EA4 7 AZ, I'A autem non minor quam “4127 [prop. XXIV ]. dico, perimetrum 41.4 maiorem esse perimetro AEZ. quoniam enim basis I'4-— EZ, communis autem B4 a uertice ad punctum medium earum ducta, οὗ ^ A4EZ — AI'4, ert EA: 42 Γ4ἅΑ: 424, ut in prop. XXI demon- stratum est; itaque ΕΑ, quattuor rectarum maxima EZ] vp, euan. V, rep. mg. m. rec. 23. AZ] AB V, τὴν AB p, corr. Comm. 24. ἐδείχϑη]} vp, τῇ suppl. m. rec. V. κα κ΄ p? ΕΑ μεγίστη ἐστί vp, euan. V, rep. mg. m. rec. 210 ΠΕΡῚ E9NOY ΤΟΜΗΣ. μεγίστη ἐστὶ τῶν τεσσάρων εὐϑειῶν, ἡ δὲ 412 ἐλαχίστη" καὶ ταῦτα γὰρ ἐδείχϑη ιη΄ καὶ (9' ϑεωρήματιι καὶ ἐπεὶ τὰ ἀπὸ τῆς μεγίστης καὶ τῆς ἐλαχίστης, τουτέστε τὰ ἀπὸ EA, AZ, τοῖς ἀπὸ ΓΑ͂, 44 ἴσα ἐστί, Gvv- 5 ἀμφότερος ἄρα ἡ ΕΑ, 412 εὐϑεῖα συναμφοτέρου τῆς ΓΑ͂, 44 ἐλάττων ἐστὶ διὰ τὸ πρὸ τούτου ϑεώρημα. προσκείσϑωσαν αἱ EZ, Γ4 ὅλη ἄρα ἡ AEZ περί- μετρος ὕλης τῆς 4 ΓΖ περιμέτρου ἐλάττων ἐστί. μείξων ἄρα ἡ τοῦ μείξονος περίμετρος. 10 Καὶ γέγονε φανερόν, ὅτι ἐν τοῖς σκαληνοῖς κώνοις τῶν διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνων μεγίστη μὲν ἡ τοῦ μεγίστου περίμετρος, τουτέστι τοῦ ἰσοσκελοῦς, ἐλαχίστη δὲ ἡ τοῦ ἐλαχίστου, τουτέστι τοῦ πρὸς ὀρϑὰς τῇ βάσει τοῦ κώνου, τῶν δ᾽ ἄλλων ἀεὶ τὸ μεῖξον μείξονα περιμέτρον 16 ἔχει ἥπερ τὸ ἔλαττον. Πάλιν ὑποκείσϑω ἡ τοῦ ΓΑ Ζ' τριγώνου περίμετρος μείξων εἶναι τῆς τοῦ EAZ. λέγω δή, ὅτι τὸ AI'A τρίγωνον τοῦ EAZ μεῖξόν ἐστιν. ἐπεὶ ἡ ATL περίμετρος τῆς EAZ περιμέτρου 20 μείζων ἐστίν, ἴση δὲ ἡ ΓΖά τῇ EZ, λοιπὴ ἄρα συναμ- φότερος ἡ ΓΑ͂, 421 συναμφοτέρου τῆς ΕΑ, AZ μείξων ἐστί. καί ἐστι τὰ ἀπὸ ΓΑ͂, 421 τοῖς ἀπὸ ΕΑ, AZ ἴσα: τῶν ἄρα ΓΑ͂, 44. EA, AZ εὐϑειῶν μεγίστη μέν ἐστιν ἡ EA, ἐλαχίστη δὲ ἡ AZ- ταῦτα 26 γὰρ ἅπαντα προδέδεικται. ἡ EA ἄρα πρὸς τὴν 4Ζ μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ 4.“ πρὸς AI. ἐπεὶ οὖν DE SECTIONE CONI. 211 esí, 4732 aulem minima; nam haec quoque demon- strata sunt in propp. XVIII et XIX.) et quoniam quadrata maximae minimaeque, hoc est Ε 45 - 4Z?, quadratis 1'4?-l- 4241? aequalia sunt [prop. XVII], ert EA - 42 « ΓἅΑ͂ ὉῬ 412] propter propositionem praecedentem [immo prop. LIV]. adiüciantur EZ, ΓΩ͂; » Xaque tota perimetrus 4 EZ minor est tota perimetro AI. ergo maior esi maioris perimeirus. Et manifestum est, in conis scalenis triangulorum per axem ductorum maximam esse perimetrum maximi, hoe est aequicrurii, minimam autem minimi, hoc est irianguli ad basim coni perpendicularis [prop. XXIV], ceterorum autem semper maiorem perimetrum habere malorem quam minorem. Rursus supponamus, perimetrum trianguh ΓΖ Ζ maiorem esse perimetro triangul EZ. dico, esse A A4ADA4EAZL. quoniam perimeirus ΑἸ ΓΩ͂ perimetro E AZ maior est, et ΓΖ — EZ, erit reliqua ID'4 4424)» Ε4-ἴ AZ. et I4? -- 443 — EA? - AZ? [prop. XVII]; quare rectarum I'4, 421, EA, 4Z maxima est E 4, minima autem 412. [prop. LV]; nam haec omnia antea de- monstrata sunt. itaque ΕΑ: 4Z7 44:41. quon- 1) Nam EA4?: 425» L4? : 44? (prop. XVIII); EA* -- AZ! -- ΓΑ 4- 4.41 (prop. XVID; ium e prop. XIX maximum E4?, minimum 4 Ζ3. quaedam euan. EAZ] vp, 4 e corr. V. δή] om. p. 19. éxeí] ἐπεὶ γάρ p. 44] AAT p. 21. ΓΑ, 44 ΓΑΔ». τῆς EA, AZ] v, alt. 4 euan. V; rep. mg. m. rec. V, τῆς EAZ p. 28. AZ (alt)] p, AE V. 24. ταῦτα] vp, euan. V, rep. mg. m. rec. 212 ΠΕΡῚ KGNOT ΤΟΜΗΣ. δύο τρίγωνα τὰ ΓΑ“, EAZ βάδεις ἴσας ἔχει, ἔχεε ὃΣ καὶ τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν τῆς βάσεως ἠγμένην τὴν αὐτήν, ἡ δὲ τοῦ ἑτέρου μείξων πλευρὰ πρὸς τὴν ἐλάττονα μείξονα λόγον ἔχει ἥπερ 37] τοῦ ἑτέρου μείζων πρὸς τὴν ἐλάττονα, καὶ τὰ λοιπά, ὁ ἄρα EAZ τρίγωνον ἔλαττόν ἐστι μεῖξον ἄρα τὸ DIAA4 τρίγωνον τοῦ EAZ [ὡς ἐδείχϑη ϑεωρήματι ιϑ'΄ τοῦ πρώτου βιβλίου]. ex ’ νη΄. 10 Τῶν ἴσων μὲν καὶ ὀρϑῶν κώνων, ἀνομοίων δέ, ἀντιπέπονθε τὰ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνα ταῖς ἑαυτῶν βάδεσιν. ἔστωσαν κῶνοι ὀρϑοὶ καὶ ἴσοι. ἀνόμοιοι δέ, ὧν κορυφαὶ μὲν τὰ 4, B σημεῖα, ἄξονες δὲ o( AH, ΘΒ. 15 τὰ δὲ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα τὰ AI, BEZ, βάσεις δὲ τῶν κώνων οἷ περὶ τὰς I4, ΕΖ διαμέτρους κύκλοι. λέγω, ὅτι. ὡς τὸ IZ τρίγωνον πρὸς τὸ BEZ, οὕτως ἡ EZ βάσις πρὸς τὴν I'4. ἐπεὶ γὰρ ἴσοι εἰσὶν oí κῶνοι, ὡς ἄρα ὁ περὶ τὸ 20 Η κέντρον κύκλος πρὸς τὸν περὶ τὸ O xóxAov, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΑΗ. ὁ δὲ περὶ τὸ Η κύκλος πρὸς τὸν περὶ τὸ Θ κύκλον διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἣ 8. ἠγμένη») BP ἠγμέ- euan. V, rep. mg. m. rec. — 6. ἐστι ἐστι τοῦ ΓΑΔ 1. ὡς ἐδείχθη — 8. βιβλίου] V, deleo. 7. ϑεαρήματι — 8 βιβλίου] ἐν τῷ w ?" ϑεωρήματι p. 9. νη] om. V, νς΄ p. 11. cd] om. 12. βάσεσιν} hio des. fol. 285" V, mg. m. rec. τὸ ἑξῆς ἔστωσαν κῶνοι. ἕστω- σαν --- ὀρϑοί] vp, euan. V, τόρ. mg. m. rec. οὖ Su. O0 euan. V, BO p. 165. ATA] litt. ΓΖ e corr. ια- μέτρους)] om. p. 18. ΒΕ 2) vp, B euan. V, mg. MEZ in apo- grapho. melius BEZ ex superioribus" m. rec. 20. κέντρον] , euan. V, rep. mg. m. rec.; om. v. H) uel K Vv, H xé»- tQOv p. 22. -y« λόγον ἔχει] vp, ΚΩ͂Ν , rep. mg. m. rec. DE SECTIONE CONI. 213 iam igitur duo triangul 1'47/1, EA4Z bases aequales habent, habent autem etiam rectam a uertice ad punctum medium basis ductam eandem, et maius latus alterius ad minus maiorem rationem habet quam alterius latus maius ad minus, ei cetera, triangulus EZ minor est (prop. XX]. ergo ^ I'A44— EAZ. LVIIL Conorum aequalium rectorumque, sed non similium, irianguli per axem ducti in contraria proportione sunt basium suarum. sint coni recli aequalesque, sed non similes, quo- rum uertices sint puncta 4, B, axes autem 4 H, ΘΒ, A et trianguli per axem ducti 4I'71, BEZ, bases autem conorum circuli circum ΓΖ, EZ diametros descripti. dico, esse A AI'4: BEZ — EZ: ΓΖ. quoniam enim coni aequales sunt, erit, ut cireulus eireum .H centrum descriptus ad eireulum cireum 9 Serenus Antinoensis, ed. Heiberg. 18 9214 ΠΕΡῚ K9NOT ΤΟΜΗΣ. ΓΖ πρὸς τὴν ΕΖ. ἔστω τῶν OB, AH μέση ἀνάλογον ἡ KH, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ ΚΙ, KA: ὡς ἄρα ἡ I4 πρὸς τὴν EZ, οὕτως ἥ vt ΒΘ πρὸς τὴν KH καὶ ἡ KH πρὸς τὴν HA. ἐπεὶ oov, ὡς ἡ ΓΖ πρὸς τὴν 5 EZ, οὕτως ἡ BO πρὸς τὴν ΚΗ, τὸ BEZ ἄρα τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΚΙΓΩ͂ τριγώνῳ. καὶ ἐπεί, ὡς ἡ I4 πρὸς τὴν EZ, οὕτως ἡ ΚΗ πρὸς ΗΑ. ὡς δὲ ἡ KH πρὸς τὴν H4, οὕτως τὸ KI'4 τρίγωνον πρὸς τὸ 4Γ4, ὡς ἄρα ἡ ΓΖ πρὸς τὴν EZ, οὕτως τὸ KI'4 10 τρίγωνον, τουτέστι τὸ ΒΕ Ζ τρίγωνον, πρὸς τὸ AI vQíycovov: καὶ ὡς ἄρα τὸ AI τρίγωνον πρὸς τὸ BEZ, οὕτως ἡ EZ βάσις πρὸς τὴν I4 βάσιν. ἀντι- πέπονθεν ἄρα τὰ ἐκκείμενα τρίγωνα ταῖς ἑαυτῶν βάδεσιν. 4 15 v9'. Ὧν κώνων ὀρϑῶν ἀντιπέπονθε và διὰ τῶν ἀξό- vov τρίγωνα ταῖς ἑαυτῶν βάσεσιν, οὗτοι ἴσοι εἰσὶν ἀλλήλοις. ἔστωσαν κῶνοι ὀρϑοί, ὧν κορυφαὶ μὲν τὰ A, B 20 σημεῖα, ἄξονες δὲ αἱ AH, BO εὐϑεῖαι, τὰ δὲ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα τὰ AIL, BEZ, καὶ ἔστω, ὡς ἡ I4 πρὸς τὴν EZ, οὕτως τὸ EBZ τρίγωνον πρὸς τὸ AI. λέγω. ὅτι ἴσοι εἰσὶν ἀλλήλοις οἱ κῶνοι. γενέσϑω, ὡς τὸ ΒΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ 44, 26 οὕτως τὸ 4Γ24 πρὸς τὸ KEZ: τὸ BEZ ἄρα πρὸς τὸ KEZ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΓΑ͂Ζ πρὸς τὸ KEZ. ἐπεὶ οὖν, ὡς ἡ ΓΖ πρὸς τὴν EZ, οὕτως v 1. 0B] ΒΘ p. 1. οὕτως — 9. EZ] om. p. 7. H4] τὴν H4 Halley. 9. ὧς ἄρα] rep. mg. m. rec. V sine causa. DE SECTIONE CONI. 275 descriptum, iià BO: 4H [Eucl. XII, 15]. circulus autem circum MH descriptus ad circulum circum 9 descriptum rationem habet, quam ΓΖ: EZ? [Eucl. XII, 2]. sit rectarum 6 B, 4H media proportionalis KH, ducanturque ΚΓ, ΚΔ; itaque [Eucl. V def. 9] DIA4:EZ— ΒΘ: ΚΗ -- ΚΗ: ΗΖ. quoniam igitur I'4:EZ — BO: KH, ent ABEZ — ΚΓΖ [Eucl. VI, 14; I, A1]. et quoniam I'Z: EZ — KH: H A, et KH:HA4-KIZ4:4A4I24 [cfr. Eucl. VI, 1], ent ΓΖ: EZ-— KU: AUZA-— BEZ: 4 ΓΩ͂; quare etiam AIA:BEZ — ΕΖ: ΓΖ. ergo trianguli propositi in coniraria proportione sunt basium suarum. LIX. Quorum conorum rectorum trianguli per axes ducti in contraria proportione sunt basium suarum, inter se aequales sunt. sint coni recti, quorum uertices sint puncta 4, B, axes aulem rectae 4H, BO, irangul autem per axes ductà 4I, BEZ, et sit DA: EZ—/AEBZ:4A AI'A. dico, conos inter se aequales esse. faí BEZ: AI'4 — ADI'4: KEZ; aque BEZ: KEZ — 427: KEZ? [Eucl. V def. 9]. 10. τρέγωνον (alt.)| om. p. 11. τρίγωνον (pr.)] om. p, rep. mg. m.rec. V sine causa. καί] om. p lacuna parua relicta. 12. βάσις] vp, euan. V, supra scr. m. rec. 15. v9] om. V, νζ΄ p. 16. διά] bis V, sed corr. 19. κῶνοι ὀρϑοί, àv] scripsi, κώνων οἷον V, κῶνοι àv p, κώνων Halley cum Comm. 20. αἱ] oi p. εὐθεῖαι om. p. 28. ἴσοι — ἀλλήλοις ] p et ἴσοι in ras. v; euan. V, rep. mg. m. rec. 26. ἤπερ] vp; j- euan. V, mg. , ἥπερ apogr." m. rec. 18* δι 10 1ὅ 2 e 216 ΠΕΡῚ K9NOT TOMBHBZ. BEZ τρίγωνον πρὸς τὸ Alf, ὡς δὲ τὸ BEZ πρὸς τὸ AI, οὕτως τὸ AIL πρὸς τὸ KEZ, ὡς ἄρα ἡ ΓΖΩ͂ πρὸς τὴν EZ, οὕτως τὸ 4I τρίγωνον πρὸς τὸ KEZ. ὥστε ἐπεὶ và 4Γ4. KEZ τρίγωνα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις, ὑπὸ τὸ αὐτὸ ἄρα ὕψος ἐστίν. ἴση ἄρα ἡ AH τῇ ΚΘ. καὶ ἐπεὶ ὃ Η κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΖά διάμετρος πρὸς τὴν EZ, ὡς δὲ ἡ I4 διάμετρος πρὸς τὴν EZ, οὕτως τὸ 4Γ4 τρίγωνον πρὸς τὸ EKZ, ὃ ἄρα Η κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ ΓΑ4 πρὸς τὸ EKZ. εἶχε δὲ καὶ τὸ EBZ πρὸς τὸ EKZ διπλασίονα λόγον ἤπερ τὸ I'44 πρὸς τὸ EKZ: ὡς ἄρα ὃ H κύκλος πρὸς τὸν 0 κύκλον, οὕτω τὸ ΕΒΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΚΖ, τουτέστιν ἡ ΒΘ εὐϑεῖα πρὸς τὴν KO. καί ἐστιν ἡ OK τῇ AH ἴση ὡς ἄρα ὃ Η κύκλος πρὸς τὸν O κύκλον. οὕτως ἡ BO εὐϑεῖα πρὸς τὴν AH. καί εἰσιν α BO, AH ἄξονες τῶν κώνων καὶ ἀντιπεπόνϑασι ταῖς βάσεσι, τουτέστι τοῖς H, € κύκλοις᾽ oí ἄρα 4, B κῶνοι ἴδοι ἀλλήλοις εἰσίν. 1. τό (pr)] Vvp, mg. ,,ἵ τὴν apogr." m. rec. V. . BEZ] EBZ p. 5. ἐστιν ὡς] vp, rep. mg. m. rec. V, -w» ὡς euan. 6. H] περὶ τὸ H p. 7. 8] περὶ τὸ € p. 8. διάμετρος (pr.)] vp, rep. mg. m. rec. V, -serg- euan. 9. EKZ) KEZ p. 10. H] περὶ τὸ H p. 6] περὶ τὸ O p. 11. EKZ] vp, euan. V, rep. mg. m. rec. 12. διπλασίονα) vp, rep. mg. m. rec. V, -σίονα euan. 18. EKZ] KEZ p. 14. οὕτω] οὕτως Halley. | EBZ]| des. fol. 236" V; quartam partem superiorem foli 237 in alio genere chartae suppleuit m. 3 V (contuli etiam v). 15. ΚΘ] v, OK Vp. 18. ro«ig] rursus inc. m. 1 V. 19. H, 9] vp, euan. V, supra scr. m. rec. — 4, BJ v, mg. m. rec V, 4 euan.; 4I, BEZ p. DE SECTIONE CONI. 201 quoniam igilur ΓΖ : EZ — A BEZ: A AI'4 e BEZ: 4Γ24 --. 4Γ4: KEZ, ent I4: EZ-— AI Z4: KEZ. quare quoniam trianguli 4I'Z1, K EZ inter se rationem habent quam bases, sub eadem altitudine sunt [Eucl. K A VI, 1]; itaque 4H — KO. et quoniam cireulus H ad eireulum € duplicatam rationem habet quam diametrus. ΓΖ ad EZ [Eucl. XII, 2], e& ΓΖ : EZ— AT'4: EKZ, ent H: 0 — I'425 : EKZ?. eraà autem etiam EBZ:EKZ-—IA42*:EKZ*; quare H:0 — EBZ: EKZ — ΒΘ: ΚΘ [cfr. Eucl. VI, 1]. esl autem ΘΚ — 4H; itaque H: Θ-- BO: AH. et ΒΘ, 4H axes sunt conorum et sunt in coniraria ratione basium, ἢ. e. circulorum H, 6; ergo coni 44, B inier se aequales sunt [Eucl. XII, 15]. b 10 15 20 2718 ΠΕΡῚ KS9NOT TOMHBZ. ξ΄. Ἐὰν δύο κώνων ὀρθῶν ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν διπλασίονα λόγον ἔχῃ ἥπερ ὃ κῶνος πρὸς τὸν κῶνον, τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις ἔσται. ἔστωσαν κῶνοι ὀρϑοί, ὧν κορυφαὶ μὲν τὰ 4, B σημεῖα, βάσεις δὲ οἱ περὶ τὰ H, O χέντρα κύκλοι, τὰ 0$ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα và 4Γ4., BEZ, ἐχέτω 0 ὁ Η κύκλος πρὸς τὸν Θ διπλασίονα λόγον ἥπερ ὃ AHIZ4 κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ. λέγω, ὅτι τὰ 4 ΓΖ, ΒΕΖ τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν. ἔστω, ὧς ὃ ΔΛΗΓΖΔ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ, οὕτως ὁ ΒΘΕΖ πρὸς τὸν ΚΘΕΖ. ἐπεὶ ó Η κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ὁ 4 H L4 κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ κῶνον, ἀλλὰ καὶ δ ΛΗΓΖά κῶνος πρὸς τὸν KO EZ κῶνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ὃ AHIA κῶνος πρὸς τὸν BOEZ, ὡς ἄρα ὃ Η κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον, οὕτως ὁ ΛΗ ΓΖἧΩ͂ κῶνος πρὸς τὸν KO EZ κῶνον. ὥστε ἐπεὶ οὗ A4HI, KOEZ κῶνοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις, ἰσοὐψεῖς ἄρα εἰσὶ διὰ τὸ ἀντίστροφον τοῦ ϑεωρήματος τοῦ ιβ΄ τῶν Στοιχείων" ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ AH τῇ ΚΘ. ἐπεὶ οὖν ὃ -----.. 1. $] om. V, νη΄ p. 2. ἐὰν δύο] v, euan. V, supra scr. m. rec.; ἐάν p. πρός — 4. ἔσται] vp (ἀλλήλαις v), euan. V, rep. mg. m. rec. b. κορυφαί] p, κορυφή Y v. 7. AI'4] p, ABA V. 8. 0] vp; euan. V, mg. B m. 2, ,,httera B extra seriem adiecta redundare uidetur" m. rec. 9. AHT4] AHZ4 p. 10. ἴσα] vp, suppl. m. rec. V. 411. πρὸς τόν] vp, suppl. m. rec. V, ,,8ic in apographo" mg. BOEZ|yp. B6ES Vv. 12. BOEZ] p, BOGEXxS Vv. KOEZ] des. fol. 2837* V. ἐπεί ---- 15. λόγον] m. 8 V (cfr. ad p. 276, 14); contuli etiam v. 12. ἐπεί) v, καὶ ἐπεί Vp. 14. AHIA] vp, corr. ex BOEZ eadem manu V. 16. ó(pr)] v, supra lac. m. rec. V, om. p. AHTIA κῶνος) om. p. 19. ἰσοὐψεϊῖς] vp, euan. V, rep. mg. DE SECTIONE CONI. 2790 LX. Si duorum conorum rectorum basis ad basim duplicatam rationem habet, quam conus ad conum, iriangul per axes ducüi inter se aequales erunt. sint coni recti, quorum uertices sint puncta 4, B, bases autem circuli circum H, € centra descripti, trianguli autem per axes ducti 4171, BEZ, sit autem H:0 — AHI'4*: BOEZ?. dico, esse A AI'4 — BEZ. sii 4HI'4: BOEZ — BOEZ: KOEZ. quoniam H:0 — AHDZ4?*: BOEZ?, uerum etiam AHDUA: KOEZ — AHIZ: BOEZ* [Eucl. V def. 9], ent H:0 — 4AHI'4: KOEZ. quare quoniam coni ΔΗΓΖ, KOEZ inter se rationem habent quam bases, aequalis altitudinis sunt propter conuersum theorema m. rec. ἄρα] hinc contuli etiam v. 20. τοῦ ϑεωρήματορὶ τοῦ ια΄ ϑεωρήματος p. 21. ἐστὶν ἡ AH] v, ἡ AH p; euan. (BH?), ἐστὴν ἡ BH mg. m. rec. 10 1 οι 280 ΠΕΡῚ ΚΩΝΟΎ TOMBHBX. Η κύκλος πρὸς τὸν Θ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὃ ΔΗΓΖ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ κῶνον. τουτέστιν ἥπερ ὃ ΒΘΕΖ πρὸς τὸν KOEZ, τουτέστιν ἥπερ ἡ BO πρὸς τὴν ΘΚ, ἔχει 08 ὁ Η κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον διπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ΓΖΩ͂ πρὸς EZ, ὡς ἄρα ἡ IZ πρὸς EZ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς OK, τουτέστι πρὸς 4H. ἴσα ἄρα ἐστὶ τὰ AI, BEZ τρίγωνα" ὃ προέκειτο δεῖξαι. ξα΄. Καὶ ἐὰν τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις qj, ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ὁ χῶνος πρὸς τὸν κῶνον. καταγεγράφϑωσαν πάλιν οἱ προκεέίμενοι κῶνοι, καὶ ὑποκείσϑω τὰ 4I, BEZ τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις εἶναι. δεικτέον δή. ὅτι ὃ Η κύκλος πρὸς τὸν O κύκλον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ AH ΓΖ4ἅ κῶνος πρὸς τὸν BOEZ κῶνον. ἔστω γάρ, ὧς ἡ BO εὐθεῖα πρὸς AH, οὕτως ἡ AH πρὸς ΗΚ. ἐπεὶ οὖν τὰ 4Γ4., BEZ τρίγωνα 1. Θ] v, Θ κύκλον p; euan. V, mg. ,,:: € ex superioribus" m. rec. 8. τουτέστιν] ἕζτέστιν V, τουτέστιν mg. m. rec. 4. OK] vp, euan. V, ,puto 6 K"* mg. m. rec. δέ] vp; δὲ δὲ, alt. euan,, V, mg. ,,puto καί“ m. rec. τόν] p, om. Vv. 6] in ras. m. Í v. δ. λόγον rep. mg. m. rec. V sine causa. EZ] τὴν EZ y. 6. ΓΖ] vp, euan. V. πρός (pr) — 7. πρός] vp, euan. V, rep. mg. m. rec. 6. EZ] τὴν EZ p. OK] τὴν OK p. 7. πρός] τήν p. ἶσα — τρίγωνα) rep. mg. m. rec. V sine necessitate. | BEZ] ΒΕ, Vvp, BH. νὰ repetitione m. rec. V; corr. Comm. ὃ προέκειτο δεῖξαι] v, om. p; ὃ zoo£- sustulit lacuna in V, mg. ,,puto deesse ὃ zrgo-" m. rec. 8. δεῖξαι] hic des. (fol. 287") m. 1 V, cetera m. 3. 9. ξα΄ om. v, v9" p, ξ΄ m. rec. V. 18. καταγεγράφϑωσαν — κῶνοι ἔστω γὰρ πάλιν ἡ αὐτὴ καταγραφὴ τῶν κώνων p. 18. AH] τὴν AH p. 19. HK] τὴν HK p. —— —— ————-—— — DE SECTIONE CONI. 281 libri XII Elementorum [Eucl. XII, 11]; itaque 4 H — ΚΘ. quoniam igitur H:0 — AHI4f:BO0EZ! — BOEZ:K0EZ -— BG: ΘΚ" [cfr. Eucl. XII, 11], eti Η: Θ — ΓΖ": EZ? [Eucl. XII, 2], erit DI4:EZ-—B0:0K — B0:AH. ergo Δ A4I'4 — BEZ [Eucl. VI, 14; I, 41]; quod erat propositum. LXI. Et si trianguli per axes ducti inter se aequales sunt, basis ad basim duplicatam rationem habet, quam conus ad conum. LJ [2 A deseribantur rursus coni propositi, et suppona- mus Δ 4I'4 -— BEZ. demonstrandum, esse H:0-— AHI'Z!: BOGEZ*. sil enim ΒΘ: 4H — AH: HK. quoniam igitur A ATI'A — BEZ, erit [Eucl. VI, 14; I, 41] IA: EZ — BO: AH — AH: HK. 282 . ΠΕΡῚ KQGNOT TOMHZ. ἴσα ἐστὺν ἀλλήλοις, ὧς ἄρα ἡ D πρὸς EZ, οὕτως 17 BO πρὸς AH, τουτέστιν ἡ AH πρὸς ΗΚ. καὶ ἐπεὲ ó Η κύκλος πρὸς τὸν Θ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΖ πρὸς EZ, τουτέστιν ἥπερ ἡ ΒΘ πρὸς 4H, ἔχεε ὅ δὲ καὶ ἡ ΒΘ πρὸς ΚΗ διπλασίονα λόγον ἥπερ ἡ ΒΘ πρὸς ΑΗ, ὡς ἄρα ὁ H κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον. οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς KH: ὃ ἄρα ΚΗΓΖ κῶνος τῷ ΒΘΕΖ ἴσος ἐστίν. ἐπεὶ οὖν, ὡς ἡ I πρὸς EZ, οὕτως 73 4H πρὸς HK, ὡς δὲ ἡ AH πρὸς HK, 10 οὕτως ὃ ΑΔΗΓΖ4 κῶνος πρὸς τὸν KHAI, τουτέστι πρὸς τὸν ΒΘΕΖ x&àvov, ὡς ἄρα ἡὴ I πρὸς EZ, οὕτως ὁ AHI'4 κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ κῶνον. ἀλλ᾽ ὁ Η κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ Γά πρὸς τὴν EZ: ὃ ἄρα H κύκλος πρὸς 16 τὸν Θ κύκλον, τουτέστιν ἡ βάσις τοῦ AHI'4 κώνου πρὸς τὴν βάσιν τοῦ ΒΘΕΖ κώνου, διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ὃ AHIA κῶνος πρὸς τὸν BOEZ κῶνον᾽ ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ξβ΄. 20 Οἱ ἰσοὐψεῖς κῶνοι ὀρϑοὶ διπλασίονα λόγον ἔχουσι πρὸς ἀλλήλους ἥπερ τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα. καταγεγράφϑωσαν oí κῶνοι, καὶ ἔστω ὃ AH ἄξων τῷ ΒΘ ἴσος. λέγω, ὅτι ὃ AHI'A4 κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ κῶνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ AI 25 πρὸς τὸ BEZ. 1. ἐστὶν ἀλλήλοις] ἀλλήλοις ἐστίν p. 2. HK] H extr. lin. v. 4. EZ] τὴν EZ p. ἔχει — 6. AH] om. p. 5. KH]v, HK V. λόγον] λόγον ἔχει v. 71. KH] τὴν KH p. KHI4] KHA4 p. 8. EZ] τὴν EZ p. 10. τόν — 12. πρός] mg. p. 10. KHAT'] v, ΚΗ4Γ κῶνον p, KHI'4 V. 11. κῶνον] om. p. 14. τήν] om. p. 17. BO EZ] Vp, suppl. in lac. m. rec. v. 18. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] v, om. Vp. 19. ξβ΄] om. Vv, ξ΄ p, ξα΄ m. rec. V. 22. 4H] e corr. p. DE SECTIONE CONI. 283 el quoniam H:0 —I0I4?: EZ! [Eucd.. XII, 2] — B9*: AH?, eb eliam BO: KH — ΒΘ": AH?* [Eucl. V def. 9], erit H:0 — B0: KH; itaque KHI'4 — ΒΘΕΖ [Eucl. XII, 15]. quoniam igitur I4: EZ — AH: HK, et | AH: HK — AHI'Z4: KHATD [cfr. Eucl. XII, 11] — AHI'4:BOEZ, ent ΓΖ: EZ— AHI'4: BOEZ. uerum 4:0 — ΓΖ": EZ*; ergo circulus H ad cir- culum O, hoc est basis coni 4HI' ad basim coni BOEZ, duplcatam rationem habet, quam conus 4 HI'4 ad conum BG EZ; quod erat demonstrandum. -— LXII. Coni recti aequalis altitudinis inter se duplicatam raiionem habent quam trianguli per axes ducti. ÁN, ÁN ἊΝ describantur coni, sitque axis 4 }}[ἶ7 - BO. dico, esse 4HI'4: BOEZ — ADI'4?: BEZ*. 28. ΒΘ] BHO v. 24. BG EZ] B e corr. p. ἔχει — p. 284, 2. λόγον) mg. p. . 24. AI'Z] 4Γ4 τρίγωνον p. 284 ΠΕΡῚ K9NOT ΤΟΜΗΣ. ἐπεὶ γὰρ ὃ H κύκλος πρὺς τὸν Θ κύκλον διπλα- σίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ DI'4 πρὸς ΕΖ, ὡς δὲ ὁ H κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον, οὕτως ὁ AHI'4 κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ κῶνον ἰσοὐὔψεϊῖς yáo: καὶ ὃ ΑΗ ΓΩ͂ 5 ἄρα κῶνος πρὸς τὸν BO EZ κῶνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΓΖ πρὸς EZ, τουτέστιν ἥπερ τὸ 4“ ΓΩ͂ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ τρίγωνον" ὅπερ ἔδει δεῖξαε. By - Ἐὰν ὀρϑοὶ κῶνοι πρὸς ἀλλήλους διπλασίονα λόγον 10 ἔχωσιν ἤπερ τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα, ἰσοὐψεῖς ἔσονται oí κῶνοι. καταγεγράφϑωδαν οἵ κῶνοι. καὶ ὑποχείσϑω ὃ AHIA κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ διπλασίονα λόγον ἔχειν ἥπερ τὸ 4 ΓΖ τρίγωνον πρὸς τὸ BEZ τρίγωνον. 15 λέγω, ὅτι ἡ AH ἴση ἐστὶ τῇ BO. κείσϑω τῷ BEZ τριγώνῳ ἴδον τὸ KI'4 τρίγωνον. ἐπεὶ ο᾽ἦν ὁ ΔΜΗΓΖΩ͂ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ κῶνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ 4Γ4 τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕ Z, ἴσον δὲ τὸ ΒΕΖ τρίγωνον τῷ KI'4 τριγώνῳ, 20 ὁ ἄρα AH ΓΖ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ κῶνον διπλα- σίονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ Α4Γ4 τρίγωνον πρὸς τὸ KI4 τρίγωνον, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΑΗ πρὸς ΗΚ, τουτέστιν ἥπερ ὁ A4HI' κῶνος πρὸς τὸν KHI'4 κῶνον. ὡς ἄρα ó 4 ΗΓ4 πρὸς τὸν KHI^A κῶνον, 25 οὕτως ὁ KHI^ πρὸς τὸν BOEZ. καὶ ἐπεὶ τῶν 2. EZ] v, τὴν EZ M7 71. BEZ] EBZ V. τρίγω- γον QU] o om. p. ὅπερ ἔδει δεῖξαι) v, om. Vp. 8. £y' om. V v, ξα΄ p, ξβ΄ m. rec. V bis. 14. 'τρίγωνον (alt.)] om. p. 16. τρέγωνον] om. p. 18. τρίγωνον] om. p. — 19. τρίγωνον] om. p. τριγώνῳ) om. p. 21. τρίγωνον] om. p. 22. τρί- yovov|om.p. 283.KHI'd| KHAI'V. 84. κῶνον (utrumque)] . DE SECTIONE CONI. 9285 quoniam enim H: 9 — I'4?*: EZ? [Eucl. XII, 2], et [Eucl. XII, 11] H: 9 — AHI'4: BOEZ (nam ae- qualis sunt altitudinis), erit etiam AHDI'A4: BOEZ —I4?: EZ* — [Eucl. VI, 1] AI?: BEZ*; quod erat demonstrandum. LXIII. S1 coni recti inter se rationem habent duplicatam quam irianguli per axem ducti, coni aequalis erunt altitudinis. describantur coni, et supponamus AHUA: BGEZ — — AId?*:BEZ: dico, esse 4H — B6. 4 fL LN. uu ponatur ἃ KT'4 — BEZ. quoniam igitur AHI'A: BOEZ — AT4£P:BEZ?, ei BEZ — KI'Z, ent om. p. og] v, καὶ ὡς p et V? AHI'4] v, AHTI4 κῶνος Vp. KHI4)] KHAI p. 265. ΚΗ ΓΖ] corr. ex KH4np 286 ΠΕΡῚ ΚΩΝΟΥ͂ TOMHZ. KHI', ΒΘΕΖ κώνων τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα τὰ KI'4, BEZ ioa ἀλλήλοις ἐστίν. ἡ ἄρα Η βάσις τοῦ κώνου πρὸς τὴν Θ βάσιν διπλασίονα λόγον ἔχεε ἥπερ ó KHI κῶνος πρὸς τὸν BOEZ, ὡς ἐδεέχϑη ἐν τῷ πρὸ ἑνὸς ϑεωρήματι. ὡς δὲ ὃ KHI κῶνος πρὸς τὸν BO EZ, οὕτως ὁ 4ΗΓ4 πρὸς τὸν ΚΗ ΓΩ͂ καὶ ἡ AH εὐθεῖα πρὸς τὴν ΗΚ' ὃ ἄρα H κύκλος πρὸς τὸν Θ κύκλον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ 4H πρὸς τὴν ΗΚ. ἔχει δὲ δ H κύχλος πρὸς τὸν Θ 10 κύκλον διπλασίονα λόγον τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΓΖ διάμετρος πρὸς τὴν EZ: ὡς ἄρα ἡ I4 πρὸς EZ, οὕτως ἡ 4Η πρὸς ΗΚ. ἐπειδὴ δὲ τὸ KIA τρίγωνον τῷ BEZ τριγώνῳ ἴσον ἐστί, κατ᾽ ἀντιπεπόνϑησιν ἄρα, ὡς 1 I4 πρὸς EZ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς ΚΗ. ἐδείχϑη δέ, 15 ὡς ἡ ΓΖΩ͂ πρὸς EZ, οὕτως καὶ ἣ AH πρὸς KH: καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΘ πρὸς KH, οὕτως ἡ 4H πρὸς KH. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ AH τῇ BO* ὅπερ ἔδει δεῖξαι. e ξδ΄. Τῶν ἀντιπεπονθότων κώνων ὀρϑῶν τοῖς ἄξοσι τὰ 20 διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις ἐστί. καταγεγράφϑωσαν οἱ κῶνοι, καὶ ἔστω, ὡς ὃ AH IA κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ, οὕτως ó ΒΘ ἄξων πρὸς τὸν ΔΗ. λέγω, ὅτι τὰ 4Γ4. BEZ τρίγωνα ἴσα ἀλλή- λοις ἐστίν. 98 ἔστω τῷ AHIA κώνῳ ἰσοὐψὴς ὃ KOEZ κῶνος. ἐπεὶ οὖν, ὡς ὁ AHI' κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ, 1. τῶν ἀξόνων] τοῦ ἄξονος p. 2. ἀλλήλοις ἐστίν] εἰσὶν ἀλλήλοις p. 4. τόν] Vp, τήν v. ὅ. πρὸ ἑνός] scripsi; προενί v, πρὸ τούτου Vp. 10. λόγον] Vp, λόγον ἔχει v. ΓΩ διάμετρος] Vp, σύμμετρος v. 11. ΕΖ (ad82] v, τὴν EZ Vp. 12. HK] τὴν HK p. ἐπειδή] v, ἐπεί Vp. 18. &vri- DE SECTIONE CONI. 281 AHIA4:BO0EZ — AUZ? : KZ? — AH* : HK? [cfr. Eucl. VI, 1] — ΜΗ ΓΖ": KHI'z* [efr. Eucl. XII, 11]; itaque AHI'A: KHI'A4 — KHI'4: BOEZ [Eucl. V def. 9]. ei quoniam conorum KHI'/, BO EZ Vnanguli per axes ducti KI'4, BEZ inter se aequales sunt, erit basis con H:0 — KHI'4*: BOEZ*, ut demon- stratum est in prop. LXI. uerum KHI4:B0EZ -—A4HIA:KHI4A4-AH:HK;, ilaque ert H: 60 — 4AH?*: HK?*. uerum eliam H:0 —LD4*: EZ? [Eucl. XII, 2]; quare IDIA4:EZ-—AH: HK. quoniam autem Δ KI'4 — BEZ, e contrario erit ΓΖΔ: ΕΖ -- ΒΘ: ΚΗ [Eucl. VI, 14; I, 41]. demon- strauüimus autem, esse ΓΖ : EZ — AH: KH; aque etam BO: KH — AH: KH. ergo 4H — ΒΘ [REucl. V, 9]; quod erat demonstrandum. LXIV. Conorum rectorum, qui in contraria ratione sunt axium, trianguli per axes ducti inter se aequales sunt. deseribantur coni, sitque AHI'4: BOEZ — ΒΘ: AH. dico, esse ἃ ATI'41 — BEZ. sini eoi 4HI', KOEZ aequalis altitudinis. quonam igitur 4HI':B0EZ- ΒΘ: 4Η, e πεπόνϑησιν] v, -m- e corr. p, ἀντιπεπόνθασιν V. — 14. ἐδείχϑη — 15. KH| v, om. Vp. 15. καὶ ὡς ἄρα] v, ἀλλ᾽ ὡς Vp. 17. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] v, om. Vp. 18. ξδ΄] om. Vv, ξβ' p, ξγ΄ m. rec. V. 20. ἐστί] ἐστι V. 28. ἰσοῦὔψής] p, corr. ex ἴσοι uel ἴσος eadem manu V, om. v exir. ln. κῶνος] om. p. 26. οὖν] v, οὖν ἐστιν Vp. 10 15 20 288 ΠΕΡῚ K9NOY TOMHZ. οὕτως ἡ BO εὐϑεῖα πρὸς τὴν AH, ἴση δὲ ἡ AH τῇ ΘΚ, ὡς ἄρα ὃ AHIA κῶνος πρὸς τὸν BOEZ, οὕτως ἡ ΒΘ εὐϑεῖα πρὸς τὴν ΘΚ, τουτέστιν ὁ ΒΘΕΖ κῶνος πρὸς τὸν KOEZ: ὃ ἄρα AHI'4 κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ὁ ΒΘΕΖ πρὸς τὸν KOEZ κῶῷῴνον. ἀλλ᾽ ὡς ó ΒΘΕΖ πρὸς τὸν ΚΘΕΖ, οὕτως τὸ ΒΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ KEZ- ὃ ἄρα AHIA πρὸς τὸν ΚΘΕΖ διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ BEZ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΕΖ. ἔχει δὲ ὁ ΔΗΓΔ κῶνος πρὸς vóv KOEZ ἰσοὔύψῆῇ κῶνον διπλασίονα λόγον καὶ τοῦ ὃν ἔχει τὸ AI τρίγωνον πρὸς τὸ KEZ, ὡς ἐδείχϑη ἐν τῷ πρὸ ἑνὸς ϑεωρήματι" ὡς ἄρα τὸ ΒΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ KEZ, οὕτως τὸ ATA τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΕΖ. τὸ ἄρα 4 ΓΖ τρίγωνον τῷ ΒΕΖ ἴσον éóvív: ὃ προέκειτο δεῖξαι. ξε΄. Καὶ ἐὰν τὰ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις ἧ, ἀντιπεπόνϑασιν οἵ κῶνοι τοῖς ἄξοσιν. ὑποκείδϑυ γὰρ τὸ IZ τρίγωνον τῷ BEZ τριγώνῳ ἴσον εἶναι. λέγω, ὅτι, ὡς ὁ AHI'A κῶνος πρὸς τὸν BO EZ, οὕτως ὃ ΒΘ ἄξων πρὸς τὸν AH. ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς καὶ κατασκευῆς, ἐπεὶ τὸ ATA τρίγωνον τῷ BEZ ἴσον ἐστίν, ὡς ἄρα 6. KOEZ] KO EZ κῶνον V. διπλασίονα] p, comp. V, ut solet, διπλάσιον v. 6. κῶνον] om. p. BG EZ| v, BG EZ κῶνος Vp. 7. KOEZ] ΚΕΘΖ κῶνον V. 8. AHI'A] v, AHI'4 κῶνος Vp. τόν] Vp, τοῦ v. 10. πρός] Vp, om. v. 11. καί] v, om. Vp. — 15. τῷ BEZ [io-] Vp, in ras. m. 1 v. ὃ προέκειτο δεῖξαι) v, om. Vp. 16. ξε΄] om. Vv, &y' p, ξδ΄ m. rec. V. 20. τριγώνῳ — 28. BEZ] bis p, sed corr. 20. ὅτι) v, ὅτι ἐστίν Vp. 21. BOEZ] v, BO EZ κῶνον Vp. 38. BEZ] Vp, E sustulit resarcinatio 1n v. ὡς ἄρα] v, ἔστιν ἄρα ὡς Vp. | DE SECTIONE CONI. 289 AH — ΘΚ, ent AHI'4:BOEZ-B0:0K — BOEZ: KOEZ [cfr. Eucl. XII, 11]; itaque AHI'4: KOEZ — BOEZ': KOEZ* [Eucl. V def. 9]. sed BOGEZ: KOEZ — BEZ: KEZ [cfr. Eucl. VI, 1]; itaque erit | AHI'4: KOEZ — BEZ?: KEZ*. PA των uerum etiam propter altitudinem aequalem AHI'4: KOEZ — 4Γ45: KEZ!, ut demonstratum est in prop. LXII; itaque BEZ: KEZ — AI'4: KEZ. ergo A4I'4 -— BEZ [Eucl. V, 9]; quod erat pro- positum. LXV. Et si trianguli per axem ducti inter se aequales sunt, coni in contraria ratione sunt axium. nam supponamus, esse Δ 4“ΓΖ -- BEZ. dico, esse 4HI'A: BOEZ — ΒΘ: AH. in eadem enim figura et constructione, quoniam A AI'4 — BEZ, ent AI'4: KEZ — BEZ: KEZ Serenus Antinoensis, ed. Heiberg. 19 200 ΠΕΡῚ K9NOT ΤΟΜΗΣ. τὸ 4Γ4 πρὸς τὸ KEZ, οὕτως τὸ ΒΕΖ πρὸς τὸ KEZ. ἐπειδὴ δὲ ὁ AHI κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ ἰσουύψῆ κῶνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ 4 ΓΩ͂ πρὸς τὸ KEZ, ὡς δὲ τὸ 4“Γ24 τρίγωνον πρὸς τὸ 5 KEZ, οὕτως τὸ ΒΕΖ πρὸς KEZ, ὁ ἄρα “ΗΓΩ͂ κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΒΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ KEZ, τουτέστιν ὁ BOEZ χῶνος πρὸς τὸν KOEZ: ὡς ἄρα ó 4} ΗΓ4 κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ, οὕτως ὁ ΒΘΕΖ πρὸς τὸν ΚΘΕΖ, 10 τουτέστιν οὕτως ἡ BO πρὸς ΘΚ. ἀλλ᾽ ἡ OK τῇ AH ἴση" ὡς ἄρα ὁ ΑΗΓ4 κῶνος πρὸς τὸν BOEZ, οὕτως ὁ BO ἄξων πρὸς τὸν 4Η' ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Ec". Τῶν ἀντιπεπονϑότων ὀρϑῶν κώνων ταῖς βάδεσι 15 τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα πρὸς ἄλληλα τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν ἀντι- πεπονϑύότοως. καταγεγράφϑωσαν οἱ κῶνοι, καὶ ἔστω, ὡς Ó AHIA κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ, οὕτως ἡ Θ βάσις 20 πρὸς τὴν H βάσιν. λέγω. ὅτι τὸ 4 Γ4 τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΓΖ. 8. AI'4] BEZ τρίγωνον p. 5. BEZ] Vp, MEZ v. KEZ(al)|-vó KEZyp. 6. K0EZ| v, KO EZ κῶνον Vp. 10. ΘΑ (pr.))] v, τὴν ΘΚ MT 11. ic 1] v, ἴση ἐστίν Vp. 12. AH] ΜΗ ἄξονα V. ὅπερ ἔδει δεῖξαι), v, om. Vp. 13. £s" om. Vv, ξδ΄ p, £y' m. rec. v, ξε΄ m. rec. V. 19. BG EZ BOEZ κῶνον p. DE SECTIONE CONI. 291 [Eucl V, 7] quoniam autem AHTA:K0EZ — ALTA? : KEZ? propter altitudinem aequalem [prop. LXII], et ATA: KEZ — BEZ : KEZ, erit AHD4: KOEZ — BEZ: KEZ — BOEZ:KO0 EZ: [cfr. Eucl. VI, 1; XII, 11]; itaque AHTD'A: BOEZ — BOEZ: KOEZ [Eucl. V def. 9] — ΒΘ: ΘΚ [cfr. Eucl. XII, 11]. uerum OK — 4H; ergo erit AHIA:BOEZ-— BO0:AH; quod erat demonstrandum. LXVI. Conorum rectorum, qui in contraria ratione sunt basium, trianguli per axes ducti inter se triplicatam rationem habent quam basis ad basim in contraria ratione. describantur coni, sitque 4HI7: BOEZ — 0: H. dico, esse 414: BEZ — ΕΖ": ΓΖ5, 19* e 10 202 ΠΕΡῚ KONOT TOMBE. κείσϑω τῇ BO [ou ἡ KH: oí ἄρα KHI4, ΒΘΕΖ ἰσοὐύψεῖς κῶνοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, ὡς αἱ foc. ἐπεὶ οὖν, ὡς ὁ AHI' κῶνος πρὸς τὸν BOEZ, οὕτως ἡ Θ βάσις πρὸς τὴν H βάσιν, ἀλλ᾽ ὡς ἡ Θ βάσις πρὸς τὴν Η βάσιν, οὕτως ó ΒΘΕΖ κῶνος πρὸς τὸν ΚΗΓΖ κῶνον, ὡς ἄρα ὁ AHI' κῶνος πρὸς τὸν BOEZ, οὕτως ὃ ΒΘΕΖ πρὸς vv ΚΗΓΖ4 ὃ ἄρα ΔΗΓΔ κῶνος πρὸς τὸν KHIZ διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ὃ ΒΘΕΖ πρὸς τὸν ΚΗΓΖ. ἀλλ᾽ ὡς ὁ AHIA κῶνος πρὸς τὸν ΚΗΓΩ͂, οὕτως τὸ AI τρίγωνον πρὸς τὸ KI: τὸ AI ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸ KI'4 διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ὁ ΒΘΕΖ κῶνος πρὸς rv KHlI'. ὃ δὲ ΒΘΕΖ κῶνος πρὸς τὸν KHIA ἰσοῦύψῆ κῶνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ 15 BEZ τρίγωνον πρὸς τὸ KI'Zf: τὸ ἄρα 4 ΓΖ τρίγωνον 20 πρὸς τὸ KI τετραπλαδίονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ BEZ πρὺς τὸ KI. καὶ τὸ ἄρα AI τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἧπερ τὸ ΒΕΖ πρὸς τὸ KI. ὡς δὲ τὸ ΒΕΖ πρὸς ΚΙΓΩ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν If: τὸ ἄρα 4Γ4 τρίγωνον πρὸς τὸ -----....... ....-.-- Be] Vp, BE v. 8. BOEZ] BO EZ κῶνον p. 4. a — b. βάσιν] Vp, om. v. 6. AHT4]| Vp, HI Sv. 7. ὁ (alt) — 8. KHI'4] Vp, om. v. 8. ἄρα AHTA] p, AHT4 ἄρα V. 9. KHI'4 — 18. vóv(pr)] mg. p (xefpievov). 11. τό (pr.)] V, om. p, τόν suppl. m. rec. v. τὸ AI — 19. KI'4] Vp, om. v. 12. KT'4] KI'4 τρίγωνον Υ. 18. KHI4| ΚΗ ΓΖ κῶνον V. ὁ δέ] v, ἀλλ᾽ ὁ Vp. 14. ἰσο- ei] v,om.Vp. κῶνον] οἱ. Υ͂. 15. ἄρα] bis V, sed corr. 16. τετραπλασίονα v, τριπλασίονα p et V (sed τρι- in ras. plurium litterarum). τὸ ΒΕΖ)] ἡ EZ p. 17. τὸ KI'4] V, euan. p. ΚΙ. — 18. τό (pr)| om. v. 17. καί — 19. KTUI4(pr)] om. Vp (xol τὸ ἄρα 4 ΓΖ τρίγωνον πρὸς τὸ suppl. Halley cum Comm., sed fortasse plura desunt). 19. KI'4 (alt.)] τὸ KIA p. DE SECTIONE CONI. 293 ponatur ΚΗ — ΒΘ: itaque con KHI'4, BGEZ aequalis altitudinis inter se rationem habent quam bases [Eucl. XII, 11]. quoniam igitur AHI'4:B0EZ-—90:H, ei 09: H — BOEZ: KHI'A, ent AHDUA: BOEZ — BOEZ: KHI'4f ilaqe A4HDI4:KHI4-— ΒΘΕΖ": KHI'4? (Eacl. V def. 9. uerum. AHT'Z: KHI'A — 4ΓΖ: KT A [efr. Eucl. XII, 11; VI, 1]; itaque 4Γ4: ΚΓΖ — BOEZ* : KHI zf*. est autem propter altitudinem aequalem BOEZ:KHUD4-BEZ':KLDZ* [prop. LXII]; itaque 414: KI'4 — BEZ':KI'4*. quare etiani ADTA:BEZ-— BEZ?:KI'4?. est autem [Eucl. VI, 1] 5 10 15 20 204 ΠΕΡῚ K9NOT TOMHZ. BEZ τρίγωνον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ EZ πρὸς τὴν Γ4᾽ ὕπερ ἔδει δεῖξαι. ξξ΄. Καὶ ὧν κώνων ὀρϑῶν τὰ διὰ τῶν ἀξόνων τρίγωνα τριπλασίονα λόγον ἔχει πρὸς ἄλληλα ἤπερ ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν ἀντιπεπονθότως. οὗτοι ταῖς βάσεσιν ἀντι- πεπόνϑασιν. ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς καὶ κατασκευῆς ἐχέτω τὸ AI τρίγωνον πρὸς τὸ BEZ τριπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ EZ βάσις τοῦ τριγώνου πρὸς τὴν ΓΖ. λέγω δή, ὅτι, ὡς ὁ ΜΗΓΖ κῶνος πρὸς τὸν BOEZ, οὕτως ἡ € βάσις τοῦ κώνου πρὸς τὴν H βάσιν. ἐπεὶ γὰρ τὸ AI τρίγωνον πρὸς τὸ BEZ τρι- πλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς ΓΖ. ὡς δὲ ἡ ΕΖ πρὸς ΓΖ. οὕτως τὸ BEZ τρίγωνον πρὸς τὸ K I4 ἰσοῦψὲς τρίγωνον, τὸ ἄρα 4Γ4 τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ ΒΕΖ πρὸς τὸ KI: τὸ ἄρα 4Γ4 πρὸς τὸ KI τετραπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ BEZ πρὸς τὸ ΚΙΓΩ͂. ὡς δὲ τὸ ΑΓ4 πρὸς τὸ KI, οὕτως ὁ AHI κῶνος πρὸς τὸν ΚΗ͂ΓΖ᾽ ὃ ἄρα AHIA κῶνος πρὸς τὸν ΚΗΓΖ 1. BEZ τρίγωνον] KI'A p. 2. τήν] om. p. ὕπερ ἔδει δεῖξαι] v, om. Vp. — 8. ξξ΄] om. Vv, ξε΄ p, ξδ΄ m. rec. v. 9. vó(pr)] Vp, τάν. 10. ἡ ΕΖ] Vy, suppl. m. rec. v in resarci- natione, ut h. l. alia minora. 11. δή] om. p. ὅτι] v, ὅτι ἐστίν Vp. BOEZ] BO EZ κῶνον». 12. H] Vp, euan. v. 139. BEZ] v, EBZ Vp. 14. EZ πρός] in ras. p. ΓΔ] v, vivI4Vp. $EZ]Vp,inras.m.rec.v. 15. D'4]v, τὴν ΓΖ V p. τρίγωνον πρὸς τὸ] mg. p. KI — 16. τρέγωνον (pr.)] in ra8. p. 16. τρέγωνον (alt.)] v, om. V, mg. p. πρός — 18. AI4|mg.p. 21. KHI'd(pr)] v, ΚΗ ΓΖ κῶνον». ὁ ἄρα] τόν, ἀλλ᾽ ὁ V p, corr. Halley cum Comm.; fort. ὥστε ὁ. KHI'4 (alt)]] v, KHz κῶνον p, KHI'4A κῶνον V. DE SECTIONE ΟΟΝῚ. 295 BEZ:KI4-—EZ:Itd;ergo 4I4:BEZ-—EZ:Id quod erat demonstrandum. LXVII. Et quorum conorum rectorum trianguli per axes ducti inter se rationem triplieatam habent quam basis ad basim in contraria ratione, ii in contraria ratione sunt basium. nam in eadem figura et constructione sit ADIA: BEZ — EZ?: ΓΖ5. dico, esse 4HI'4: ΒΘΕΖ — 0:H. quonam enim A4I': BEZ — EZ?: DU4*, et [Eucl VI, 1] EZ: I'4 — BEZ: KI'4 aequalis alti- tudinis; erit. 4I'4: BEZ — BEZ?^: KI'45; itaque ADA4:KI4-—BEZ*:KI4*. uerum 4Γ4:ΚΙΓΖ4--. ΙΗ ΓΖ4: ΚΗ ΓΖ [cfr.Eucl. VI,1; XII 11]; δι 10 15 2 e 296 ΠΕΡῚ KQGNOT ΤΟΜΗ͂Σ. τετραπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ ΒΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ KI. ἔχει δὲ ὁ BOEZ κῶνος πρὸς τὸν ΚΗΓ4 κῶνον ἰσοῦὔψῆ διπλασίονα λόγον ἥπερ τὸ BEZ τρίγωνον πρὸς τὸ KIZf: ó ἄρα AHIZ πρὸς τὸν KHI'4 διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ὃ ΒΘΕΖ κῶνος πρὸς τὸν KHIZ κῶνον. ὡς ἄρα ὃ AHIA4 κῶνος πρὸς τὸν BO EZ, οὕτως ὁ ΒΘΕΖ πρὸς τὸν KHI4. ὡς δὲ ó BOEZ πρὸς τὸν KHI'4, οὕτως ἡ Θ βάσις πρὸς τὴν H: ὡς ἄρα ὁ AHI' κῶνος πρὸς τὸν BOEZ, οὕτως ἡ Θ βάσις πρὸς τὴν IT ὅπερ ἔδει δεῖξαι ξη΄. Ἐὰν κῶνος ὀρϑὸς πρὸς κῶνον ὀρϑὸν διπλασίονα λόγον ἔχῃ ἥπερ ἡ βάσις πρὸς τὴν βάσιν. τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον πρὸς τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τριπλασίονα λόγον ἕξει ἤπερ ἡ τοῦ τριγώνου βάσις πρὸς τὴν βάσιν. καταγεγράφϑωσαν oí κῶνοι, καὶ ὑποκείσϑω ὁ ΔΗΓΖ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ κῶνον διπλασίονα λόγον ἔχειν ἥπερ ἡ Η βάσις τοῦ κώνου πρὸς τὴν Θ βάσιν. λέγω. ὅτι τὸ 4Γ4Ω͂ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ 4 Γ βάσις τοῦ τριγώνου πρὸς τὴν ΕΖ. ἔστω τῇ AH ἡ OK ἴση" οἵ ἄρα 4ΗΓΖώ4, ΚΘΕΖ 8. κῶνον ἰσοῦψῆ!] v, ἰσοῦψῆ κῶνον .V P 4. 60— 6. KHI'4 κῶνον] om. p. 4. δ] v, mut. in ὡς eadem manu V, post ἄρα add. ὁ ead. man. ἈΗΓΔῚΊ H in ras. m. 1 v, AHT4Á xàvog V. πρός] V, -c euan. v. 56. ΚΗ ΓΔ — 1. τόν (pra) v. om. V. 9. 6] Vp, euan. v. H] e corr. p. περ ἔδει δεῖξαι) v, om. Vp. 12. ξη΄] om. V v, &c' p et m. rec. V, ξε΄ m. rec. v. 14. ἔχῃ) Vp, ἔχει v. 15. πρός — τρίγωνον 'alt.)] om. Vvp, corr. Comm. 16. τριπλασίονα] Vp, -ρι- in DE SECTIONE CONI. 207 iiaque 4HIZ:KHI'- BEZ'!:KI4*. uerum propter altitudinem aequalem est ΒΘΕΖ: ΚΗΓΖ -- BEZ*:KI'* [prop. LXII]; iiaque 4HI4: KHI'4A — BOGEZ!: KHI'4?*; quare AHDUA: BOEZ — BOEZ: ΚΗΓΖ [Eucl. V def. 9]. est autem BOEZ: KHI'4 — Θ: Η [Eucl. XII, 11]; ergo ent. 4HI'4: BGEZ -—09:H; quod erat de- monsirandum. LXVIII. S1 eonus rectus ad conum rectum duplicatam rationem habet quam basis ad basim, triangulus per axem ductus ad triangulum per axem ductum triph- catam rationem habebit quam basis trianguli ad basim. deseribantur coni, et supponamus, esse AHI'A: BOEZ — H?*:09*, dico, esse 4I: BEZ — A4I?: EZ. — Sii €K — ΔΗ: coni igitur 4HI' f, ΚΘΕΖ, qui ras. m. 1 v. 20. H] Vp, om. v. 22. 4dI'] ΑΓ Vvp, ΓΖ Halley cum Comm. 208 ΠΕΡῚ KGNOT TOMHZ. κῶνοι ἰσούψεῖς ὄντες πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἴ βάσεις. ἐπεὶ oóv ὁ 4HI'4 κῶνος πρὸς τὸν BO EZ διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ H βάσις πρὸς τὴν Θ βάσιν, ὡς δὲ ἡ Η βάσις πρὸς τὴν O, οὕτως ὁ AHIM ὅ κῶνος πρὸς τὸν KOEZ, ὃ ἄρα 4“}ΗΓΖ4 κῶνος πρὸς τὸν BO EZ διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ὁ AHIZ πρὸς τὸν KO EZ: ὡς ἄρα ὃ 4ΗΓ4 κῶνος πρὸς τὸν KOEZ, οὕτως ὃ KOEZ πρὸς τὸν ΒΘΕΖ. [ἐπεὶ τοίνυν ὃ AHLIA κῶνος πρὸς τὸν BOEZ διπλασίονα 10 λόγον ἔχει ἥπερ ὃ ΚΘΕΖ πρὸς τὸν ΒΘΕΖ, τουτέστιν ἥπερ ἡ ΚΘ πρὸς ΘΒ, ἔχει δὲ ὁ AHIA κῶνος πρὸς τὸν BOEZ διπλασίονα λόγον καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ H βάσις πρὸς τὴν O βάσιν, ὡς ἄρα ἡ H βάσις πρὸς τὴν Θ βάσιν, οὕτως ὃ AH ἄξων πρὸς τὸν ΒΘ ἄξονα.] 15 καὶ ἐπεὶ ἰσοὐψεῖς εἶσιν οὗ AHI4, KOEZ κῶνοι. ὃ ἄρα A4 HIA κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ AI τρίγωνον πρὸς τὸ KEZ, ὡς ἐδείχϑης ὡς δὲ ὃ AHI' κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ, οὕτως ὅ τε ΚΘΕΖ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ κῶνον καὶ 80 τὸ KEZ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ᾽ καὶ τὸ ΚΖΕ ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ AI πρὸς τὸ ΚΕΖ᾽ τὸ ἄρα 4 ΓΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Α ΓΩ͂ πρὸς τὸ KEZ. ὡς δὲ τὸ 4Γ4 πρὸς τὸ KEZ, οὕτως ἡ 25 ΓΖ βᾶἄδσις πρὸς τὴν EZ: ἰσοὐψῆ γάρ ἐστι τὰ τρίγωνα" τὸ ἄρα 4Γ4 τρίγωνον πρὸς τὸ BEZ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΓΖά πρὸς τὴν EZ: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. ὅ. AHI'4] HIA V. 6. AHI'4] v, AHI'A κῶνος Vp. 7. AHI'd]| Vp, AH- in ras. m. 1 v. 8. ἐπεί — 14. ἄξονα om. Halley cum Comm. 12. BO EZ] Vp, BEOZ v. cil v, om. Vp. 13. ὡς ἄρα — 14. βάσιν] scripsi, om. v, DE SECTIONE CONI. 299 aequales habent altitudines, inter se rationem habent quam bases [Eucl. ΧΙ, 11]. quoniam igitur AHDIA4:BOEZ--H?:0*, ei H: 0 — AHI'4: KOEZ , erit AHIA: BOEZ — AHI'4?: KOEZ*; quae AHI'Z4:KO0EZ — KOEZ: BOEZ [Eucl. V def. 9]. quoniam igitur AHI'A: BOEZ — KOEZ! : BOEZ? — ΚΘ": 0B? [ecfr. Eucl. XII, 11], uerum etiam AHDA:BOEZ — H!:095, erii H:0 — 4H: B0.) et quoniam coni 4HTI'Z, KOEZ aequales habent altitudines, erit AHUA: KOEZ — 4Γ4": KEZ?, ut demonstratum est [prop. LXII]. uerum AHUA: KOEZ — KOEZ : BOEZ — KEZ:BEZ [efr. Eucl. XII 11; VI, 1]; quare etiam KZE: BEZ -- AI? : KEZ5; ilaque 4I: BEZ — AI?*:KEZ?. est. autem ADIA: KEZ — ΓΖ: EZ [Eucl. VI, 1]; nam trianguli aequalem habent altitudinem. ergo ADIA: BEZ — D2?^:EZ5 quod erat demonstrandum. 1) Hinc concludi poterat 4A HI'4: KOEZ — KEZ:BEZ. sed cum lin. 18 sq. hoc, ut solet, aliter concludat interposita ratione KO0 EZ: BG EZ, et praeterea hic dicendum esset KO: BO, uerba ἐπεί — ἄξονα lin. 8—14 cum Commandino delenda sunt. ὡς ἄρα ὁ KO EZ κῶνος πρὸς τὸν (corr. ex v mg. V) BOGEZ κῶνον Vp. 14. τόν] Vp, om. v. 20. KEZ] Vp, KET' v. καί — 22. KEZ] v, om. Vp. 21. διπλασίονα — 28. BEZ] om. v; lacunam suppl. Halley cum Comm. . 24. οὕτως] Vp, -ς sustulerunt uermes in v. 25. ἐστι) v, εἰσι Vp. — 2". τήν] om. p. ὄπερ ἔδει δεῖξαι] v, om. V p. b 10 15 20 2300 ΠΕΡῚ K9NOT TOMH. £9". Κὰἂν τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον πρὸς τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τριπλασίονα λόγον ἔχῃ ἤπερ ἡ τοῦ τριγώνου βάσις πρὸς τὴν βάσιν. ὃ κῶνος πρὸς τὸν κῶνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ βάσις τοῦ κώνου πρὸς τὴν βάσιν. ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς τὸ 4I τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ τριπλασίονα λόγον ἐχέτω ἥπερ ἡ I4 πρὸς τὴν EZ, καὶ κείσϑω πάλιν τῇ AH ἴση ἡ OK. ἐπεὶ οὖν τὸ 4“Γ4 πρὸς τὸ ΒΕΖ τριπλασίονα λόγον ἔχει. ἤπερ ἡ ΓΖΩ πρὸς EZ, ὡς δὲ ἡ ΓΖ πρὸς EZ, οὕτως τὸ AI τρίγωνον πρὸς τὸ KEZ, τὸ ἄρα ATA τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΖ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ 4“ΓΖ4Ζ πρὸς τὸ KEZ: τὸ ἄρα ΚΕΖ πρὸς τὸ BEZ διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ 4Γ4 πρὸς τὸ KEZ. ἀλλ᾽ ὡς τὸ KEZ τρίγωνον πρὸς τὸ BEZ, οὕτως ὃ KOEZ κῶνος πρὸς τὸν BOEZ: καὶ ὃ KOEZ κῶνος ἄρα πρὸς τὸν ΒΘΕΖ διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ 4: Γ4 τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΕΖ. ἔχει δὲ καὶ ὃ ΜΗ ΓΩ κῶνος πρὸς τὸν KOEZ κῶνον ἰσοὐὔψῇ διπλασίονα λόγον ἤπερ τὸ 4 ΓΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΕΖ᾽ ὡς ἄρα ὁ AHIA κῶνος πρὸς τὸν ΚΘΕΖ κῶνον, οὕτως ὃ 1. 89 ] om. Vv, &f' p et m. rec. V, £c' m. rec. v. 9. x&v] v, καὶ ἐάν Vp. ὃ. ἔχῃ] Vp, ἔχει v. 4. τήν] τὴν τοῦ τριγώνου p. 6. ἔχει] ἔξει p. 7. καταγραφῆς] καταγραφῆς καὶ κατασκευῆς p. 8. πρός --- ἐχέτω] τριπλασίονα λόγον ἐχέτω πρὸς τὸ ΒΕΖ ν. πρὸς τὸ BEZ] supra scr. eadem manu V. 10. 4Γ4] v, 4Γ4 τρίγωνον Vp. 11. ἡ ΓΖ — 14. AI'4] mg. p (κείμενον), in textu ras. 6—7 litt. 11. EZ (utrumque)| ZE p. 14. τὸ KEZ] Vp, in resarci- natione m. rec. v, ut τὸ KEZ τ- lin. 16, BG EZ ὃ- lin. 18, DE SECTIONE CONI. 301 LXIX. Et si triangulus per axem ductus ad triangulum per axem ductum iriplieatam rationem habet quam basis trianguli ad basim, conus ad conum duplicatam rationem habet quam basis coni ad basim. 4 K nam in eadem figura sit 414: BEZ — IP: EZ, et ponatur rursus ΘΚ — ΖΗ. quonam igitur A4I'/: BEZ — ΓΖ)": ΕΖ", et [Eucl. VI, 1] ΓΖ: EZ — 4Γ4: KEZ, enit ADIA:BEZ -— 4Γ45: KEZ*; ilaqqte KEZ: BEZ — AI'?*: KEZ?*. | est autem [cfr. Eucl. VI, 1; XII, 11] KEZ:BEZ — K0EZ: BOEZ; A A MM M ———— —À À — M ———— — πρὸς τ- lin. 20. 16. τρίγωνον] om. p. 17. καὶ ὁ] v, ὁ ἄρα Vy. 18. ἄρα] v, om. Vp. BOEZ] corr. ex EZ eadem manu V. 19. 4ΗΓ4] Vp, Γ' βυργϑ scr. m. 1 v. 20. κῶνον ἰσοῦψῆ] ἰσοῦψῆ κῶνον p. διπλασίονα] des. fol. 98 ἃ m. 1 v, reliqua in imo mg. ali manu. 21. τὸ KEZ — 22. πρός] om. v, τὸ KEZ, ὡς δὲ τὸ 4ΓΖ τρίγωνον πρός V p, corr. Comm. 22. τὸν KO EZ κῶνον] v, τὸ KEZ Vp. 9502 ΠΕΡῚ K9NOT ΤΟΜΗΣ. ΚΘΕΖ πρὸς τὸν BOEZ. ὃ ἄρα 4“ ΗΓ4 κῶνος πρὸς τὸν BG EZ xàvov διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ὁ AHIA πρὸς τὸν KOEZ, τουτέστιν ἤπερ ἡ H βάσις τοῦ κώνου πρὸς τὴν O ficu: ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 1. KOEZ] v, ΚΘΕΖ κῶνος Vp. ὁ ἄρα --- 2. ΒΘΕΖ2] om. v, ὁ ἄρα ΚΘΕΖ κῶνος πρὸς τὸν ΒΘΕΖ Vp, corr. Comm. 8. KOEZ] vp, ΚΘΕΖ κῶνον V. ἢ H] Vp, infra add. v. 4. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] v, om. V, τέλος τοῦ περὶ κώνου τομῆς σερήνου p. DE SECTIONE CONI. 303 itaque etiam KOEZ: BOEZ — 4Γ45": KEZ. uerum etiam propter altitudines aequales ΔΗΓΖ: ΚΘΕΖ — AUA?: KEZ? [prop. LXIIJ; itaque 4HI4: KOEZ — KOEZ: BOEZ. ergo [Eucl. V def. 9] AHI'A: BOEZ — AHI f: KOEZ? — [Eucl. XIL 11] H?: 9*: quod erat demonstrandum. EI "This book should be returned to the Library on or before the last date stamped ow. A fine of five cents a day is incurred by retaining it beyond the specified time. . Please return promptly. - ΠΕ ΟΝ LOL 3 2044 085 1